Калькулятор треугольника - пошаговое решение

Выберите до трёх известных элементов треугольника, введите их значения и выберите, что нужно найти. Калькулятор решает треугольник шаг за шагом, показывая формулы, и строит его в масштабе. Под чертежом можно включить каждую медиану, высоту и биссектрису, вписанную и описанную окружности и прямую Эйлера.

Примеры: две стороны и угол между ними угол по трём сторонам сторона и два угла две стороны и угол против одной из них (два треугольника) площадь по трём медианам площадь по трём высотам две стороны и радиус вписанной окружности сторона, высота и медиана к ней площадь, периметр и угол расстояние между центрами двух окружностей угол, расстояние от точки пересечения медиан до ортоцентра и угол $AMH$

Как пользоваться калькулятором

В каждой строке «Дано» выберите элемент из списка и введите его значение. Если известно меньше трёх элементов, оставьте в строке «не дано».
На эскизе рядом с формой показан каждый заданный элемент с его значением, а искомый отмечен вопросительным знаком. Эскиз не в масштабе: в ответе треугольник построен в масштабе.
Значение может быть целым числом, десятичной дробью, обыкновенной дробью, например 7/2, или корнем: sqrt(3), 2*sqrt(3). Углы задаются в градусах.
В строке «Найти» выберите нужный элемент или «всё», чтобы получить все стороны и углы, периметр и площадь.
Для расстояния между двумя точками или угла по трём точкам выберите точки в появившихся списках. Вершина угла - средняя точка: $\angle AMH$ - угол при точке $M$.
Адрес страницы меняется вместе с задачей, поэтому его можно скопировать и отправить решение кому-нибудь.

Обозначения

В треугольнике $ABC$ сторона ${a = BC}$ лежит против вершины $A$, ${b = AC}$ - против $B$, ${c = AB}$ - против $C$. Углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Обозначение	Значение
$h_a$, $m_a$, $l_a$	высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины $A$ к стороне $a$
$S$, $P$, $p$	площадь, периметр и полупериметр ${p = \frac{a + b + c}{2}}$
$R$, $r$	радиусы описанной и вписанной окружностей
$r_a$	радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $a$
$M$, $H$, $O$, $I$	точка пересечения медиан (центроид), ортоцентр (точка пересечения высот), центр описанной и центр вписанной окружности
$M_a$, $H_a$, $L_a$, $T_a$	на стороне $a$: её середина, основание высоты из $A$, основание биссектрисы из $A$ и точка касания вписанной окружности

Как калькулятор решает треугольник

У треугольника три степени свободы, поэтому три независимых элемента, хотя бы один из которых - длина, определяют его - иногда двумя способами. Калькулятор действует как ученик со списком формул.

Формулы одна за другой. Среди данных элементов он ищет формулу, в которой известно всё, кроме одного элемента, находит этот элемент и повторяет, пока не дойдёт до искомого. Три стороны дают угол по теореме косинусов; два угла дают третий; сторона и высота к ней дают площадь.
Неизвестное и уравнение. Когда ни одна формула не даёт сразу новый элемент - например, при двух сторонах и радиусе вписанной окружности, - калькулятор обозначает один элемент через $x$, выражает остальные через $x$, и оставшийся данный элемент превращается в уравнение относительно $x$. Уравнение решается численно.
Координаты. Для таких элементов, как угол $AMH$, готовой формулы нет. Калькулятор помещает треугольник в систему координат, ${A(0; 0)}$, ${B(c; 0)}$, ${C(b\cos\alpha; b\sin\alpha)}$, находит точки и измеряет там расстояние или угол.

Точные значения, такие как ${\sqrt{39}}$ или ${\frac{35\sqrt3}{4}}$, по возможности сохраняются точными, а каждый ответ сверяется с построенным треугольником.

Формулы для решения треугольников

Стороны и углы

Название	Формула
Сумма углов	${\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ}$
Теорема синусов	${\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R}$
Теорема косинусов	${a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha}$
Угол по сторонам	${\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}$

Площадь

Известно	Формула
Сторона и высота к ней	${S = \frac{a h_a}{2}}$
Две стороны и угол между ними	${S = \frac{bc\,\sin\alpha}{2}}$
Три стороны (формула Герона)	${S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}$
Вписанная окружность	${S = pr}$
Описанная окружность	${S = \frac{abc}{4R}}$

Высоты, медианы и биссектрисы

Элемент	Формула
Высота	${h_a = \frac{2S}{a} = b\,\sin\gamma = c\,\sin\beta}$
Медиана	${m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}$
Биссектриса	${l_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b + c}}$
Точка, в которой биссектриса пересекает сторону	${BL_a : L_aC = c : b}$

Окружности и центры

Элемент	Формула
Радиус вписанной окружности	${r = \frac{S}{p} = (p - a)\,\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}$
Радиус описанной окружности	${R = \frac{a}{2\,\sin\alpha} = \frac{abc}{4S}}$
Радиус вневписанной окружности	${r_a = \frac{S}{p - a}}$
Расстояние между центрами двух окружностей (формула Эйлера)	${OI^2 = R^2 - 2Rr}$
Точка пересечения медиан	${AM = \frac{2}{3}m_a}$
Ортоцентр	${AH = 2R\,\|\cos\alpha\|}$, ${OH^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}$
Прямая Эйлера	$O$, $M$ и $H$ лежат на одной прямой, и ${MH = 2\,OM}$

Когда треугольник определён?

Три стороны определяют треугольник, когда каждая меньше суммы двух других.
Две стороны и угол между ними или сторона и два угла всегда определяют один треугольник.
Две стороны и угол против одной из них могут дать два треугольника, один или ни одного: два угла между $0^\circ$ и $180^\circ$ имеют один и тот же синус. Калькулятор показывает каждый подходящий треугольник.
Три угла задают только форму. Для размеров нужна хотя бы одна длина или площадь.
Элементы, зависящие друг от друга, например сторона, противолежащий угол и $R$ (потому что ${a = 2R\sin\alpha}$), считаются за два. Тогда калькулятор сообщает, что треугольник не определён, или находит то, что данные определяют.

Другие ресурсы

Треугольники Задачи на теорему синусов Задачи на теорему косинусов Формулы площади Высота треугольника Медиана треугольника Решение задач онлайн