Статистический калькулятор - пошаговое решение

Введите числа через запятую, пробел или каждое с новой строки. Можно вставить и столбец из Excel. Если в числах есть десятичная запятая, разделяйте их точкой с запятой, например: 2,5; 3,75; 4

Вычислить

Используйте $s$ и $s^2$, когда числа — выборка из большей совокупности: сумму квадратов отклонений от среднего делят на $n-1$ (исправленная дисперсия). Используйте $\sigma$ и $\sigma^2$, когда числа — вся генеральная совокупность: сумму делят на $n$. Стандартное отклонение также называют среднеквадратическим отклонением.

$Q_1$ и $Q_3$ — это медианы нижней и верхней половин упорядоченных чисел; при нечётном $n$ сама медиана не входит ни в одну из половин. Так находят квартили калькуляторы TI и многие учебники; функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ в Excel и некоторые другие методы могут давать немного другие значения. Выбросы — это числа меньше $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ или больше $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$.

Формулы

Дано множество из $n$ чисел $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма чисел, делённая на их количество:

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Медиана

Упорядочите числа по возрастанию. Если $n$ нечётно, медиана — это число в середине. Если $n$ чётно, медиана — это среднее арифметическое двух чисел в середине. Например, медиана чисел $1, 3, 3, 6, 7, 8, 9$ равна $6$, а медиана чисел $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$ равна $\dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$.

Мода

Мода — это значение, которое встречается чаще всего. Мод может быть несколько: например, у чисел $1, 1, 2, 2, 3$ две моды, $1$ и $2$. Если ни одно значение не повторяется, моды нет.

Дисперсия

Дисперсия показывает, насколько числа разбросаны вокруг своего среднего: это среднее значение квадратов отклонений $(x_i - \bar{x})^2$. Для выборки из большей совокупности делят на $n - 1$ (исправленная дисперсия), а для всей генеральной совокупности — на $n$:

$s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \qquad \sigma^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Стандартное отклонение

Стандартное (среднеквадратическое) отклонение — это квадратный корень из дисперсии, поэтому оно измеряется в тех же единицах, что и сами числа:

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Квартили и выбросы

Первый квартиль $Q_1$ — это медиана нижней половины упорядоченных чисел, а третий квартиль $Q_3$ — медиана верхней половины; при нечётном $n$ медиана не входит ни в одну из половин. Межквартильный размах равен $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$. Число меньше $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ или больше $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ называют выбросом.

Пример

Пусть $X = \{1, -2, 3, 0, 2, 3, 1, -1, 3, 5\}$. Загрузить пример

Количество чисел $n = 10$, их сумма $\sum x_i = 15$, поэтому среднее арифметическое равно $\bar{x} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

По возрастанию: $-2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5$. Так как $n$ чётно, медиана равна $\dfrac{1 + 2}{2} = 1{,}5$. Мода равна $3$ (встречается 3 раза), размах равен $5 - (-2) = 7$.

Отклонения от среднего и их квадраты:
$x_i - \bar{x} = -\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}$

$(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{4}, \frac{49}{4}, \frac{9}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{25}{4}, \frac{9}{4}, \frac{49}{4}$

$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{81}{2}$

Выборочная (исправленная) дисперсия и стандартное отклонение (делим на $n - 1 = 9$):
$s^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 9} = \dfrac{81}{18} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \qquad s = \sqrt{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \approx 2{,}1213$

Дисперсия и стандартное отклонение генеральной совокупности (делим на $n = 10$):
$\sigma^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 10} = \dfrac{81}{20} = 4{,}05 \qquad \sigma = \sqrt{\dfrac{81}{20}} = \dfrac{9}{10}\sqrt{5} \approx 2{,}0125$

Квартили: нижняя половина — $-2, -1, 0, 1, 1$, значит, $Q_1 = 0$; верхняя половина — $2, 3, 3, 3, 5$, значит, $Q_3 = 3$ и $\text{IQR} = 3$. Границы равны $0 - 1{,}5 \cdot 3 = -4{,}5$ и $3 + 1{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$, все числа лежат между ними, поэтому выбросов нет.

Какое среднее выбрать?

Среднее арифметическое учитывает все числа, поэтому лучше всего описывает данные, когда числа распределены равномерно. Но одно очень большое или очень маленькое число сильно его сдвигает. Медиана зависит только от середины упорядоченного ряда, поэтому несколько крайних значений почти не меняют её. Мода — единственное «среднее», которое имеет смысл и для данных, которые вообще не являются числами, например для самого популярного цвета.

Например, девять сотрудников небольшой фирмы получают в месяц (в тысячах) $2;\ 2;\ 2;\ 2{,}5;\ 3;\ 3{,}5;\ 4;\ 4{,}5$ и $20$. Среднее арифметическое равно $\dfrac{43{,}5}{9} \approx 4{,}83$ — больше, чем получают восемь из девяти сотрудников. Медиана, $3$, гораздо лучше описывает типичную зарплату, а мода, $2$, — самую частую. Когда данные настолько несимметричны, указывайте медиану.

Почему делят на $n - 1$?

Когда числа — выборка, их среднее $\bar{x}$ тоже вычислено по этой выборке, а числа выборки в среднем ближе к $\bar{x}$, чем к истинному среднему генеральной совокупности. Поэтому сумма $\sum (x_i - \bar{x})^2$ получается немного меньше, чем нужно, и деление на $n - 1$ вместо $n$ исправляет это: в среднем $s^2$ равна дисперсии генеральной совокупности (это несмещённая оценка). Такую поправку называют поправкой Бесселя.

Можно объяснить и так: отклонения $x_i - \bar{x}$ в сумме всегда дают $0$, поэтому, когда известны $n - 1$ из них, последнее уже определено. Свободны только $n - 1$ отклонений — говорят, что у выборки $n - 1$ степеней свободы. Для всей генеральной совокупности оценивать нечего, поэтому делят на $n$.

Задачи для самопроверки

1. Найдите среднее арифметическое, медиану и моду чисел $3, 7, 7, 2, 9, 7, 4$.
   Решение

   По возрастанию: $2, 3, 4, 7, 7, 7, 9$. Среднее арифметическое равно $\dfrac{39}{7} \approx 5{,}57$, медиана — четвёртое число, $7$, мода равна $7$ (встречается 3 раза).
2. Среднее арифметическое пяти чисел равно $12$. Четыре из них — $10$, $15$, $8$ и $14$. Найдите пятое число.
   Решение

   Сумма пяти чисел равна $5 \cdot 12 = 60$, а сумма четырёх известных — $10 + 15 + 8 + 14 = 47$, значит, пятое число равно $60 - 47 = 13$.
3. Найдите выборочное стандартное отклонение и стандартное отклонение генеральной совокупности для чисел $4, 8, 6, 2$.
   Решение

   $\bar{x} = \dfrac{20}{4} = 5$. Отклонения равны $-1, 3, 1, -3$, сумма их квадратов равна $1 + 9 + 1 + 9 = 20$. Значит, $s = \sqrt{\dfrac{20}{3}} \approx 2{,}58$ и $\sigma = \sqrt{\dfrac{20}{4}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.
4. Найдите квартили и межквартильный размах чисел $1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15$. Есть ли выбросы?
   Решение

   $n = 9$ — нечётное число, поэтому пропускаем медиану $7$. Нижняя половина $1, 3, 4, 6$ даёт $Q_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5$, а верхняя $8, 10, 12, 15$ даёт $Q_3 = \dfrac{10 + 12}{2} = 11$, поэтому $\text{IQR} = 7{,}5$. Границы равны $3{,}5 - 1{,}5 \cdot 7{,}5 = -7{,}75$ и $11 + 1{,}5 \cdot 7{,}5 = 22{,}25$; за ними нет ни одного числа, значит, выбросов нет.
5. Пять учеников выполнили тест за $12$, $14$, $13$, $15$ и $61$ минуту. Что лучше описывает типичное время — среднее арифметическое или медиана?
   Решение

   Среднее арифметическое равно $\dfrac{115}{5} = 23$ минуты — больше, чем у четырёх учеников из пяти, из-за одного медленного ученика. Медиана, $14$ минут, описывает типичное время лучше.

Проверьте ответы с помощью калькулятора в начале страницы.