Системы счисления

Степени точности

Системы счисления, которые вы используете, влияют на точность некоторых расчетов. Один из примеров можно увидеть в извлечении квадратного корня из 3 в десятичной системе. Используйте метод из второй части для извлечения квадратного корня из 2.

ПРИБЛИЖЕНИЯ

Обратите внимание, что каждое "место" в десятичной системе дает лучшее приближение к квадратному корню из 3. Чтобы проверить это, посмотрите, как возведение в квадрат извлаченного корня приблизит вас к значенbю, с которого вы извлекали корень: 3.

На первом месте 1, что в квадрате даст только 1 - ошибка на 2 единицы по сравнению с истинным значением - 3. Если бы использовалось 2, ответ был бы точнее: квадрат 2 это 4 - ошибка только на 1. Но наше правило, приведенное внизу, остается верным.

Второе "место" дает более точный результат. Квадрат 1.7 равен 2.89, что уменьшает ошибку до 0.11. Третье "место", 1.73 в квадрате дает 2.9929 - ошибка в 0.0071. Четвертое место, 1.732 еще ближе к истине, так как это число, возведенное в квадрат дает 2.999824 - ошибка в 0.000176.

Дроби в расширенных системах счисления

Если вы использовали семеричную сисему, дробь 1/7 была бы 0.1 - полностью точным с только одной цифрой после запятой (не десятичной запятой, если эта система семеричная). В десятичной системе дробь, что получается в результате деления на 7, не является такой простой.

Дроби и десятичные числа

Эти задачи должны заставить вас задуматься о точности и надежности цифр. Что означает ошибка в одну миллионную? Будете ли Вы использовать (что маловероятно) семеричную систему вместо десятичной, чтобы проверить как точно 1/7?

Порядки величин

Порядки величин начинают собой совершенно новую концепцию в области математики. Чтобы показать другую сторону этой концепции, предположим, что Вам необходимо получить область, состоящую из идеального квадрата. Для получения области более точных размеров, необходимо добавить или вычесть немного к или от обоих измерений. Начиная с квадрата с размерами L в каждом направлении, вы либо добавляете или вычитаете небольшие кусочки S. Изменение площади может проводиться двумя длинными прямоугольниками (размеры L и S) и одного намного меньшего квадрата со стороной S. Чем меньше S по сравнению с L, тем меньше S в квадрате, по сравнению с SL.

Вы можете расширить этот подход к аналогичным изменениям кубического объема. Теперь, начиная с большого куба, имеющего стороны L, необходимо добавить или вычесть 3 плитки с размерами L х L x S, три длинных параллелепипеда с размерами L х S х S, и один маленький куб со стороной S. Если S равно 1/10 от L (или гораздо меньше), то S в кубе составляет 1/1000 от L в кубе.

ПОРЯДКИ ВЕЛИЧИН

Вы можете продемонстрировать такую же самую прогрессию алгебраически. Чтобы сделать это, если a есть малой частью, тогда степени a, a², a³, a⁴, и т.д., состоит из ряда с уменьшающимися порядками величин. Обратите внимание, что последовательные степени имеют ряд коэффициентов, которые, если взять четвертую степень, есть 1, 4, 6, 4 и 1.

Тем не менее, продолжая работать в нашей знакомой десятичной системе, Вы заменяете различные значения a и показываете, как меняется его изменения последовательных степеней (1 +a). Если это 0.1, последовательные степени начинают "перетекать" в предыдущие "места". До 4-й степени, первые две цифры есть 1.1, 1.2, 1.3, но в 4-й степени 1,5 будет ближе.

Если a равно 0,01, более высокие степени не влияют на первый член, который в настоящее время во втором знаке после запятой. Оставьте его за вторым местом, первые два места есть 1,01, 1,02, 1,03 и 1,04. Дальнейшие члены 4-й степени только достигают 1,0406 на 4-м месте.

Однако, если a равно 0.2, следующие члены влияют на более ранние. Цифры в квадратиках демонстрируют это.

Системы счисления

Перед изобретением электронных цифровых устройств использовались счетные машины. Числа, которые можно было видеть через окошко, были похожи на те, которые мы сейчас видим на дисплее калькуляторов. Если бы Вы подняли крышку счетной машины, Вы бы увидели, как работает механизм счетной машины, что могло бы помочь Вам понять в общем системы счисления.

Самое правое колесико ведет отсчет 0 до 9 в десятичной системе. Когда оно доходит 9, оно перейдет от 9 до 0 и одновременно передвинет следующее колесико с 0 до 1. Каждый раз, когда первое колесо переходит от 9 до 0, следующее колесико будет переходить на 1 больше, пока оно не возвратиться к 9. Тогда, два колесика будут означать 99. Когда в этот раз первое колесико перейдет от 9 до 0, следующее колесико также перейдет от 9 до 0, а третье колесико передвинется от 0 до 1, и таким образом счетная машина покажет 100.

Двенадцатеричная система

Десятеричная система не единственная, которую Вы можете использовать. Давно, некоторые народы использовали двенадцатеричную систему, считая до 12 вместо десяти. Для того чтобы использовать эту систему в счетных машинах, необходимо было бы добавить два числа на каждом колесике. На колесиках, нарисованных внизу, дополнительные два символа t и e, обозначающие десять и одиннадцать. Современные цифровые системы чаще используют системы с основанием 16, которые называются шестнадцатеричные системы.

Первые шесть букв алфавита вместе с однозначными числами полностью формируют ряд до числа 15.
  Десятичная
  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15  
  Шестнадцатеричная
  0   1   2   3   4   5   6   7   8  9   A   B   C   D   E   F

В десятичной системе "10" (один ноль) означает десять. В двенадцатеричной системе "10" означает двенадцать. В шестнадцатеричной "10" означает шестнадцать. Чтобы получить немного практики в различных системах счисления, попробуйте пользоваться некоторое время двенадцатеричной системой. Вы увидите, почему калькуляторы или компьютеров используют шестнадцатеричную систему, хотя результат высвечивается в десятичной системе счисления.

Преобразование из десятичной системы в двенадцатеричную

Зачем работать в двенадцатеричной системе, когда она никогда не используется? Потому что что-то незнакомое заставляет вас думать, оно помогает вам понять почему это не используется. Шестнадцатеричная система основана на двоичной (основание два), но ее не так просто использовать в системах, использующих большие базы чисел. Итак, посмотрим на преобразование десятичной системы в двенадцатеричную.

Чтобы узнать, скольки раз по двенадцать состоит число, Вы делите число (например 143131, как показано на рисунке ниже) на 12 в в знакомой Вам десятичной системе. Остаток после деления на 12 записывается слева в двенадцатеричной система. Затем разделите число на 12 еще раз. На этот раз остаток равен одиннадцать. В двенадцатеричной систем все числа до одиннадцати должны использовать одну цифру, так что для 11 используется буква е. Вы можете сами далее проследить за правильностью вычислений в остальной части этого преобразования. Двенадцатеричный эквивалент десятичному числу 143131 есть 6t9e7.

Преобразование десятичного числа 143131 в двенадцатеричное

Переход от двенадцатеричной системы в десятичную

Как преобразовать число из двенадцатеричной системы в десятичную? Просто сделать обратный процесс. Двенадцатеричное число разделить на десять столько раз, сколько необходимо. Вам потребуется, как минимум колонка десяти из двенадцатеричной таблицы умножения. Вы, вероятно, были знакомы с двенадцатью колонками, чтобы сделать это довольно легко. Тем не менее, таким образом Вы должны использовать колонку десяти в двенадцатиричной системе счисления. Эта система не знакома, и поэтому заставит вас думать.

Пойдем ниже по колонке десяти. Десять раз по два есть 18. Это означает, что 1 двенадцать и 8, что вы обычно называете двадцать. Двенадцать и восемь в сумме дают двадцать, не так ли? Далее, десять раз по 3 есть 26, что означает 2 двенадцать и 6. Два на двенадцать дает 24 и с шестью дает результат, который обычно называют 30. Пройдите до конца самостоятельно.

ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ

Преобразование двенадцатеричного 6 +9e7 в десятичное

Двоичное счисление

Трудность в работе с двоичной системой состоит в том, что каждое место имеет только два "значения": 0 и 1. Вы не можете посчитать "до" чего-то, а затем перейти к следующему месту. Если у вас уже есть 1, следующая цифра 1 преобразует его обратно в 0, и даст 1 следующему месту. Если у вас есть ряд единиц, то добавление еще одной единицы преобразует все единицы обратно в 0, и присвоит следующему месту 1 (справа налево).

В панели окошек ниже, десятичный эквивалент числа заменен двоичными числами. В двоичной системе в любом месте будет либо 1, либо 0.

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Здесь значения места в двоичном системе, которые имеют 1 вместо 0, приведены в виде десятичных чисел. Начнем с числа в десятичной форме, 1546. Во-первых, 11-я двоичная колонка является 1024, что ставит 1 в 11-м столбце двоичного файла. Вычтите 1024 из 1546, останется 522. Следующая, 10-я колонка в двоичной системе составляет 512, поэтому вычитаем 512 из 522, остается 10, что ставит 1 в 10-м столбце двоичного файла. От 10 колонки налево следующий двоичный знак использует 4-ю колонку, что соответствует 8. Таким образом, мы пропускаем колонки с 9-й по 5-ю, ставим 1 в 4-м столбце и вычитаем 8 из 10 (остаток 2). 2 ставит 1 во 2-м столбце двоичного файла, и таким образом заканчивается преобразование.

Для завершения предыдущего раздела в следующей таблице приведены двоичные эквиваленты десятичных чисел от 1 до 30.

Умножение в двоичной системе

Хотя Вы вводите данные в калькулятор или компьютер в знакомой десятичной системе счисления, все они используют двоичную систему для выполнения математических функций. Попробуем проделать умножение чисел, как делает это калькулятор. Предположим, вы умножаете 37 на 27. Во-первых, необходимо преобразовать каждое число в двоичную систему, что и делает калькулятор, когда вы вводите цифры. Я буду упрощать этот процесс, преобразовав числа в настоящие двоичные, а не в би-пятеричные, которые облегчают задачу для калькулятора, но делают ее более трудной для понимания. Но с этим разберемся позже.

Ниже приведено преобразование 37 в 27 в чистой двоичной системе.

Здесь есть умножение в двоичной системе, изложенное также, как обычные способы умножения, но в системе, где не допускаются цифры больше чем 1. Каждая цифра должна быть равно 1 или 0. И в действительности процесс сводится к тому, чтобы сложить последовательности цифр, которые представляют 37, и последовательность где 1-цифра есть 27.

Четыре единицы в 27, и поэтому три единицы в 37 (с "вкраплениями" нулей) вводятся 4 раза в нужных местах (для представления "27 раз") и слагаются. Вы можете их все добавить сразу. Тем не менее, калькулятор делает это последовательно. Каждые две сложенные единицы превращаются в 0 и добавляют 1 до следующего места слева.

Двигаясь справа налево, видно, что у первых трёх позиций в сумме есть только одна единица. На четвёртой позиции есть две единицы, которые в сумме дают 0 этой позиции и добавляют единицу к пятой позиции, у которой уже есть собственная единица, так что здесь ставится 0 и единица переходит на шестую позицию. Но у этой позиции уже есть две единицы, поэтому здесь остается единица, которая также добавляется к единице на седьмом месте, где снова есть две единицы. Эта позиция теперь также имеет единицу, которая перемещается на восьмое место. На восьмой позиции эта единица остается и это окончательное перемещение, спровоцированное перемещением справа налево. Оставшиеся две позиции имеют по единице, которые и занимают их. Таким образом, получился результат - двоичное число 1111100111.

Преобразуйте двоичное число назад в десятичное, подставляя десятичный эквивалент каждой позиции, где есть единица. Для проверки, умножьте 37 на 27 старым длинным способом.

"Каким длинным путем?" спросите Вы. Двоичный путь и так кажется довольно длинный. Единственная причина, того, что калькулятор делает это так быстро, это то, что он выполняет миллионы операций в секунду. Поэтому, этим долгим методом калькулятор считает быстрее, чем вы считаете методом, который гораздо короче.

Умножение 37 на 27 двоичным способом

ДВОИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ

Альтернативное двоичное преобразование

Вот еще один способ преобразования десятичных чисел в двоичные. Он использует таблицу двоичных эквивалентов чисел от 1 до 9 для каждого десятичного места. Для иллюстрации этого способа два числа для деления, приведенного ниже, преобразованы в двоичные (см. таблицы ниже).

Обратите внимание, что двоичные эквиваленты для конкретной цифры не имеют никакого отношения друг к другу - от одной колонки к другой. Вы не можете передвинуть десятичную точку или умножить на десять, как Вы делаете подобный сдвиг в двоичной системе. Я вернусь к тому как калькуляторы или компьютеры справляются с этой проблемой чуть позже.

Деление двоичных чисел

Деление двоичных чисел на самом деле есть повторяющееся вычитание. 37 в двоичной системе 1000001.

Для преобразования двоичного числа обратно в десятичное, используйте вычитание в двоичной системе и применяйте таблицы из предыдущего раздела. Первое вычитание есть двоичное число 100-а, что оставляет 11101. Для двоичного числа 20-ти, что оставляет 1001, вычитается двоичное 9. Работая так через двоичные, после деления 4773 на 37 частное есть 129.

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ДВОИЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ДЕЛЕНИЕ 4773 на 37
1001010100101 на 100101

Специальная двоичная система для калькуляторов

Вы заметили, что двоичные числа для различных чисел в десятичной системе меняются на каждой позиции, что делает преобразование сложным. При вводе цифры на калькуляторе, первая цифра появляется справа. При вводе следующей цифры, первая цифра перемещается влево и новая цифра появляется справа от нее. Если бы калькулятор преобразовывал бы двоичную последовательность в новую с получением следующей цифры, система была бы очень сложной.

Так, калькулятор выделяет 4 двоичных места для каждого десятичного знака, для чего требуется немного больше "пространства" в памяти калькулятора, чем потребовался бы чистый двоичный код. По сути дела, калькулятор теперь "работает" в десятичной системе, но использует 4 "бита" двоичной системы для каждой десятичной позиции.

Показатели степеней

В любой системе счисления - двоичной, восьмеричной, десятичной или шестнадцатеричной (или даже в других, которые используются в очень узких сферах), место цифры указывает степень числа, на котором основывается эта система. В двоичной системе, позиция, где появляется единица, представляет некоторую степень числа 2. На 4-й позиции это третья степень числа 2, что равно 8. Вот сравнение степеней 2 и степеней 10.

На этом примере Вы можете увидеть некоторые правила использования показателей степеней, которые помогают нам идти короткими путями в умножении и делении. Во-первых, помните, что умножение и деление это укороченные методы выполнения повторяющихся операция сложения и вычитания. Теперь, степени являются укороченными методами для многократного умножения и деления.

Предположим, что Вы должны умножить x^a на x^b. Произведение равно x^(a+b). Вы можете легко это увидеть, если Вы напишите x умноженное на само себя a раз, и тогда умножить результат на x, умноженной само на сабя b раз. Общее число раз, которое Вы умножали x само на себя, равно (a + b) раз. Для иллюстрации, предположим, что a равно 3 и b равно 2; x³ умноженное на x² дает x⁵. В численном значении, 2³ равно 8, 2² равно 4, и 2⁵ равно 32. 8 x 4 = 32. Это проверка.

Теперь попробуем деление. Разделяя x^a на x^b, частное есть x^a-b. Вы можете проверить этот ответ, умножая x само на себя a раз как числитель дроби и используя x умноженное само на себя b раз в знаменателе. Вы можете сократить b раз в знаменателе и оставить остаток х-ов в знаменателе, что равно (a — b) раз. Для иллюстрации, пусть a = 5 и b = 2. x⁵ разделенное на x² равняется x³. Если вы использовали 2 для x, x⁵ равно 32, x² равно 4, и x³ равно 8. 32 разделенное на 4 равно 8.

Арифметические корни: инверсия степеней

Здесь вы должны понимать разницу между инверсией числа и инверсией степени. Отрицательная степеннь есть инверсией или обратной величиной числа, возведенного в степень, определенную индексом. Арифметические корни есть противоположность возведению в степень. Например, из-за того, что 2² равно 4, то 4^1/2 равно 2; 2³ равно 8, а 8^1/3 равно 2; 2⁴ равно 16, а 16^1/4 равно 2 и так далее.

Дробные показатели степеней означают арифметические корни. Степень 3/2 четырех есть 8 - квадратный корень 4 есть 2, и 2³ равно 8. Обратный процесс, 8^2/3 равно 4. Вы можете найти другие корни чисел используя квадратные корни. Например, 2^1/2 (квадратный корень двух) равно 1.414 и так далее; 8^1/2 равно удвоенному значению предыдущего. Почему? Так как 4^1/2 равно 2 и 2^1/2 равно 1.414, (2 раза по 4)^1/2 равно 8^1/2 (удвоенное 1.414), что равно 2.828.

Вообще, Вы не ограничены квадратными корнями, да и вообще какими-либо конкретными корнями. Теперь, совершенно новая область чисел открыта для Вас.

Арифметический корень n-й степени и степени чисел

Представление арифметических корней n-й степени есть возвращением к практически устаревшему способу написания арифметических корней. Перед тем, как описанные в предыдущем разделе обозначения дробных степеней вошли в моду, было принято использовать число на знаком квадратного корня, для указания значения корня. Таким образом, просто знак корня перед х представлял собой квадратный корень из х, такой же, как х /. Написание цифры 3 над знаком корня означало кубический корень из х. Написание небольших n или любой другой буквы или цифры над знаком корня также обозначало конкретный корень. Если число под знаком корня имело степень b и значение a стояло над знаком корня, это могло бы быть записано как: x^b/a. Длинный знак корня над членами a² + b² есть корнем всего выражения. Это выражение может быть записано как: (a² + b²)^1/2.

Вопросы и задачи

Примечание: эти вопросы и задачи расположены в случайном порядке. Если у Вас есть трудности с какой-то задачей, попробуйте решить другую, а затем вернуться к нерешенной задаче. Задачи составлены таким образом, что Вы должны проявлять определенную инициативу в применении принципов, которые были рассмотрены ранее.

1. Найдите десятичный эквивалент дроби 1/37. Определите ошибку преобразования, которая возникает, когда десятичный эквивалент преобразуется до трех значащих цифр.

2. Используя двойную систему, умножьте 15 на 63 и преобразуйте результат обратно в десятичное число. Проверьте свой результат непосредственно умножением десятичных чисел.

3. Используя двоичную систему, разделите 1922 на 31 и преобразовать результат обратно в десятичной число. Проверьте свой результат непосредственно умножением десятичных чисел.

4. Найдите значения следующих выражений:
(a) 16^3/4       (b) 243^0,8       (c) 25^1,5
(d) 64^2/3       (e) 343^4/3

5. Преобразуйте следующие числа из десятичных в двоичные. В качестве проверки, преобразуйте их также обратно в десятичные.
(a) 62       (b) 81       (c) 111
(d) 49       (e) 98       (f) 222
(g) 650       (h) 999       (i) 2000

6. Преобразуйте следующие числа из десятичных в двоичные. В качестве проверки, преобразуйте их также обратно в десятичные.
(a) 101       (b) 1111       (c) 10101
(d) 111100       (e) 110111000110

7. Умножьте 129 на 31 в десятичной системе. Умножьте двоичные эквиваленты этих чисел. Предположим, что была сделана ошибка во второй цифре справа во втором числа в десятичном результате, поэтому 129 умножается на 41, а не на 31. Предположим, что подобная ошибка произошла в двоичной системе, поэтому вторая цифра справа во втором числе меняется на противоположную. Сравните относительную погрешность в десятичной системе с ошибкой в двоичной системе счисления.

8. Подсчитайте значение выражения (a² + b²)^1/2 для следующих значений:
(a) a = 4 и b = 3       (b) a = 12 и b = 5
(c) a = 24 и b = 7       (d) a = 40 и b = 9
(e) a = 60 и b = 11       (f) a = 84 и b = 13
(g) a= 112 и 6= 15
Что общего имеет каждая пара?

9. Подсчитайте значение выражения (a² + b²)^1/2 для следующих значений:
(a) a = 8 и b = 6       (b) a = 15 и b = 8
(c) a = 24 и b = 10       (d) a = 35 и b = 12
(e) a = 48 и b = 14       (f) a = 63 и b = 16
Что общего имеет каждая пара?

10. Запишите как простые десятичные числа, без дробей, следующие выражения:
(a) 100²       (b) 100^1/2
(c) 100^-2       (d) 100^-1/2
Из этих четырёх значений, найдите значения следующих выражений методом сложения и вычитания степеней:
(e) 100^3/2       (f) 100^5/2      
(g) 100^-3/2       (h) 100^-5/2

11. Используя на калькуляторе только клавишу вычисления квадратного корня, найдите следующие значения по крайней мере с тремя цифрами после запятой:
(a) 100^1/4       (b) 100^1/8      
(c) 100^1/16       (d) 100^1/32

12. Если значение степени в d) предыдущей задачи делить пополам, то есть 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, и так далее, к какому числу будет стремиться выражение? Почему?

13. Найдите значения до трех верных десятичных цифр после запятой для следующих:
(a) 32^0,1       (b) 32^0,2       (c) 32^0,3      
(d) 32^0,4       (e) 32^0,5       (f)32^0,6      
(g) 32^0,7       (h) 32^0,8       (i) 32^0,9      

14. Посчитайте значения следующих выражений, используя калькулятор, если Вы хотите. Где возможно, посчитайте значения выражений хотя бы до трёх десятичных цифр после запятой:
(a) (10² - 2⁶)^1/2       (b) (36² - 8³)^1/2       (c) (28² - 21²)^1/3
(d) (5² - 3²)^1/4       (e) (17² - 15²)^1/6       (f) 6561^1/2
(g) 6561^-1/2       (h) 6561^1/4       (i) 6561^-1/4
(j) 6561^1/8       (k) 6561^-1/8