Задачи с возвратными уравнениями - задачи с решениями

Решение:
Мы видим, что это обратное уравнение; разделим его на [tex]x^2[/tex]: [tex]\frac{x^4}{x^2}-3\frac{x^3}{x^2}+4\frac{x^2}{x^2}-3\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0[/tex]
[tex]x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})+4=0[/tex]. Заменим теперь [tex]x+\frac{1}{x}=u[/tex]. После возведения в квадрат, получим [tex]x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=u^2[/tex], или [tex]x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2[/tex]. Подставим назад в уравнение чтобы получить
[tex]u^2-2-3u+4=0[/tex], или [tex]u^2-3u+2=0[/tex]. Решениями есть [tex]u_1=1[/tex] и [tex]u_2=2[/tex]. Поэтому или [tex]x+\frac{1}{x}=1[/tex] или [tex]x+\frac{1}{x}=2[/tex]. Из первого решения мы получаем [tex]x^2-x+1=0[/tex], что не имеет решения. Из второго решения мы получаем [tex]x^2-2x+1=0[/tex], или [tex]x=1[/tex].

Решение:
Так как это обратное уравнение с противоположными коэффициентами, x=1 есть решением. Перегруппируем: [tex]x^5-1+3x^4-3x+2x^3-2x^2=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+3x(x^3-1)+2x^2(x-1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1)+(x-1)3x(x^2+x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x(x^2+x+1))=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x^3+3x^2+3x)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x+1)^4=0[/tex], поэтому решениями есть [tex]x=1[/tex] и [tex]x=-1[/tex].