Тригонометрические неравенства - задачи с решениями

Решение:
Рассмотрим единичную окружность в каждой четверти и сравним знаки и величины трёх функций (см. рисунок под решением).

Везде, где [tex]\operatorname{tg} x[/tex] определён,
[tex]\sin x\cdot\cos x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos^{2}x=\operatorname{tg} x\cdot\cos^{2}x[/tex],
а внутри любой четверти [tex]0\lt \cos^{2}x<1[/tex].

I четверть: [tex]\operatorname{tg} x>0[/tex]. Положительное число при умножении на [tex]\cos^{2}x<1[/tex] уменьшается, поэтому [tex]\sin x\cdot\cos x\lt \operatorname{tg} x[/tex]. Неравенство не выполняется.

II четверть: [tex]\sin x>0[/tex] и [tex]\cos x<0[/tex], значит, [tex]\operatorname{tg} x<0[/tex]. Отрицательное число при умножении на [tex]\cos^{2}x<1[/tex] приближается к 0, то есть увеличивается, поэтому [tex]\sin x\cdot\cos x>\operatorname{tg} x[/tex]. Неравенство выполняется.

III четверть: [tex]\sin x<0[/tex] и [tex]\cos x<0[/tex], значит, [tex]\operatorname{tg} x>0[/tex], и, как в I четверти, [tex]\sin x\cdot\cos x\lt \operatorname{tg} x[/tex]. Неравенство не выполняется.

IV четверть: [tex]\sin x<0[/tex] и [tex]\cos x>0[/tex], значит, [tex]\operatorname{tg} x<0[/tex], и, как во II четверти, [tex]\sin x\cdot\cos x>\operatorname{tg} x[/tex]. Неравенство выполняется.

Ответ: во II и IV четвертях.

Решение:
Дробь определена только там, где [tex]\operatorname{tg} x[/tex] существует и не равен 0, то есть [tex]x\neq 0;\ \dfrac{\pi}{2};\ \pi;\ \dfrac{3\pi}{2};\ 2\pi[/tex].

Так как [tex]\cos x\le 1[/tex], числитель никогда не бывает положительным: [tex]\cos x-1\le 0[/tex], причём он равен 0 только при [tex]x=0[/tex] и [tex]x=2\pi[/tex], которые уже исключены. Значит, в области определения числитель отрицателен.

Дробь с отрицательным числителем положительна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:
[tex]\dfrac{\cos x-1}{\operatorname{tg} x}>0\Longleftrightarrow \operatorname{tg} x<0[/tex]

Тангенс отрицателен во II и в IV четвертях (см. рисунок под решением):
[tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)[/tex] или [tex]x\in\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)[/tex]

Ответ: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)[/tex]

Решение:
[tex]\sin x-\dfrac{1}{2}>0\Longleftrightarrow \sin x>\dfrac{1}{2}[/tex]

Построим графики [tex]y_{1}=\sin x[/tex] и [tex]y_{2}=\dfrac{1}{2}[/tex] (см. рисунок под решением).

Графики пересекаются там, где [tex]\sin x=\dfrac{1}{2}[/tex], то есть при [tex]x=\dfrac{\pi}{6}[/tex] и [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}[/tex].

Между этими точками синусоида лежит выше прямой [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex], а при [tex]x\in\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6};2\pi\right][/tex] — нет.

Ответ: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right)[/tex]

Решение:
[tex]\cos x+\dfrac{1}{3}\ge 0\Longleftrightarrow \cos x\ge -\dfrac{1}{3}[/tex]

Построим графики [tex]y_{1}=\cos x[/tex] и [tex]y_{2}=-\dfrac{1}{3}[/tex] на отрезке [tex]\left[0;2\pi\right][/tex] (см. рисунок под решением).

Графики пересекаются там, где [tex]\cos x=-\dfrac{1}{3}[/tex]. Так как [tex]\cos\left(\pi-t\right)=\cos\left(\pi+t\right)=-\cos t[/tex], решения этого уравнения на [tex]\left[0;2\pi\right][/tex]:
[tex]x_{1}=\pi-\arccos\dfrac{1}{3}\approx 1{,}91[/tex] и [tex]x_{2}=\pi+\arccos\dfrac{1}{3}\approx 4{,}37[/tex]

Косинусоида лежит не ниже прямой [tex]y=-\dfrac{1}{3}[/tex] от [tex]0[/tex] до [tex]x_{1}[/tex] и от [tex]x_{2}[/tex] до [tex]2\pi[/tex].

Ответ: [tex]x\in\left[0;\ \pi-\arccos\dfrac{1}{3}\right]\cup\left[\pi+\arccos\dfrac{1}{3};\ 2\pi\right][/tex]

Решение:
[tex]8\left|\operatorname{tg} x\right|-1<0\Longleftrightarrow \left|\operatorname{tg} x\right|\lt \dfrac{1}{8}\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{8}\lt \operatorname{tg} x\lt \dfrac{1}{8}[/tex]

Построим графики [tex]y_{1}=\left|\operatorname{tg} x\right|[/tex] и [tex]y_{2}=\dfrac{1}{8}[/tex] (см. рисунок под решением).

На интервале [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex] тангенс возрастает, и [tex]\operatorname{tg} x=\pm\dfrac{1}{8}[/tex] при [tex]x=\pm\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}[/tex] (арктангенс — нечётная функция, поэтому [tex]\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{1}{8}\right)=-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}[/tex]).

Значит, на этом интервале решение: [tex]x\in\left(-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8};\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}\right)[/tex].

Период тангенса равен [tex]\pi[/tex], поэтому прибавляем [tex]k\pi[/tex].

Ответ: [tex]x\in\left(-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}+k\pi;\ \operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}+k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Так как [tex]-1\le\sin 2x\le 1[/tex], для знаменателя имеем [tex]0\le 1-\sin 2x\le 2[/tex], то есть он никогда не бывает отрицательным.

Знаменатель равен 0, когда [tex]\sin 2x=1[/tex], то есть [tex]2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], [tex]x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. На [tex]\left(0;2\pi\right][/tex] это [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] и [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex]; их нужно исключить.

Во всех остальных точках знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна тогда и только тогда, когда отрицателен числитель:
[tex]\cos x<0\Longleftrightarrow x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

Из этого интервала исключаем [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex] ([tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] в него и так не входит).

Ответ: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)\setminus\left\{\dfrac{5\pi}{4}\right\}[/tex], то есть [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{5\pi}{4};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

Решение:
Раскроем левую часть по формуле синуса разности:
[tex]\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos x\,\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x[/tex]

Неравенство принимает вид
[tex]\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x>\sin x[/tex]
Умножим на 2:
[tex]\sin x-\sqrt{3}\cos x>2\sin x[/tex]
[tex]\sin x+\sqrt{3}\cos x<0[/tex]

Так как [tex]\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex], получаем
[tex]\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)<0[/tex]

При [tex]x\in\left[0;2\pi\right][/tex] имеем [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{7\pi}{3}\right][/tex], а на этом промежутке синус отрицателен только при [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left(\pi;2\pi\right)[/tex].

Следовательно, [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex].

Ответ: [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex]

Решение:
Так как точка [tex]\left(p;q\right)[/tex] лежит на окружности, [tex]p^{2}+q^{2}=r^{2}[/tex], поэтому существует угол [tex]\theta[/tex], для которого
[tex]p=r\cos\theta,\quad q=r\sin\theta[/tex] (см. рисунок).



Разделим неравенство на [tex]r>0[/tex]:
[tex]\cos\theta\,\sin x-\sin\theta\cos x>\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \sin\left(x-\theta\right)>\dfrac{1}{2}[/tex]

Следовательно,
[tex]x-\theta\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2n\pi;\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right),\quad n\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]x\in\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}+2n\pi;\ \theta+\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right)[/tex]

Сравним с [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{3};\pi\right)[/tex]: [tex]\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}[/tex] и [tex]\theta+\dfrac{5\pi}{6}=\pi[/tex], откуда [tex]\theta=\dfrac{\pi}{6}[/tex] (с точностью до слагаемого, кратного [tex]2\pi[/tex]).

Тогда
[tex]\dfrac{p}{q}=\dfrac{r\cos\theta}{r\sin\theta}=\operatorname{ctg}\theta=\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}[/tex]

Ответ: [tex]\dfrac{p}{q}=\sqrt{3}[/tex]

Решение:
На единичной окружности [tex]\sin x[/tex] — это ордината точки, соответствующей [tex]x[/tex]. Проведём горизонтальную прямую [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex]; она пересекает окружность в точках [tex]M_{0}[/tex] и [tex]M_{1}[/tex].



Эти точки соответствуют решениям уравнения [tex]\sin x=\dfrac{1}{2}[/tex]:
[tex]x=\dfrac{\pi}{6}+2n\pi[/tex] или [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Неравенство выполняется для точек дуги [tex]M_{0}BM_{1}[/tex], лежащей на прямой или выше неё, при движении против часовой стрелки от [tex]M_{0}[/tex] к [tex]M_{1}[/tex].

Ответ: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{6}+2n\pi;\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right],\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Построим графики [tex]f(x)=\cos x[/tex] и [tex]g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex] на отрезке [tex]\left[0;2\pi\right][/tex].



Графики пересекаются там, где [tex]\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex], то есть при [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] и [tex]x=\dfrac{7\pi}{4}[/tex].

Из рисунка видно, что [tex]f(x)\ge g(x)[/tex] (закрашенные части) при
[tex]x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4};2\pi\right][/tex]

Ответ: [tex]x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4};2\pi\right][/tex]

Решение:
Используем [tex]\sin 2x=2\sin x\cos x[/tex] и получаем
[tex]2\sin x\cos x-6\cos x>0[/tex]
[tex]2\cos x\left(\sin x-3\right)>0[/tex]

Так как [tex]\sin x\le 1[/tex], множитель [tex]\sin x-3[/tex] всегда отрицателен. Поэтому произведение положительно тогда и только тогда, когда [tex]\cos x<0[/tex].

Это согласуется с графиками [tex]f(x)=\sin 2x[/tex] и [tex]g(x)=6\cos x[/tex] на отрезке [tex]\left[0;2\pi\right][/tex]: [tex]f(x)>g(x)[/tex] при [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex].



Обе функции повторяются через [tex]2\pi[/tex], поэтому и решение повторяется через [tex]2\pi[/tex].

Ответ: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi;\ \dfrac{3\pi}{2}+2n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Период тангенса равен [tex]\pi[/tex], поэтому достаточно решить неравенство на одном периоде [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex], и затем прибавить [tex]n\pi[/tex].

На этом интервале тангенс возрастает, [tex]\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1[/tex] и [tex]\operatorname{tg} x\to+\infty[/tex] при [tex]x\to\dfrac{\pi}{2}[/tex]. Значит, [tex]\operatorname{tg} x\ge 1[/tex] ⇔ [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex]. Точка [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] не входит, потому что [tex]\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}[/tex] не определён.

На единичной окружности (см. рисунок под решением) это точки дуги от [tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] до [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] и, через период, от [tex]\dfrac{5\pi}{4}[/tex] до [tex]\dfrac{3\pi}{2}[/tex].

Ответ: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4}+n\pi;\ \dfrac{\pi}{2}+n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Рассмотрим графики [tex]f(x)=\sin x[/tex] и [tex]g(x)=\cos x[/tex] и сначала найдём точки их пересечения:
[tex]\sin x=\cos x\Longleftrightarrow \operatorname{tg} x=1[/tex] (делить на [tex]\cos x[/tex] можно: если [tex]\cos x=0[/tex], то [tex]\sin x=\pm 1\neq\cos x[/tex]).

На [tex]\left[0;2\pi\right][/tex] получаем [tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{4}[/tex], [tex]x_{2}=\dfrac{5\pi}{4}[/tex].



Из рисунка видно, что [tex]f(x)>g(x)[/tex] (закрашенная область) при [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex].

Ответ: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex]

Решение:
Построим графики [tex]f(x)=\sqrt{3}\cos x[/tex] и [tex]g(x)=1+\sin x[/tex] на [tex]\left[0;2\pi\right][/tex] и найдём точки их пересечения [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex].



[tex]f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \sqrt{3}\cos x=1+\sin x\Longleftrightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos x=-1[/tex]

Так как [tex]\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex],
[tex]\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}[/tex]

При [tex]x\in\left(0;2\pi\right)[/tex] имеем [tex]x-\dfrac{\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex], поэтому
[tex]x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}[/tex] или [tex]x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}[/tex]
[tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{6},\quad x_{2}=\dfrac{3\pi}{2}[/tex]

Из рисунка видно, что [tex]f(x)\lt g(x)[/tex] между [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] (проверка: при [tex]x=\pi[/tex] получаем [tex]-\sqrt{3}<1[/tex]).

Ответ: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]