Уравнения третьей и четвёртой степени

Калькулятор уравнений третьей и четвёртой степени

Выберите степень и введите коэффициенты. Это могут быть целые числа, десятичные дроби (например, 0,5) или обыкновенные дроби (например, 1/3). Пустое поле означает 0. Калькулятор ищет рациональные корни и для каждого из них делит многочлен по схеме Горнера. Оставшееся квадратное уравнение он решает по формуле корней, кубическое — по формуле Кардано или тригонометрическим методом, а уравнение четвёртой степени — методом Феррари. Он также распознаёт биквадратные и возвратные уравнения. Корни, которые нельзя записать в простом виде, вычисляются приближённо.

Что такое уравнения третьей и четвёртой степени?

Кубическое уравнение имеет не более трёх действительных корней, а уравнение четвёртой степени — не более четырёх. Каждое кубическое уравнение имеет хотя бы один действительный корень. При больших $|x|$ член $ax^3$ по модулю больше суммы всех остальных членов, поэтому многочлен $ax^3+bx^2+cx+d$ имеет один знак при больших положительных $x$ и противоположный знак при больших по модулю отрицательных $x.$ График функции $y=ax^3+bx^2+cx+d$ — непрерывная линия, поэтому он пересекает ось $x.$ Уравнение четвёртой степени может вообще не иметь действительных корней; например, уравнение $x^4+1=0$ их не имеет, так как $x^4+1\ge 1.$

Для обоих уравнений существуют общие формулы корней: формула Кардано для кубического уравнения и метод Феррари для уравнения четвёртой степени. Оба способа найдены в XVI веке. Они громоздкие, поэтому начинать стоит с более простых приёмов. В школьных задачах уравнения обычно имеют рациональный корень или особый вид, и тогда их быстро решают разложением на множители.

На этой странице: Калькулятор · Число корней · Как решать · Разложение · Рациональные корни · Формулы Виета · Формула Кардано · Три действительных корня · Уравнения 4-й степени · Метод Феррари · Формулы корней · Текстовые задачи · Упражнения

Сколько может быть действительных корней?

Действительные корни уравнения $P(x)=0$ — это значения $x,$ при которых график $y=P(x)$ пересекает ось $x$ или касается её. На рисунках показаны возможные случаи.

• Кубическое уравнение имеет один, два или три различных действительных корня. Если корней два, то один из них двукратный: в этой точке график только касается оси $x.$
• Уравнение четвёртой степени имеет четыре, три, два или один действительный корень либо не имеет их вовсе.
• Если $a\gt 0,$ то график кубического многочлена справа уходит вверх, а слева — вниз; если $a\lt 0,$ то наоборот. График многочлена четвёртой степени уходит вверх на обоих концах, когда $a\gt 0$ (и вниз на обоих концах, когда $a\lt 0$), поэтому он может не пересекать ось $x,$ а график кубического многочлена пересекает её всегда.

Корень называется двукратным, если множитель $x-x_0$ входит в разложение на множители дважды. Например, ${x^3-3x+2}={(x-1)^2(x+2),}$ поэтому $x=1$ — двукратный корень, а $x=-2$ — простой корень. На среднем рисунке верхнего ряда график касается оси $x$ в точке $x=1$ и пересекает её в точке $x=-2.$

Если учитывать и комплексные корни, а двукратный корень считать дважды, то кубическое уравнение всегда имеет ровно три корня, а уравнение четвёртой степени — ровно четыре (основная теорема алгебры). Комплексные корни уравнения с действительными коэффициентами разбиваются на пары комплексно-сопряжённых чисел $u\pm vi.$

Как решать уравнение третьей или четвёртой степени

1. Переносим все члены в левую часть и приводим подобные. Если есть дроби, умножаем на общий знаменатель. Если все коэффициенты имеют общий множитель, делим на него.
2. Если свободного члена нет, выносим за скобки $x$ (или степень $x$): тогда $x=0$ — корень.
3. Проверяем, не имеет ли уравнение особого вида: сумма или разность кубов, биквадратное уравнение $ax^4+bx^2+c=0,$ возвратное уравнение или повторяющееся выражение, которое можно заменить новой переменной.
4. Пробуем разложить многочлен на множители группировкой.
5. Ищем рациональные корни (по теореме о рациональных корнях, см. ниже) и для каждого из них делим многочлен по схеме Горнера. Каждый найденный корень понижает степень на единицу.
6. Когда остаётся квадратный множитель, решаем квадратное уравнение по формуле корней.
7. Если рациональных корней нет, применяем формулу Кардано или тригонометрический метод для кубического уравнения и метод Феррари для уравнения четвёртой степени либо находим корни приближённо.

Разложение на множители: общий множитель и группировка

Пример 1. Общий множитель

Решите уравнение $x^3-9x=0.$

Вынесем $x$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов:

$x(x^2-9)=0,$  $x(x-3)(x+3)=0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Ответ: $x=0,$ $x=3,$ $x=-3.$

Не делите обе части уравнения на $x\text{:}$ при этом теряется корень $x=0.$

Пример 2. Группировка

Решите уравнение $x^3+2x^2-9x-18=0.$

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

${x^2(x+2)-9(x+2)}={0,}$  $(x+2)(x^2-9)=0,$  ${(x+2)(x-3)(x+3)}={0}$

Ответ: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=3.$

Пример 3. Разность кубов

Решите уравнение $x^3-8=0.$

По формуле ${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$ (см. формулы сокращённого умножения):

${x^3-8}={(x-2)(x^2+2x+4)}={0}$

Квадратный множитель не имеет действительных корней: его дискриминант $D=4-16=-12\lt 0.$ Ответ: $x=2.$

Тот же ответ сразу получается из $x^3=8\text{:}$ у действительного числа ровно один действительный кубический корень, поэтому $x=\sqrt[3]{8}=2.$ Квадратный множитель даёт два комплексных корня $x=-1\pm i\sqrt{3}.$

Рациональные корни и схема Горнера

Почему это верно. Подставим $x=\frac{p}{q}$ и умножим на $q^n\text{:}$

${a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q}+{\dots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n}={0}$

Все слагаемые, кроме последнего, содержат множитель $p,$ поэтому $p$ — делитель числа $a_0q^n.$ Так как $p$ и $q$ взаимно просты, $p$ — делитель числа $a_0.$ Точно так же все слагаемые, кроме первого, содержат множитель $q,$ поэтому $q$ — делитель числа $a_np^n,$ а значит, и числа $a_n.$

Теорема даёт короткий список кандидатов в корни. Два из них проверяются быстро:

• $x=1$ является корнем тогда и только тогда, когда сумма всех коэффициентов равна $0;$
• $x=-1$ является корнем тогда и только тогда, когда сумма коэффициентов при чётных степенях равна сумме коэффициентов при нечётных степенях (свободный член считается коэффициентом при чётной степени $x^0$).

Если $x_0$ — корень, то многочлен делится на $x-x_0\text{:}$ $P(x)=(x-x_0)\,Q(x)$ (теорема Безу). Степень частного $Q(x)$ на единицу меньше, а схема Горнера позволяет найти его коэффициенты в одну строку.

Пример 4. Три целых корня

Решите уравнение $x^3-6x^2+11x-6=0.$

Старший коэффициент равен $1,$ поэтому каждый рациональный корень — целое число, которое является делителем числа $6.$ Кандидаты: $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6.$ Сумма коэффициентов равна $1-6+11-6=0,$ поэтому $x=1$ — корень. Делим на $x-1\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -6 & 11 & -6 \\ 1 & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

Последнее число — это остаток $0,$ а остальные числа — коэффициенты частного:

${x^3-6x^2+11x-6}={(x-1)(x^2-5x+6)}$

Квадратное уравнение $x^2-5x+6=0$ имеет корни $2$ и $3$ (их сумма равна $5,$ а произведение равно $6$). Ответ: $x=1,$ $x=2,$ $x=3.$

Пример 5. Дробный корень

Решите уравнение $2x^3+3x^2-8x+3=0.$

Здесь $p$ — делитель числа $3,$ а $q$ — делитель числа $2,$ поэтому кандидатами являются $\pm 1,$ $\pm 3,$ $\pm\frac12,$ $\pm\frac32.$ Сумма коэффициентов равна $2+3-8+3=0,$ поэтому $x=1$ — корень:

$\begin{array}{r|rrr|r} & 2 & 3 & -8 & 3 \\ 1 & & 2 & 5 & -3 \\ \hline & 2 & 5 & -3 & 0\end{array}$

Значит, ${(x-1)(2x^2+5x-3)}={0.}$ Для квадратного уравнения $D=25+24=49$ и

$x=\frac{-5\pm 7}{4},$  $x=\frac12,$  $x=-3$

Ответ: $x=-3,$ $x=\frac12,$ $x=1.$

Пример 6. Иррациональные корни

Решите уравнение $x^3-3x^2-2x+4=0.$

Сумма коэффициентов равна $1-3-2+4=0,$ поэтому $x=1$ — корень:

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -3 & -2 & 4 \\ 1 & & 1 & -2 & -4 \\ \hline & 1 & -2 & -4 & 0\end{array}$

Частное даёт уравнение $x^2-2x-4=0,$ для которого $D=4+16=20$ и

${x}={\frac{2\pm\sqrt{20}}{2}}={\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{2}}={1\pm\sqrt{5}}$

Ответ: $x=1,$ $x=1+\sqrt{5}\approx 3{,}236,$ $x=1-\sqrt{5}\approx -1{,}236.$ Теорема о рациональных корнях позволила найти только $x=1;$ два других корня иррациональны, и их мы нашли по формуле корней квадратного уравнения.

Пример 7. Двукратный корень

Решите уравнение $x^3-3x+2=0.$

Сумма коэффициентов равна $1-3+2=0,$ поэтому $x=1$ — корень. Не забудьте записать в схему нулевой коэффициент при $x^2\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0\end{array}$

Частное ${x^2+x-2}={(x-1)(x+2)}$ снова имеет корень $1,$ поэтому

${x^3-3x+2}={(x-1)^2(x+2)}$

Ответ: $x=1$ (двукратный корень) и $x=-2.$

Если ни один из кандидатов не является корнем, то у кубического уравнения нет рациональных корней и его действительные корни иррациональны. Тогда используйте формулу Кардано (см. ниже) или найдите корни приближённо. (Уравнение четвёртой степени без рациональных корней всё же может раскладываться на два квадратных множителя, как в примере 14.)

Формулы Виета

Корни связаны с коэффициентами так же, как в теореме Виета для квадратного уравнения. Если $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ — корни уравнения $ax^3+bx^2+cx+d=0$ (с учётом комплексных и кратных корней), то

Эти формулы получаются сравнением коэффициентов в равенстве ${ax^3+bx^2+cx+d}={a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).}$ Для уравнения четвёртой степени ${ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}={0}$ с корнями $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4\text{:}$

Проверка решения примера 4. Для $x^3-6x^2+11x-6=0$ и корней $1,$ $2,$ $3\text{:}$ $1+2+3=6,$ $1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=11,$ $1\cdot 2\cdot 3=6.$ Это и есть $-\frac{b}{a}=6,$ $\frac{c}{a}=11$ и $-\frac{d}{a}=6.$

Уравнение с заданными корнями. Для корней $-1,$ $2$ и $4$ сумма равна $5,$ сумма попарных произведений равна $-2-4+8=2,$ а произведение равно $-8.$ Поэтому при $a=1\text{:}$

$x^3-5x^2+2x+8=0$

То же самое получится, если раскрыть скобки в произведении $(x+1)(x-2)(x-4).$

Формула Кардано для кубического уравнения

Кубическое уравнение без рациональных корней решают по формуле, которую Джероламо Кардано опубликовал в 1545 году в книге Ars Magna. Сципион дель Ферро и Никколо Тарталья нашли её ещё раньше. Метод состоит из двух шагов.

Шаг 1. Убираем член с x²

Разделим уравнение на $a$ и сделаем замену $x=t-\frac{b}{3a}.$ Члены с $t^2$ взаимно уничтожатся, и мы получим неполное кубическое уравнение (кубическое уравнение без члена второй степени)

Почему именно $\frac{b}{3a}\text{:}$ если раскрыть скобки в $(t-h)^3$ и $\frac{b}{a}(t-h)^2,$ то члены с $t^2$ будут равны $-3ht^2$ и $\frac{b}{a}t^2.$ Они взаимно уничтожаются при $h=\frac{b}{3a}.$ Например, уравнение $x^3+3x^2+6x+2=0$ после замены $x=t-1$ принимает вид

${(t-1)^3}+{3(t-1)^2+6(t-1)+2}={t^3+3t-2}={0}$

Шаг 2. Решаем t³ + pt + q = 0

Будем искать $t$ в виде суммы $t=u+v.$ Так как ${(u+v)^3}={u^3+v^3+3uv(u+v),}$ число $t=u+v$ удовлетворяет уравнению

${t^3-3uv\cdot t-(u^3+v^3)}={0}$

Оно совпадает с нашим уравнением, если $3uv=-p$ и $u^3+v^3=-q.$ Тогда $u^3v^3=-\frac{p^3}{27},$ поэтому по теореме, обратной теореме Виета, $u^3$ и $v^3$ — корни квадратного уравнения $z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0\text{:}$

$u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta},$  $v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta},$  $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$

Если $\Delta\ge 0,$ то берём действительные значения кубических корней; кубический корень из отрицательного числа отрицателен, например $\sqrt[3]{-8}=-2.$ Тогда корень $x$ данного уравнения равен $x=t-\frac{b}{3a}.$

Знак Δ и число действительных корней

Знак $\Delta$	Корни уравнения
$\Delta\gt 0$	один действительный корень и два комплексно-сопряжённых корня
$\Delta=0$	два различных действительных корня: $t_1=\frac{3q}{p}$ и двукратный корень $t_2=t_3=-\frac{3q}{2p}$ (если $p=q=0,$ то $t=0$ — трёхкратный корень)
$\Delta\lt 0$	три различных действительных корня

Обратите внимание: здесь правило обратное по сравнению с квадратным уравнением — при $\Delta\gt 0$ действительный корень только один. (Во многих книгах используют дискриминант кубического уравнения $-4p^3-27q^2=-108\Delta,$ который имеет противоположный знак: он положителен, когда уравнение имеет три различных действительных корня.)

Рисунок поясняет таблицу на примере уравнений $x^3-3x+q=0.$ Их корни — это значения $x,$ при которых график $y=x^3-3x$ имеет общую точку с горизонтальной прямой $y=-q.$ Здесь $p=-3$ и $\Delta=\frac{q^2}{4}-1.$ График имеет максимум в точке $(-1;\ 2)$ и минимум в точке $(1;\ -2).$ Прямая, проходящая между ними ($|q|\lt 2,$ $\Delta\lt 0$), пересекает график в трёх точках, прямая через одну из этих точек ($|q|=2,$ $\Delta=0$) касается графика в этой точке, а прямая выше или ниже их ($|q|\gt 2,$ $\Delta\gt 0$) имеет с графиком одну общую точку.

Пример 8. Один действительный корень

Решите уравнение $x^3-6x-6=0.$

Кандидаты $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6$ не являются корнями, поэтому рациональных корней нет. В уравнении нет члена с $x^2,$ поэтому сразу $p=-6$ и $q=-6\text{:}$

${\Delta}={\left(\frac{-6}{2}\right)^2+\left(\frac{-6}{3}\right)^3}={9-8}={1}\gt{0}$

Уравнение имеет один действительный корень. Так как $-\frac{q}{2}=3$ и $\sqrt{\Delta}=1,$

${x}={\sqrt[3]{3+1}+\sqrt[3]{3-1}}={\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}\approx{1{,}5874+1{,}2599}={2{,}8473}$

Ответ: $x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\approx 2{,}847.$ (Проверка: ${uv}={\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}}={\sqrt[3]{8}}={2}={-\frac{p}{3}.}$)

Пример 9. Уравнение с членом x²

Решите уравнение $x^3+3x^2+6x+2=0.$

Кандидаты — $\pm 1$ и $\pm 2.$ При подстановке получаются числа $12,$ $-2,$ $34$ и $-6,$ и ни одно из них не равно $0.$ Как показано выше, замена $x=t-1$ даёт $t^3+3t-2=0,$ поэтому $p=3,$ $q=-2$ и

$\Delta=(-1)^2+1^3=2,$  $t=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}$

Число $1-\sqrt{2}$ отрицательно, поэтому отрицателен и его кубический корень: $\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\approx 1{,}3415$ и $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}\approx -0{,}7454.$ Значит, $t\approx 0{,}5961$ и

${x}={t-1}={-1+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}}\approx{-0{,}4039}$

Ответ: $x\approx -0{,}404.$ Два других корня комплексные, так как $\Delta\gt 0.$

Формула Кардано может спрятать целый корень за громоздкой записью. Для $x^3+6x-20=0$ она даёт $\Delta=100+8=108,$ $\sqrt{\Delta}=6\sqrt{3}$ и ${x}={\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}+\sqrt[3]{10-6\sqrt{3}}.}$ Но $(1+\sqrt{3})^3=10+6\sqrt{3}$ и $(1-\sqrt{3})^3=10-6\sqrt{3},$ поэтому ${x}={(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})}={2.}$ Теорема о рациональных корнях находит $x=2$ сразу. Всегда начинайте с поиска рациональных корней.

Три действительных корня: тригонометрический метод

Если $\Delta\lt 0,$ то кубическое уравнение имеет три действительных корня, но $\sqrt{\Delta}$ в формуле Кардано — квадратный корень из отрицательного числа. Формула всё равно работает, если выполнять вычисления с комплексными числами. Это показал Рафаэль Бомбелли в 1572 году, сделав важный шаг к созданию теории комплексных чисел. Для действительных корней есть способ проще, основанный на формуле косинуса тройного угла

$\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$

Если $\Delta\lt 0,$ то $p\lt 0$ (так как $\frac{q^2}{4}\ge 0$). Положим $r=\sqrt{-\frac{p}{3}}$ (тогда $p=-3r^2$) и будем искать корни уравнения $t^3+pt+q=0$ в виде $t=2r\cos\varphi\text{:}$

$8r^3\cos^3\varphi-6r^3\cos\varphi+q=0,$  $2r^3(4\cos^3\varphi-3\cos\varphi)=-q$

Углы $\varphi+120^\circ$ и $\varphi+240^\circ$ тоже дают корни, потому что у углов $3(\varphi+120^\circ)=3\varphi+360^\circ$ и $3(\varphi+240^\circ)=3\varphi+720^\circ$ тот же косинус, что и у угла $3\varphi.$ Так как $0^\circ\lt 3\varphi\lt 180^\circ,$ имеем $0^\circ\lt\varphi\lt 60^\circ,$ поэтому $t_1$ — наибольший корень, а $t_2$ — наименьший.

Пример 10. Три иррациональных корня

Решите уравнение $x^3-3x+1=0.$

Кандидаты $\pm 1$ дают $-1$ и $3,$ поэтому рациональных корней нет. Здесь $p=-3,$ $q=1$ и $\Delta=\frac14-1=-\frac34\lt 0\text{:}$ уравнение имеет три действительных корня. Члена с $x^2$ нет, поэтому $t=x.$ Тогда $r=\sqrt{1}=1,$ и при $x=2\cos\varphi\text{:}$

$\cos 3\varphi=-\frac{1}{2},$  $3\varphi=120^\circ,$  $\varphi=40^\circ$

$x_1=2\cos 40^\circ\approx 1{,}5321,$  ${x_2}={2\cos 160^\circ}\approx{-1{,}8794,}$  $x_3=2\cos 280^\circ\approx 0{,}3473$

Ответ: $x=2\cos 40^\circ,$ $x=2\cos 160^\circ,$ $x=2\cos 280^\circ.$ Проверка по формулам Виета: сумма корней должна быть равна $-\frac{b}{a}=0,$ и действительно ${1{,}5321}-{1{,}8794+0{,}3473}={0.}$ На рисунке корни — это проекции на ось $x$ трёх точек окружности радиуса $2,$ отстоящих друг от друга на $120^\circ.$

Решение уравнений четвёртой степени

Для уравнения четвёртой степени первые шаги те же: ищем рациональные корни и проверяем, не имеет ли уравнение особого вида. Каждый рациональный корень понижает степень: если у уравнения четвёртой степени есть рациональный корень, то после деления по схеме Горнера остаётся кубическое уравнение.

Пример 11. Рациональные корни

Решите уравнение ${x^4-2x^3-7x^2+8x+12}={0.}$

Кандидаты — делители числа $12.$ Сумма коэффициентов равна $1-2-7+8+12=12,$ поэтому $1$ не является корнем. Проверим $x=-1\text{:}$ сумма коэффициентов при чётных степенях равна $1-7+12=6,$ а при нечётных — $-2+8=6,$ поэтому $x=-1$ — корень:

$\begin{array}{r|rrrr|r} & 1 & -2 & -7 & 8 & 12 \\ -1 & & -1 & 3 & 4 & -12 \\ \hline & 1 & -3 & -4 & 12 & 0\end{array}$

Частное третьей степени раскладывается на множители группировкой:

${x^3-3x^2-4x+12}={x^2(x-3)-4(x-3)}={(x-3)(x-2)(x+2)}$

Ответ: $x=-2,$ $x=-1,$ $x=2,$ $x=3.$

Пример 12. Замена переменной

Решите уравнение ${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}={24.}$

Если раскрыть все четыре скобки, получится уравнение четвёртой степени. Проще перемножить первую скобку с последней, а вторую с третьей:

${(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)}={24}$

Обе скобки содержат $x^2+5x.$ Сделаем замену $y=x^2+5x+5,$ т.е. возьмём среднее арифметическое этих двух выражений:

$(y-1)(y+1)=24,$  $y^2=25,$  $y=\pm 5$

Из $x^2+5x+5=5$ получаем $x(x+5)=0,$ т.е. $x=0$ или $x=-5.$ Из $x^2+5x+5=-5$ получаем $x^2+5x+10=0,$ где $D=25-40\lt 0\text{:}$ действительных корней нет.

Ответ: $x=0,$ $x=-5.$

Уравнение четвёртой степени только с чётными степенями неизвестного, т.е. $ax^4+bx^2+c=0,$ решается заменой $u=x^2;$ см. биквадратные уравнения.

Пример 13. Возвратное уравнение

В уравнении ${ax^4+bx^3+cx^2+bx+a}={0}$ коэффициенты, равноотстоящие от концов, равны. Такое уравнение называется возвратным (или симметричным). Так как $a\ne 0,$ число $0$ не является корнем, поэтому можно разделить уравнение на $x^2$ и сгруппировать члены:

${a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}+{b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c}={0}$

После замены $t=x+\frac{1}{x}$ получаем $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2,$ так как $t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}.$ Уравнение становится квадратным относительно $t.$

Решите уравнение ${x^4-5x^3+6x^2-5x+1}={0.}$

${\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-{5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6}={0,}$  $t^2-2-5t+6=0,$  $t^2-5t+4=0$

Значит, $t=1$ или $t=4.$

• Уравнение $x+\frac{1}{x}=1$ даёт $x^2-x+1=0,$ где $D=1-4\lt 0\text{:}$ действительных корней нет.
• Уравнение $x+\frac{1}{x}=4$ даёт $x^2-4x+1=0$ и $x=2\pm\sqrt{3}.$

Ответ: $x=2+\sqrt{3},$ $x=2-\sqrt{3}.$

Эти два корня — взаимно обратные числа: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1.$ Так бывает всегда: если $x$ — корень возвратного уравнения, то его корнем является и $\frac{1}{x}.$ Возвратное кубическое уравнение $ax^3+bx^2+bx+a=0$ всегда имеет корень $-1,$ а частное — возвратный квадратный трёхчлен.

Метод Феррари для уравнения четвёртой степени

Лодовико Феррари, ученик Кардано, нашёл способ свести уравнение четвёртой степени к кубическому. Метод работает для любого уравнения четвёртой степени.

1. Разделим уравнение на $a$ и сделаем замену $x=t-\frac{b}{4a}.$ Член с $t^3$ исчезнет: $t^4+pt^2+qt+r=0.$ (Если $q=0,$ то уравнение биквадратное.)
2. Запишем уравнение в виде $t^4=-pt^2-qt-r$ и прибавим $2mt^2+m^2$ к обеим частям, где $m$ — число, которое мы выберем позже:

   ${(t^2+m)^2}={(2m-p)t^2}-{qt+(m^2-r)}$

3. Выберем $m$ так, чтобы правая часть была полным квадратом, т.е. чтобы дискриминант этого квадратного трёхчлена относительно $t$ был равен $0\text{:}$

   $q^2=4(2m-p)(m^2-r)$

   Это кубическое уравнение относительно $m,$ так называемая кубическая резольвента. Положим $k=2m-p.$ Достаточно одного корня $m,$ при котором $k\gt 0$ (условие $k\gt 0$ нужно, чтобы можно было извлечь $\sqrt{k}$). Такой корень всегда существует при $q\ne 0\text{:}$ при $m=\frac{p}{2}$ правая часть $4(2m-p)(m^2-r)$ равна $0,$ т.е. меньше $q^2,$ а при больших $m$ она больше $q^2.$
4. Теперь правая часть равна $k\left(t-\frac{q}{2k}\right)^2,$ и после переноса её в левую часть получается разность квадратов. Уравнение распадается на два квадратных уравнения:

   $t^2+m=\pm\sqrt{k}\left(t-\frac{q}{2k}\right)$

Пример 14. Решение методом Феррари

Решите уравнение $x^4-2x^2-8x-3=0.$

Кандидаты $\pm 1,$ $\pm 3$ дают $-12,$ $4,$ $36$ и $84,$ поэтому рациональных корней нет. Члена с $x^3$ нет, поэтому начинаем с шага 2:

$x^4=2x^2+8x+3,$  ${(x^2+m)^2}={(2m+2)x^2}+{8x+(m^2+3)}$

Правая часть — полный квадрат, когда её дискриминант равен $0\text{:}$

$64=4(2m+2)(m^2+3),$  $(m+1)(m^2+3)=8$

После раскрытия скобок получаем $m^3+m^2+3m-5=0,$ и теорема о рациональных корнях даёт $m=1\text{:}$ $1+1+3-5=0.$ Здесь $k=2m+2=4\gt 0.$ Тогда правая часть равна $4x^2+8x+4=(2x+2)^2,$ и

${(x^2+1)^2-(2x+2)^2}={0,}$  ${(x^2-2x-1)(x^2+2x+3)}={0}$

Уравнение $x^2-2x-1=0$ даёт $x=1\pm\sqrt{2},$ а для $x^2+2x+3=0$ имеем $D=4-12\lt 0.$

Ответ: $x=1+\sqrt{2},$ $x=1-\sqrt{2}.$ (Два комплексных корня равны $-1\pm i\sqrt{2}.$)

Для уравнений пятой и более высоких степеней общей формулы в радикалах нет. Это доказали Паоло Руффини (в 1799 году, с пробелом в доказательстве) и Нильс Хенрик Абель (в 1824 году), а Эварист Галуа выяснил, какие уравнения разрешимы в радикалах. На практике такие уравнения решают разложением на множители или приближённо.

Формулы для кубического уравнения x³ + a₁x² + a₂x + a₃ = 0

Приведём общие формулы в том виде, в каком их дают справочники. Сначала разделим уравнение на старший коэффициент, чтобы коэффициент при $x^3$ стал равен $1.$ (Здесь $a_1$ — коэффициент при $x^2,$ а не при $x.$) Положим

$Q=\frac{3a_2-a_1^2}{9},$  ${R}={\frac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54},}$  $D=Q^3+R^2$

$S=\sqrt[3]{R+\sqrt{D}},$  $T=\sqrt[3]{R-\sqrt{D}}$

Это числа из метода Кардано: $Q=\frac{p}{3},$ $R=-\frac{q}{2}$ и $D=\Delta.$ При $D\ge 0$ берём действительные значения кубических корней. Корни уравнения:

$x_1=S+T-\frac{a_1}{3}$

${x_2}={-\frac{S+T}{2}-\frac{a_1}{3}}+{\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,(S-T)}$

${x_3}={-\frac{S+T}{2}-\frac{a_1}{3}}-{\frac{\sqrt{3}}{2}\,i\,(S-T)}$

Если $a_1,$ $a_2,$ $a_3$ — действительные числа, то

• $D\gt 0\text{:}$ один корень действительный, а два других — комплексно-сопряжённые;
• $D=0\text{:}$ все корни действительные, и по крайней мере два из них равны;
• $D\lt 0\text{:}$ все корни действительные и различные.

Если $D\lt 0,$ то квадратный корень $\sqrt{D}$ — мнимое число, и удобнее тригонометрическая запись:

$x_1=2\sqrt{-Q}\cos\frac{\theta}{3}-\frac{a_1}{3}$

${x_2}={2\sqrt{-Q}\cos\left(\frac{\theta}{3}+120^\circ\right)}-{\frac{a_1}{3}}$

${x_3}={2\sqrt{-Q}\cos\left(\frac{\theta}{3}+240^\circ\right)}-{\frac{a_1}{3}}$

где $\cos\theta=\frac{R}{\sqrt{-Q^3}},$ $0^\circ\le\theta\le 180^\circ.$ Корни удовлетворяют равенствам

$x_1+x_2+x_3=-a_1,$  $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a_2,$  $x_1x_2x_3=-a_3$

Формулы для уравнения четвёртой степени x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0

Сначала разделим уравнение на старший коэффициент, чтобы коэффициент при $x^4$ стал равен $1.$ Пусть $y_1$ — действительный корень кубической резольвенты

${y^3-a_2y^2}+{(a_1a_3-4a_4)y}+{(4a_2a_4-a_3^2-a_1^2a_4)}={0}$

и пусть

$A=\sqrt{a_1^2-4a_2+4y_1},$  $B=\pm\sqrt{y_1^2-4a_4}$

где знак $B$ выбирается так, чтобы $AB=a_1y_1-2a_3.$ Тогда четыре корня уравнения четвёртой степени — это корни двух квадратных уравнений

${z^2+\frac{a_1+A}{2}\,z+\frac{y_1+B}{2}}={0,}$  $z^2+\frac{a_1-A}{2}\,z+\frac{y_1-B}{2}=0$

Резольвента всегда имеет действительный корень $y_1,$ при котором оба подкоренных выражения неотрицательны. С таким корнем оба квадратных уравнения имеют действительные коэффициенты, и вычисления получаются самыми простыми. Заметим, что $y_1$ — это сумма свободных членов двух квадратных множителей многочлена ${x^4+a_1x^3}+{a_2x^2+a_3x+a_4.}$ Корни удовлетворяют равенствам

$x_1+x_2+x_3+x_4=-a_1$

${x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4}+{x_4x_1+x_1x_3+x_2x_4}={a_2}$

${x_1x_2x_3+x_2x_3x_4}+{x_1x_2x_4+x_1x_3x_4}={-a_3}$

$x_1x_2x_3x_4=a_4$

Текстовые задачи

1. Произведение трёх последовательных целых чисел равно $210.$ Найдите эти числа.

Решение. Пусть это числа $n,$ $n+1,$ $n+2.$ Тогда

$n(n+1)(n+2)=210,$  $n^3+3n^2+2n-210=0$

Произведение трёх близких чисел примерно равно кубу среднего из них, а $\sqrt[3]{210}\approx 5{,}9.$ Проверим $n=5\text{:}$ $5\cdot 6\cdot 7=210.$ Делим на $n-5\text{:}$

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & 3 & 2 & -210 \\ 5 & & 5 & 40 & 210 \\ \hline & 1 & 8 & 42 & 0\end{array}$

У квадратного уравнения $n^2+8n+42=0$ дискриминант $D=64-168\lt 0,$ поэтому других корней нет. Ответ: $5,$ $6$ и $7.$

2. Из углов квадратного листа картона размером $20$ см на $20$ см вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх так, что получается коробка без крышки. Объём коробки равен $576$ см³. Найдите сторону вырезанных квадратов.

Решение. Пусть сторона вырезанного квадрата равна $x$ см, где $0\lt x\lt 10.$ Коробка имеет высоту $x$ и квадратное основание со стороной $20-2x\text{:}$

$x(20-2x)^2=576,$  ${4x^3-80x^2}+{400x-576}={0,}$  ${x^3-20x^2+100x-144}={0}$

Среди делителей числа $144$ находим корень $x=4\text{:}$ ${64-320+400-144}={0.}$ Тогда

$\begin{array}{r|rrr|r} & 1 & -20 & 100 & -144 \\ 4 & & 4 & -64 & 144 \\ \hline & 1 & -16 & 36 & 0\end{array}$

$x^2-16x+36=0,$  $x=8\pm\sqrt{28}=8\pm 2\sqrt{7}$

Корень $8+2\sqrt{7}\approx 13{,}29$ слишком велик: сторона $20-2x$ была бы отрицательной. Корень $8-2\sqrt{7}\approx 2{,}71$ подходит.

Ответ: $4$ см или $8-2\sqrt{7}\approx 2{,}71$ см. Проверка: $4\cdot 12^2=576$ и ${(8-2\sqrt{7})(4+4\sqrt{7})^2}={576.}$

Задачи для самостоятельного решения

Попробуйте решить сами, а затем откройте ответ. Проверить решение можно с помощью калькулятора выше.

1. Решите уравнение $x^3-7x+6=0.$

Сумма коэффициентов равна $0,$ поэтому $x=1$ — корень, и ${x^3-7x+6}={(x-1)(x^2+x-6)}={(x-1)(x-2)(x+3).}$ Ответ: $x=-3,$ $x=1,$ $x=2.$

2. Решите уравнение $x^3-2x^2-x+2=0.$

Группировка: ${x^2(x-2)-(x-2)}={(x-2)(x^2-1)}={(x-2)(x-1)(x+1).}$ Ответ: $x=-1,$ $x=1,$ $x=2.$

3. Решите уравнение $x^3+27=0.$

${x^3+27}={(x+3)(x^2-3x+9),}$ а у уравнения $x^2-3x+9=0$ дискриминант $D=9-36\lt 0.$ Ответ: $x=-3.$

4. Решите уравнение $2x^3-x^2-13x-6=0.$

Кандидаты: $\pm 1,$ $\pm 2,$ $\pm 3,$ $\pm 6,$ $\pm\frac12,$ $\pm\frac32.$ При $x=-2\text{:}$ $-16-4+26-6=0.$ Схема Горнера даёт $2x^2-5x-3=0,$ а корни этого уравнения — $3$ и $-\frac12.$ Ответ: $x=-2,$ $x=-\frac12,$ $x=3.$

5. Решите уравнение $x^3-3x^2+4=0.$

При $x=-1\text{:}$ $-1-3+4=0.$ Частное равно $x^2-4x+4=(x-2)^2,$ поэтому ${x^3-3x^2+4}={(x+1)(x-2)^2.}$ Ответ: $x=-1,$ $x=2$ (двукратный корень).

6. Решите уравнение $x^3+x^2-3x-3=0.$

Группировка: ${x^2(x+1)-3(x+1)}={(x+1)(x^2-3).}$ Ответ: $x=-1,$ $x=\sqrt{3},$ $x=-\sqrt{3}.$

7. Составьте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $-2,$ $1$ и $\frac12.$

${(x+2)(x-1)(2x-1)}={(x^2+x-2)(2x-1)}={2x^3+x^2-5x+2.}$ Ответ: $2x^3+x^2-5x+2=0$ (или любое уравнение, полученное из него умножением на число, отличное от нуля).

8. Решите уравнение $x^3+9x-6=0$ по формуле Кардано.

Здесь $p=9,$ $q=-6$ и $\Delta=9+27=36,$ поэтому $\sqrt{\Delta}=6$ и уравнение имеет один действительный корень: $x=\sqrt[3]{3+6}+\sqrt[3]{3-6}.$ Ответ: $x=\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{3}\approx 0{,}6378.$

9. Решите уравнение $x^3-3x-1=0.$

Здесь $p=-3,$ $q=-1,$ $\Delta=\frac14-1\lt 0,$ $r=1.$ При $x=2\cos\varphi\text{:}$ $\cos 3\varphi=\frac12,$ $3\varphi=60^\circ,$ $\varphi=20^\circ.$ Ответ: $x=2\cos 20^\circ\approx 1{,}8794,$ $x=2\cos 140^\circ\approx -1{,}5321,$ $x=2\cos 260^\circ\approx -0{,}3473.$

10. Не решая уравнений, определите, сколько действительных корней имеет каждое из них: а) $x^3+3x-5=0;$ б) $x^3-12x+16=0;$ в) $x^3-12x+5=0.$

а) $\Delta=\frac{25}{4}+1\gt 0\text{:}$ один действительный корень. б) $\Delta=64-64=0\text{:}$ два различных действительных корня — двукратный корень $x=2$ и корень $x=-4.$ в) $\Delta=\frac{25}{4}-64\lt 0\text{:}$ три действительных корня.

11. Решите уравнение $x^4+x^3-7x^2-x+6=0.$

Сумма коэффициентов равна $0,$ поэтому $x=1$ — корень; корнем является и $x=-1$ ($1-7+6=0$ и $1-1=0$). После деления на $x-1,$ а затем на $x+1$ по схеме Горнера остаётся ${x^2+x-6}={(x-2)(x+3).}$ Ответ: $x=-3,$ $x=-1,$ $x=1,$ $x=2.$

12. Решите уравнение ${(x^2+x)^2}-{8(x^2+x)+12}={0.}$

Сделаем замену $y=x^2+x\text{:}$ $y^2-8y+12=0,$ $y=2$ или $y=6.$ Тогда $x^2+x-2=0$ даёт $x=1,$ $x=-2,$ а $x^2+x-6=0$ даёт $x=2,$ $x=-3.$ Ответ: $x=-3,$ $x=-2,$ $x=1,$ $x=2.$

13. Решите уравнение ${x(x+1)(x+2)(x+3)}={120.}$

$x(x+3)=x^2+3x$ и ${(x+1)(x+2)}={x^2+3x+2.}$ Сделаем замену $y=x^2+3x\text{:}$ $y(y+2)=120,$ $y=10$ или $y=-12.$ Тогда $x^2+3x-10=0$ даёт $x=2,$ $x=-5,$ а $x^2+3x+12=0$ не имеет действительных корней. Ответ: $x=-5,$ $x=2.$

14. Решите уравнение ${2x^4+3x^3-x^2+3x+2}={0.}$

Это возвратное уравнение. Разделим его на $x^2$ и сделаем замену $t=x+\frac{1}{x}\text{:}$ $2(t^2-2)+3t-1=0,$ $2t^2+3t-5=0,$ $t=1$ или $t=-\frac52.$ Уравнение $x+\frac{1}{x}=1$ не имеет действительных корней, а $x+\frac{1}{x}=-\frac52$ даёт $2x^2+5x+2=0.$ Ответ: $x=-2,$ $x=-\frac12.$

15. Решите уравнение $x^4+4x-1=0$ методом Феррари.

${(x^2+m)^2}={2mx^2-4x+(m^2+1).}$ Правая часть — полный квадрат, когда $16=8m(m^2+1),$ т.е. $m(m^2+1)=2\text{:}$ $m=1.$ Тогда $(x^2+1)^2=2(x-1)^2,$ поэтому $x^2+1=\pm\sqrt{2}(x-1).$ Уравнение $x^2-\sqrt{2}x+1+\sqrt{2}=0$ не имеет действительных корней, а $x^2+\sqrt{2}x+1-\sqrt{2}=0$ даёт два действительных корня. Ответ: $x=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2},$ т.е. $x\approx 0{,}2490$ и $x\approx -1{,}6633.$