Неравенства

1) $|a \cdot b| \leq \frac{1}{2}(a^2 + b^2)$

2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$, if $\frac{a}{b} > 0$
Если $a = b$, то неравенство превращается в уравнение $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2$.

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \leq -2$, if $\frac{a}{b} < 0$
Если $a = -b$, то неравенство превращается в уравнение $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -2$ .

3) $(a_1 + a_2 + \dotsb + a_n)(\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dotsb + \frac{1}{a_n}) \geq n^2\\ a_i > 0, i = 1, 2,..., n$

4) Неравенство треугольника

На каждые двух чисел $ A_1 $ и $ A_2$ имеем:
$||a_1| - |a_2|| \leq |a_1 \pm a_2| \leq |a_1| + |a_2|$

Для n чисел:

$|a_1 + a_2 + \dotsb + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \dotsb + |a_n|$

5) $2^n > 2n + 1$, $n \in N$ и $n \geq 3$

6) Неравенство Бернулли

$(a + 1)^r > r\cdot a + 1$ если $a > 0, r \in Q, r > 1$

7) $1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{1\cdot2\cdot3} + \dotsb + \frac{1}{1\cdot2 \dotsb n} < 3 \\n\in N$

8) $(1 + \frac{1}{n})^n < 3$
если $n \ge 1, n \in N$

9) Неравенство между среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднеквадратичное

$H \leq G \leq A \leq S$
где:

$A = \frac{a_1 + a_2 + \dotsb + a_n}{n}$ - среднее арифметическое

$G = \sqrt[n]{a_1a_2\dotsb a_n}$ - среднее геометрическое

$H = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}}$ - среднее гармоническое

$S = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n}}$ - среднеквадратичное

Если $a_1 = a_2 = \dots = a_n$, то $H = G = A = S$

10) Неравенство Коши

$G = \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = A$

$a_1^{\lambda_1} a_2^{\lambda_2} \cdots a_n^{\lambda_n} \leq \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \dots + \lambda_na_n$

где $\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n = 1$ и
$a_i > 0, i = 1, 2, ... n$

11) Неравенство Чебышева

Если $a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_n$ и $b_1 \leq b_2 \leq ... \leq b_n$, то:

$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} . \frac{b_1 + b_2 + \dots + b_n}{n} \leq \frac{a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n}{n}$

Это уравнение при $a_1 = a_2 = ... = a_n$ и $b_1 = b_2 = ... = b_n$.

12) Неравенство Гёльдера

Если $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, p > 1, q > 1$, то:

$|a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n| \leq (|a_1|^p + |a_2|^p + \dots + |a_n|^p)^\frac{1}{p}(|b_1|^q + |b_2|^q + \dots + |b_n|^q)^\frac{1}{q}$

Это уравнение при $\frac{|a_1|^{p-1}}{|b_1|} = \frac{|a_2|^{p-1}}{|b_2|} = \dots = \frac{|a_n|^{p-1}}{|b_n|}$

13) Неравенство Коши-Шварца(Буняковского)

Неравенство Коши-Шварца(Буняковского) получается неравенство Гёльдера, когда p = q = 2

$a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n \leq \sqrt{(a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)}\sqrt{(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2)}$

Это уравнение при $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}$

15) Неравенство Минковского

a_i > 0, b_i > 0, i = 1, 2,...,n

$\sqrt{(a_1 + b_1)^2 + \dots + (a_n + b_n)^2} \leq \sqrt{(a_1 + b_1)^2} + \sqrt{(a_n + b_n)^2}$

Это уравнение при
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}$

Общая форма неравенство Минковского - если р > 0, то:

$((a_1 + b_1)^p + (a_2 + b_2)^p + \dots + (a_n + b_n)^p)^{\frac{1}{p}} \leq (a_1^p + a_2^p + \dots + a_n^p)^{\frac{1}{p}} + (b_1^p + b_2^p + \dots + b_n^p)^{\frac{1}{p}}$

Это уравнение при
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}$