Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Деление
Умножение до 5
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Периметр
Площадь
4 класс
Сложение, умножение, деление
Сложение и вычитание до 1000
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Уравнения
Отрицательные числа
Текстовые задачи
Координатная плоскость
7 класс
Уравнения
Упрощение многочленов
Свойства треугольников
Многочлены
Текстовые задачи
Системы
Разложиние на множители
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Конические сечения
Уравнения окружности
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Полярные координаты и уравнения
Полярные координаты и уравнения - задачи с решениями
Задача 1
Преобразуйте $(0;\pi /2)$ из полярных в декартовы координаты.
$(0,\frac{\pi}{2})\equiv (0,1)$
$(0,\frac{\pi}{2})\equiv (1,0)$
$(0,\frac{\pi}{2})\equiv (1,\sqrt{2})$
$(0,\frac{\pi}{2})\equiv (0,0)$
Решение:
Мы используем уравнения преобразования
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin \theta $
где $r=0$ $\theta =\frac{\pi}{2}$
$x=0\cdot \cos(\frac{\pi}{2})=0$
$y=0\cdot \sin (\frac{\pi}{2})=0$
Таким образом $(0,\frac{\pi}{2})$ эквивалентно $(0,0)$ в декартовых координатах.
Задача 2
Преобразуйте $(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$ из полярных в декартовы координаты.
$(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (0,-\frac{1}{4})$
$(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (-1,-1)$
$(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (1,-1)$
$(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (1,1)$
Решение:
Ответ: $(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (-1,-1)$
Мы используем уравнения преобразования
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta $ где $r=-\sqrt{2}\qquad \theta =\pi /4$
$x=-\sqrt{2}\cdot \cos(\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$
$y=-\sqrt{2}\cdot \sin (\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$
Точка в декартовых координатах $(-1,-1)$.
Задача 3
Преобразуйте уравнение $y=10$ в полярные координаты.
$r=10\sin\theta$
$r=\text{tg} \frac{10}{\pi }$
$r=\frac{10}{\sin\theta}$
$r=10\text{tg} \frac{10}{\pi }$
Решение:
$y=10\Longrightarrow y=r\sin\theta $ $=10\Longrightarrow r=\frac{10}{\sin\theta }=10\csc \theta $
Задача 4
Преобразуйте уравнение $x^{2}-y^{2}=4$ в полярные координаты.
$r^{2}\left( \cos \theta \right) =4$
$r\left( \cos 2\theta \right) =4$
$r\left( \cos 2\theta \right) =-4$
$r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$
Решение:
Ответ: $r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$
Мы используем уравнения преобразования
$x=rcos\theta \qquad y=rsin\theta$
$x^{2}-y^{2}=4\Longrightarrow \left( rcos\theta \right)^{2}-\left(rsin\theta \right) ^{2}=4\Longrightarrow r^{2}\left( \cos ^{2}\theta -\sin^{2}\theta \right) =4$
$r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$
Это уравнение гиперболы, и вот его график.
Задача 5
Преобразуйте уравнение $y^{2}=4x$ в полярные координаты.
$r=4\sin \theta \cos \theta $
$r=4\cot \theta $
$r=4\frac{\cos \theta }{sin^{2}\theta }$
$r=\text{ctg} 4\theta \cos 4\theta $
Решение:
Мы используем уравнения преобразования
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta $
$y^{2}=4x$ $\Longrightarrow \left( r\sin\theta \right) ^{2}=4r\cos\theta \Longrightarrow r^{2}\sin^{2}\theta =4r\cos\theta \Longrightarrow r=4\frac{\cos \theta }{sin^{2}\theta }$
Это уравнение параболы.
Задача 6
Как представить оранжевую луч в полярных координатах?
$\theta =2\frac{\pi }{3};r\leq -2$
$\theta =2\frac{\pi }{3};2\leq r<\infty $
$\theta =2\frac{\pi }{3};0\leq r\leq -2$
$\theta =2\frac{\pi }{3};r\geq -2$
Решение:
$\theta =2\frac{\pi }{3};r\leq -2$
Это график луча, которой образует угол $2\frac{\pi}{3}$ с положительным направлением оси x, но идет в обратном направлении начиная с $-2.$
Задача 7
Рассчитайте уравнение этого полукруга в полярных координатах.
$-\pi \leq \theta \leq 2\pi \qquad r=-1$
$0\leq \theta \leq \pi \qquad r=1$
$-\pi \leq \theta \leq 2\pi \qquad r=1$
$0\leq \theta \leq \pi \qquad r=-1$
Решение:
Ответ: $0\leq \theta \leq \pi \qquad r=-1$
Это полукруг, который начинается в $\pi$ и идет до $2\pi$. Таким образом интервал начинается с $0$, а $r$ отрицтельное.
Задача 8
Каково уравнение синей области в полярных координатах?
$\frac{3\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{5\pi }{4}\qquad 0\leq r\leq 1$
$-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{5\pi }{4}\qquad 0\leq r\leq 1$
$-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{3\pi }{4}\qquad -1\leq r\leq 1$
$-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\qquad -1\leq r\leq 1$
Решение:
Ответ: $-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\qquad -1\leq r\leq 1$
График этого множества неравенств представляет собой два клина, вырезанные из круга с радиусом $-1$ и $1$, и все точки в синей области, находятся между этими двумя значениями по линиям $\pm \frac{\pi }{4}$.
Задача 9
Преобразуйте уравнение в полярном виде $r\sin\theta =4$ в прямоугольную функцию.
$y=4x$
$y=4$
$y=4x+1$
$y=4x-1$
Решение:
Ответ: $y=4$
$r\sin\theta =4\Longrightarrow y=4$
Поскольку $y=r\sin \theta $ является уравнением преобразования.
Это уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точку $(0,4)$.
Задача 10
Преобразуйте уравнение в полярном виде $r\sin\theta =r\cos\theta +4$ в прямоугольную функцию.
$y=4x$
$y=x+4$
$y+x=4$
$y=4x+r$
Решение:
Ответ: $y=x+4$
Мы используем уравнения преобразования
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta$
Таким образом $r\sin\theta =r\cos\theta +4\Longrightarrow y=x+4$
Это прямая с уклоном $1$ и пересечением оси $y$ в $(0,4)$
Задача 11
Точки пересечения графиков функций $r=\sin \theta $ и $r=\sin 2\theta $
$\left( \sqrt{3},3\pi \right) ,\left( -\sqrt{3},5\pi \right) $
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{3}\pi \right) ,\left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{5}{3}\pi \right)$
$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{3}\pi \right),\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{5}{3}\pi \right)$
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{3}\pi \right),\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{5}{3}\pi \right)$
Решение:
Мы сопоставляем два уравнения
$r=\sin \theta $ и $r=\sin 2\theta $
тогда $\sin \theta =\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \Longrightarrow 2\cos \theta =1\Longrightarrow \cos \theta =\frac{1}{2}$
Таким образом, $\theta =\arccos \frac{1}{2}= \frac{1}{3}\pi ,\frac{5}{3}\pi $
когда $\theta =\frac{1}{3}\pi \Longrightarrow $ $r=\sin \left( \frac{1}{3}\pi \right) =\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r=\sin \left( \frac{2}{3}\pi \right) =\frac{\sqrt{3}}{2}$
и когда $\theta =\frac{5}{3}\pi \Longrightarrow r=\sin \left( \frac{5}{3}\pi \right) =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r=\sin \left( \frac{10}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Точки пересечения $\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{3}\pi \right) ,\left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{5}{3}\pi \right) $
Задача 12
Следующие уравнения $r=\frac{2}{1-2\sin \theta },r=\frac{3}{4+\cos \theta }$ представляют:
парабола, эллипса
гипербола, парабола
гипербола, эллипса
парабола, окружность
Решение:
Ответ: гипербола, эллипса.
$r=\frac{2}{1-2\sin \theta }$
Если мы сравним каждый из членов в данном уравнении в полярной форме $r=\frac{ep}{1-e\sin\theta }$
Мы видим, что $e=2$.
Поэтому, коническое сечение является гиперболой.
$r=\frac{3}{4+\cos \theta }=\frac{3/4}{1+1/4\cos \theta }$
и мы сравниваем с $r=\frac{ep}{1+e\sin\theta }$ затем $e=\frac{1}{4}$
Итак, коническое сечение - это эллипс.
Задача 13
Определите коническое сечение, представленное уравнением
$r=\frac{4}{3-2\sin\theta}$
Парабола
Гипербола
Окружность
Эллипс
Решение:
$r=\frac{4}{3-2\sin \theta }=\frac{4/3}{1-2/3\sin \theta }$
Мы видим, что $e=\frac{2}{3}$ тогда
Уравнение $r=\frac{4}{3-2\sin \theta }$ представляет эллипс.
Задача 14
Определите коническое сечение, представленное уравнением
$r=\frac{1}{1-\cos\theta }$
Парабола
Гипербола
Окружность
Эллипс
Решение:
Коническое сечение - это парабола, ось которой горизонтальна.
Поскольку $ r $ не определено, когда $\theta=0$
Вершина параболы $\theta =\pi $
Вершина: $(\frac{1}{2},\pi )$
Пересечение оси y: $(1,\frac{\pi }{2});$ $(1,\frac{3\pi }{2})$
Задача 15
Определите коническое сечение, представленное уравнением
$r=\frac{2}{1+2\cos\theta }$
Парабола
Гипербола
Окружность
Эллипс
Решение:
Мы видим, что $e=2$.
Итак, уравнение $r=\frac{2}{1+2\cos \theta }$ представляет собой гиперболу,
чья ось горизонтальна, вдоль оси х. Вершины, являющиеся краями поперечной оси гиперболы, это $\theta =0$ и $\theta =\pi $
Вершины: $(\frac{2}{3},0);\ \ (-2,\pi )$
Пересечение оси y: $(2,\frac{\pi }{2});\ \ (2,\frac{3\pi }{2})$
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
Об авторе
© 2005 - 2023 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.