Калькулятор асимптот - пошаговое решение

Введите функцию от $x$. Калькулятор найдёт её вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, покажет пошаговое вычисление пределов, которые их задают, и построит график функции вместе с асимптотами.

Как вводить функцию

• Степени записываются с помощью ^: x^2 — это $x^2$, e^(2x) — это $e^{2x}$, а 2^x — это $2^x$.
• Знак умножения можно не писать: 2x, 3(x+1), x e^(1/x). Можно писать и 2*x.
• (x^2+1)/(x-2) — это $\frac{x^2+1}{x-2}$: заключайте числитель и знаменатель в скобки.
• sqrt(x) — это $\sqrt{x}$, cbrt(x) или x^(1/3) — это $\sqrt[3]{x}$, а root(x, 4) — это $\sqrt[4]{x}$.
• ln(x) — натуральный логарифм, lg(x) и log(x) — десятичный логарифм, а log_2(x) — это $\log_2 x$.
• sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), sh(x), ch(x), th(x).
• |x| — модуль, pi — это $\pi$, а e — число $e$.
• Можно ввести и f(x) = ... или y = .... В функции может быть только одна буква — её переменная.

Примеры: $\frac{x^2 + 1}{x - 2}$ $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$ $\frac{x^3}{x^2 - 1}$ $\sqrt{x^2 + 2x}$ $x e^{\frac{1}{x}}$ $\frac{\ln x}{x}$ $\operatorname{arctg} x$ $\operatorname{tg} x$

Как найти асимптоты функции

Асимптота функции — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции, когда он уходит в бесконечность. Асимптоты бывают трёх видов, и каждый вид находится с помощью пределов.

Вертикальные асимптоты

Прямая ${x = a}$ — вертикальная асимптота функции $f$, если хотя бы один из односторонних пределов $f$ в точке $a$ бесконечен:

Такая точка не принадлежит области определения $f$, поэтому проверяем её граничные точки: нули знаменателя, точки, в которых аргумент логарифма стремится к 0, точки, в которых не определён $\operatorname{tg} x$. Если предел в такой точке конечен, прямая не является асимптотой: у функции ${f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}}$ в точке ${x = 1}$ устранимый разрыв, так как ${\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1}$ при ${x \neq 1}$.

Горизонтальные асимптоты

Прямая ${y = b}$ — горизонтальная асимптота при ${x \to +\infty}$, если ${\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = b}$, и при ${x \to -\infty}$, если ${\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b}$. Они могут быть разными: у $\operatorname{arctg} x$ горизонтальная асимптота ${y = \frac{\pi}{2}}$ справа и ${y = -\frac{\pi}{2}}$ слева, а у $e^x$ асимптота ${y = 0}$ есть только слева.

Наклонные асимптоты

Прямая ${y = kx + b}$ при ${k \neq 0}$ — наклонная асимптота при ${x \to +\infty}$, если ${f(x) - (kx + b) \to 0}$. Её угловой коэффициент и свободный член находятся как два предела:

Оба предела должны быть конечными. То же верно и при ${x \to -\infty}$. Горизонтальная асимптота — это случай ${k = 0}$, поэтому в каждом направлении у функции есть либо горизонтальная асимптота, либо наклонная, либо ни одной.

Асимптоты дробно-рациональных функций

Для дробно-рациональной функции ${f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}}$ сначала сократим общие множители $P$ и $Q$. Затем:

• каждый нуль $a$ знаменателя даёт вертикальную асимптоту ${x = a}$;
• если степень $P$ меньше степени $Q$, горизонтальная асимптота — ${y = 0}$;
• если степени равны, горизонтальная асимптота — ${y = \frac{a}{b}}$, где $a$ и $b$ — старшие коэффициенты $P$ и $Q$;
• если степень $P$ на 1 больше степени $Q$, делим $P$ на $Q$: частное ${kx + b}$ даёт наклонную асимптоту ${y = kx + b}$;
• если степень $P$ больше более чем на 1, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Например, ${\frac{x^2 + 1}{x - 2} = x + 2 + \frac{5}{x - 2}}$, поэтому асимптоты — ${x = 2}$ и ${y = x + 2}$. У дробно-рациональной функции одна и та же горизонтальная или наклонная асимптота при ${x \to +\infty}$ и при ${x \to -\infty}$.

Примеры по видам функций

Нажмите на пример, чтобы увидеть решение.

1. Дробно-рациональные функции. Нули знаменателя, степени, деление. Примеры: $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$, $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$, $\frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$
2. Иррациональные функции. Так как ${\sqrt{x^2} = |x|}$, у корня может быть одна асимптота при ${x \to +\infty}$ и другая при ${x \to -\infty}$.
   ${\sqrt{x^2 + 2x} = |x| \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$
   Примеры: $\sqrt{x^2 + 2x}$, $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, $x - \sqrt{x^2 - 4}$
3. Показательные функции. ${e^x \to 0}$ при ${x \to -\infty}$, а при ${x \to +\infty}$ растёт быстрее любой степени $x$. Примеры: $\frac{e^x}{x}$, $\frac{1}{1 + e^x}$, $x e^{\frac{1}{x}}$
4. Логарифмические функции. ${\ln x \to -\infty}$ при ${x \to +0}$, а при ${x \to +\infty}$ растёт медленнее любой степени $x$. Примеры: $\frac{\ln x}{x}$, $\ln\frac{x + 1}{x - 1}$, $\frac{1}{\ln x}$
5. Тригонометрические функции. У $\operatorname{tg} x$ вертикальные асимптоты ${x = \frac{\pi}{2} + k\pi}$, у $\operatorname{arctg} x$ — горизонтальные асимптоты ${y = \pm\frac{\pi}{2}}$. Колеблющаяся функция, например $\sin x$, не имеет предела на бесконечности. Примеры: $\operatorname{tg} x$, $x \operatorname{arctg} x$, $\frac{\sin x}{x}$

Другие ресурсы

Координатные плоскости и графики Функции и пределы Операции над функциями Пределы Непрерывные функции Как построить график квадратичных функций Калькулятор деления многочленов