Дроби

Определения

Предположим a и b есть целые числа и b не равно 0. Число $\frac{a}{b}$ называется дробь.
Число a называется числителем, а b называется знаменателем. Дробь - это число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы.
Знаменатель показывает, на сколько равных частей мы разделили единицу, а числитель показывает, сколько частей мы берем.

Примеры дробей

Пример 1: Бекки, Мерри и Джон хотят разделить шоколадку. Какая часть шоколадки достанется каждому?
И какую часть шоколадки достанется девочкам?

Ребята делят шоколадку на три части и поэтому каждому достанется $\frac{1}{3}$ целой шоколадки. Девочек двое, и поэтому им достанется две части поделенной шоколадки, а на языке математики им достанется $\frac{2}{3}$ шоколадки.

Пример 2: Сколько солдат в желтой форме из всех солдат?

Пример 3: Какую часть составляет недостающее яблоко часть от всех яблок

Действия с дробями

Сложение:(одинаковыми знаменателями)
$\frac{A}{B} +\frac{C}{B} = \frac{A + C}{B}$
Пример

Пример:
$\frac{1}{5} +\frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}$

Вычитание:(одинаковыми знаменателями)
$\frac{A}{B} -\frac{C}{B} = \frac{A - C}{B}$
Пример

Пример:
$\frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4 - 2}{5} = \frac{2}{5}$

Сложение:(различные знаменатели)
$\frac{A}{B} +\frac{C}{D} = \frac{A\cdot D}{B\cdot D} +\frac{B\cdot C}{B\cdot D} = \frac{A\cdot D + B\cdot C}{B\cdot D}$
Пример

Пример:
$\frac{3}{5} +\frac{1}{2} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 2} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}= \frac{3\cdot 2 + 5 \cdot 1}{5 \cdot 2}=\frac{11}{10}$

Вычитание:(различные знаменатели)
$\frac{A}{B} -\frac{C}{D} = \frac{A\cdot D}{B\cdot D} -\frac{B\cdot C}{B\cdot D} = \frac{A\cdot D - B\cdot C}{B\cdot D}$
Пример

Пример:
$\frac{3}{5} -\frac{1}{2} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 2} - \frac{5 \cdot 1}{5\cdot 2}= \frac{3\cdot 2 - 5 \cdot 1}{5\cdot 2}=\frac{1}{10}$

Умножение:
$\frac{A}{B}\times\frac{C}{D} = \frac{A\cdot C}{B\cdot D}$
Пример

Пример:
$\frac{3}{5} \times \frac{7}{8} = \frac{3\cdot 7}{5\cdot 8} = \frac{15}{56}$

Деление:
$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\times\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}$
Пример

Пример:
$\frac{3}{5} \div \frac{2}{9} = \frac{3}{5} \times \frac{9}{2} = \frac{3\times 9}{5\times 2} = \frac{27}{10}$

Свойства дробей

Свойство I: Все окрашенные в красный цвет части кругов являются половиной кругов и они равны $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}$ и $\frac{3}{6}$. Но все они представляют половину одинаковых кругов, поэтому $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$

Дробь $\frac{2}{4}$ это результат того, что в дроби $\frac{1}{2}$ мы умножили числитель и знаменатель на $2$. Из $\frac{3}{6}=>\frac{1}{2}$, когда мы разделим числитель и знаменатель $3$. Пусть a, b и c являются целыми числами, причем b и c не равны 0.

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$ и $\frac{a}{b}=\frac{a:c}{b:c}$

Свойство II: Из двух дробей с равными знаменателями большей является дробь с большим числителем. Если a, b и c - целые числа и c они не равны 0:

$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$, если $a>b$

Пример: $\frac{4}{5} > \frac{3}{5} > \frac{2}{5}$

Свойство III : Из двух дробей с равными числителями большей является дробь с меньшим знаменателем. Если a, b и c являются целыми числами, b и c не равны 0.

$\frac{a}{b}>\frac{a}{c}$, если $b< c$

Пример: $\frac{3}{4} > \frac{3}{5} > \frac{3}{20}$

Тест на знание дробей

Больше информации о дробях находится в разделе "Математический форум"

Дроби