Полярные координаты и уравнения - задачи с решениями

Решение:
Мы используем уравнения преобразования

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin \theta $
где $r=0$ $\theta =\frac{\pi}{2}$

$x=0\cdot \cos(\frac{\pi}{2})=0$

$y=0\cdot \sin (\frac{\pi}{2})=0$

Таким образом $(0,\frac{\pi}{2})$ эквивалентно $(0,0)$ в декартовых координатах.

Решение:
Ответ: $(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (-1,-1)$

Мы используем уравнения преобразования
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta $ где $r=-\sqrt{2}\qquad \theta =\pi /4$

$x=-\sqrt{2}\cdot \cos(\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$
$y=-\sqrt{2}\cdot \sin (\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$

Точка в декартовых координатах $(-1,-1)$.

Решение:
$y=10\Longrightarrow y=r\sin\theta $ $=10\Longrightarrow r=\frac{10}{\sin\theta }=10\csc \theta $

Решение:
Ответ: $r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$

Мы используем уравнения преобразования
$x=rcos\theta \qquad y=r\sin\theta$

$x^{2}-y^{2}=4\Longrightarrow \left( rcos\theta \right)^{2}-\left(r\sin\theta \right) ^{2}=4\Longrightarrow r^{2}\left( \cos ^{2}\theta -\sin^{2}\theta \right) =4$

$r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$
Это уравнение гиперболы, и вот его график.

Решение:
Мы используем уравнения преобразования
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta $

$y^{2}=4x$ $\Longrightarrow \left( r\sin\theta \right) ^{2}=4r\cos\theta \Longrightarrow r^{2}\sin^{2}\theta =4r\cos\theta \Longrightarrow r=4\frac{\cos \theta }{sin^{2}\theta }$

Это уравнение параболы.

Решение:
$\theta =2\frac{\pi }{3};r\leq -2$

Это график луча, которой образует угол $2\frac{\pi}{3}$ с положительным направлением оси x, но идет в обратном направлении начиная с $-2.$

Решение:
Ответ: $0\leq \theta \leq \pi \qquad r=-1$

Это полукруг, который начинается в $\pi$ и идет до $2\pi$.
Таким образом интервал начинается с $0$, а $r$ отрицтельное.

Решение:
Ответ: $-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\qquad -1\leq r\leq 1$

График этого множества неравенств представляет собой два клина, вырезанные из круга с радиусом $-1$ и $1$, и все точки в синей области, находятся между этими двумя значениями по линиям $\pm \frac{\pi }{4}$.

Решение:
Ответ: $y=4$

$r\sin\theta =4\Longrightarrow y=4$

Поскольку $y=r\sin \theta $ является уравнением преобразования.

Это уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку $(0,4)$.

Решение:
Ответ: $y=x+4$

Мы используем уравнения преобразования
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta$

Таким образом $r\sin\theta =r\cos\theta +4\Longrightarrow y=x+4$

Это прямая с уклоном $1$ и пересечением оси $y$ в $(0,4)$

Решение:
Мы сопоставляем два уравнения
$r=\sin \theta $ и $r=\sin 2\theta $

тогда $\sin \theta =\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \Longrightarrow 2\cos \theta =1\Longrightarrow \cos \theta =\frac{1}{2}$

Таким образом, $\theta =\arccos \frac{1}{2}= \frac{1}{3}\pi ,\frac{5}{3}\pi $

когда $\theta =\frac{1}{3}\pi \Longrightarrow $ $r=\sin \left( \frac{1}{3}\pi \right) =\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r=\sin \left( \frac{2}{3}\pi \right) =\frac{\sqrt{3}}{2}$

и когда $\theta =\frac{5}{3}\pi \Longrightarrow r=\sin \left( \frac{5}{3}\pi \right) =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r=\sin \left( \frac{10}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Точки пересечения $\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{3}\pi \right) ,\left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{5}{3}\pi \right) $

Решение:
Ответ: гипербола, эллипса.

$r=\frac{2}{1-2\sin \theta }$

Если мы сравним каждый из членов в данном уравнении в полярной форме $r=\frac{ep}{1-e\sin\theta }$
Мы видим, что $e=2$.

Поэтому, коническое сечение является гиперболой.

---

$r=\frac{3}{4+\cos \theta }=\frac{3/4}{1+1/4\cos \theta }$
и мы сравниваем с $r=\frac{ep}{1+e\sin\theta }$ затем $e=\frac{1}{4}$

Итак, коническое сечение - это эллипс.

Решение:
$r=\frac{4}{3-2\sin \theta }=\frac{4/3}{1-2/3\sin \theta }$
Мы видим, что $e=\frac{2}{3}$ тогда
Уравнение $r=\frac{4}{3-2\sin \theta }$ представляет эллипс.

Решение:
Коническое сечение - это парабола, ось которой горизонтальна.
Поскольку $ r $ не определено, когда $\theta=0$

Вершина параболы $\theta =\pi $
Вершина: $(\frac{1}{2},\pi )$

Пересечение оси y: $(1,\frac{\pi }{2});$ $(1,\frac{3\pi }{2})$

Решение:
Мы видим, что $e=2$.
Итак, уравнение $r=\frac{2}{1+2\cos \theta }$ представляет собой гиперболу,
чья ось горизонтальна, вдоль оси х. Вершины, являющиеся краями поперечной оси гиперболы, это $\theta =0$ и $\theta =\pi $

Вершины: $(\frac{2}{3},0);\ \ (-2,\pi )$

Пересечение оси y: $(2,\frac{\pi }{2});\ \ (2,\frac{3\pi }{2})$