Рациональные неравенства - задачи с решениями

Решение:
[tex]\frac{5}{x+8}<0[/tex]

Это неравенство выполняется только тогда, когда [tex]x+8<0[/tex]
Значит, [tex]x<-8[/tex]

Интервал решения: [tex]x\in \left( -\infty ,-8\right)[/tex]

Решение:
[tex]\frac{10}{2x+5}\geq 0[/tex]

Это неравенство выполняется, когда [tex]2x+5>0[/tex]

Тогда [tex]x>-\frac{5}{2}[/tex]

Итак, интервал решения: [tex]x\in \left( -\frac{5}{2},\infty \right)[/tex]

Решение:
[tex]\frac{x-3}{x+2}<0[/tex]

Корни: [tex]x=3\qquad x=-2[/tex]

Таблица интервалов

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-2\right) & -2 & \left( -2,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x+2\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 5 & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -5 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{x-3}{x+2} & \left( +\right) & \notin & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Решение: [tex]x\in \left( -2,3\right)[/tex]

Решение:
[tex]\frac{x+5}{x}\geq 0[/tex]
Корни: [tex]x=-5\qquad x=0[/tex]
и анализируем следующую таблицу

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-5\right) & -5 & \left( -5,0\right) & 0 & \left( 0,+\infty \right) \\ \left( x+5\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 5 & \left( +\right) \\ x & \left( -\right) & -5 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{x+5}{x} & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Решение: [tex]x\in (-\infty ,-5]\cup \left( 0,+\infty \right) [/tex]

Решение:
[tex]\frac{3x-1}{x+2}>0[/tex]
Корни: [tex]x=\frac{1}{3}\qquad x=-2[/tex]

и анализируем интервалы решения

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-2\right) & -2 & \left( -2,\frac{1}{3}\right) & \frac{1}{3} & \left( \frac{1}{3},+\infty \right) \\ 3x-1 & \left( -\right) & -7 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ x+2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{7}{3} & \left( +\right) \\ \frac{3x-1}{x+2} & \left( +\right) & \notin & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Тогда решение: [tex]x\in \left( -\infty ,-2\right) \cup \left( \frac{1}{3},+\infty \right)[/tex]

Решение:
[tex]\frac{2x+6}{x-3}\leq 0[/tex]
Корни: [tex]x=-3\qquad x=3[/tex]

Исследуем таблицу

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ 2x+6 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 12 & \left( +\right) \\ x-3 & \left( -\right) & -6 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{2x+6}{x-3} & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Решение: [tex]x\in \lbrack -3,3)[/tex]

Решение:
Нужно решить, когда [tex]x^{2}-1<0[/tex]
Значит, [tex]\left( x+1\right) \left( x-1\right) <0[/tex]

Затем проанализируем следующую таблицу интервалов

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-1\right) & -1 & \left( -1,1\right) & 1 & \left( 1,+\infty \right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+1\right) \left( x-1\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Итак, решением [tex]\frac{1}{x^{2}-1}<0[/tex] является [tex]x\in \left( -1,1\right) [/tex]

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 0[/tex].
При [tex]x\neq 0[/tex] имеем [tex]x^2\gt 0[/tex], поэтому можно умножить на положительный знаменатель: [tex]1\gt x^2 \Leftrightarrow -1\lt x\lt 1[/tex].
Нужно исключить [tex]x=0[/tex].
Ответ: [tex]x\in(-1; 0)\cup(0; 1)[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 1[/tex].
При [tex]x\neq 1[/tex]: [tex]\frac{x-1}{(x-1)^3}=\frac{1}{(x-1)^2}\gt 0[/tex].
Ответ: [tex]x\in(-\infty; 1)\cup(1; +\infty)[/tex].

Решение:
Сначала соберём всё в левой части в одну рациональную дробь.
[tex]\frac{x+1}{x-1}+2=\frac{x+1+2x-2}{x-1}>0\Longrightarrow \frac{3x-1}{x-1}>0[/tex]

Корни: [tex]x=\frac{1}{3}\qquad x=1[/tex]

А теперь проанализируем интервалы решения

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,\frac{1}{3}\right) & \frac{1}{3} & \left( \frac{1}{3},1\right) & 1 & \left( 1,+\infty \right) \\ 3x-1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) \\ x-1 & \left( -\right) & -\frac{2}{3} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{3x-1}{x-1} & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Решение: [tex]x\in \left( -\infty ,\frac{1}{3}\right) \cup \left(1,+\infty \right)[/tex]

Решение:
[tex]\frac{x-2}{x+3}\leq 1[/tex]

Сначала перенесём всё в левую часть, чтобы справа получился нуль, и соберём левую часть в одну рациональную дробь.
[tex]\frac{x-2}{x+3}-1\leq 0[/tex]

[tex]\frac{x-2-\left( x+3\right) }{x+3}\leq 0\Longrightarrow \frac{-5}{x+3}\leq 0[/tex]

Числитель — постоянное число [tex]-5[/tex], поэтому знак дроби зависит только от знаменателя, а [tex]x=-3[/tex] исключается.

[tex]\begin{array}{cccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,+\infty \right) \\ -5 & \left( -\right) & -5 & \left( -\right) \\ x+3 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{-5}{x+3} & \left( +\right) & \notin & \left( -\right) \end{array}[/tex]

Дробь отрицательна только тогда, когда [tex]x+3>0[/tex]

Решение: [tex]x\in \left( -3,+\infty \right)[/tex]

Решение:
Сначала перенесём всё в левую часть, чтобы справа получился нуль, и соберём левую часть в одну рациональную дробь.
[tex]\frac{2x-3}{5x+2}\geq -2[/tex]
[tex]\frac{2x-3}{5x+2}+2\geq 0[/tex]

Тогда [tex]\frac{2x-3+10x+4}{5x+2}\geq 0\Longrightarrow \frac{12x+1}{5x+2}\geq 0[/tex]
и получаем корни

[tex]x=-\frac{1}{12}\qquad x=-\frac{2}{5}[/tex]

Проанализируем таблицу

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-\frac{2}{5}\right) & -\frac{2}{5} & \left( -\frac{2}{5},-\frac{1}{12}\right) & -\frac{1}{12} & \left( -\frac{1}{12},+\infty \right) \\ 12x+1 & \left( -\right) & -\frac{19}{5} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ 5x+2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{19}{12} & \left( +\right) \\ \frac{12x+1}{5x+2} & \left( +\right) & \notin & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Тогда решение: [tex]x\in \left( -\infty ,-\frac{2}{5}\right) \cup \lbrack -\frac{1}{12},+\infty )[/tex]

Решение:
[tex]\frac{3x-1}{2x-1}<-4[/tex]

[tex]\frac{3x-1}{2x-1}+4<0[/tex]

[tex]\frac{3x-1+8x-4}{2x-1}<0[/tex]

[tex]\frac{11x-5}{2x-1}<0[/tex]

[tex]x=\frac{5}{11}\qquad x=\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,\frac{5}{11}\right) & \frac{5}{11} & \left( \frac{5}{11},% \frac{1}{2}\right) & \frac{1}{2} & \left( \frac{1}{2},+\infty \right) \\ 11x-5 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{1}{2} & \left( +\right) \\ 2x-1 & \left( -\right) & -\frac{1}{11} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{11x-5}{2x-1} & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

[tex]x\in \left( \frac{5}{11},\frac{1}{2}\right) [/tex]

Решение:
Сначала перенесём всё в левую часть, чтобы справа получился нуль, и соберём левую часть в одну рациональную дробь.
[tex]x\leq 3-\frac{6}{x+2}\Longrightarrow x-3+\frac{6}{x+2}\leq 0[/tex]

[tex]\frac{\left( x-3\right) \left( x+2\right) +6}{x+2}\leq 0[/tex]
Значит, [tex]\frac{x^{2}-x}{x+2}\leq 0[/tex] [tex]\Longrightarrow \frac{x(x-1)}{x+2}\leq 0[/tex]

Корни: [tex]x=0, x=1[/tex] и [tex]x=-2[/tex]

[tex]\begin{array}{ccccccc} & \left( -\infty ,-2\right) & -2 & \left( -2,0\right) & 0 & \left( 0,1\right) & \left( 1,\infty \right) \\ x & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \left( +\right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & \left( +\right) \\ \left( x+2\right) & \left( -\right) & 0 & (+) & 2 & \left( +\right) & \left( +\right) \\ \frac{x(x-1)}{x+2} & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Решение: [tex]x\in \left( -\infty ,-2\right) \cup \left[ 0,1\right][/tex]

Решение:
Корни: [tex]x=0, x=1[/tex] и [tex]x=-5[/tex]

Проанализируем следующую таблицу интервалов

[tex]\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-5\right) & -5 & \left( -5,0\right) & 0 & \left( 0,1\right) & 1 & \left( 1,\infty \right) \\ x & \left( -\right) & -5 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ x-1 & \left( -\right) & -6 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ x+5 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 5 & \left( +\right) & 6 & \left( +\right) \\ \frac{x\left( x-1\right) }{x+5} & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Значит, [tex]\frac{x\left( x-1\right) }{x+5}\geq 0[/tex] при [tex]x\in (-5,0]\cup \lbrack1,\infty)[/tex]

Решение:
Корни: [tex]x=0, x=1[/tex] и [tex] x=-1[/tex], и анализируем

[tex]\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-1\right) & -1 & \left( -1,0\right) & 0 & \left( 0,1\right) & 1 & \left( 1,\infty \right) \\ x & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ 1+x & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) \\ 1-x & \left( +\right) & -2 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) \\ \frac{\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) }{x} & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) \end{array}[/tex]

Неравенство [tex]\frac{\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) }{x}<0[/tex] верно при [tex]x\in \left(-1,0\right) \cup \left( 1,\infty \right)[/tex]

Решение:
[tex]\frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{x^2-12}{3x}=\frac{\left(x-2\sqrt{3}\right)\left(x+2\sqrt{3}\right)}{3x}\gt 0[/tex]
Нули числителя и знаменателя: [tex]-2\sqrt{3}; 0; 2\sqrt{3}[/tex]. Знаки слева направо: [tex]-; +; -; +[/tex].
Ответ: [tex]x\in\left(-2\sqrt{3}; 0\right)\cup\left(2\sqrt{3}; +\infty\right)[/tex].
Нельзя умножать обе части на [tex]x[/tex]: его знак неизвестен.

Решение:
Умножим на [tex]-1[/tex], чтобы заменить [tex]3-x[/tex] на [tex]x-3[/tex]; знак неравенства меняется на противоположный: [tex](x-2)(x-3)(x+1)\geq 0[/tex]
Нули множителей: [tex]-1; 2; 3[/tex]. Знаки слева направо: [tex]-; +; -; +[/tex].
[tex]x\in[-1; 2]\cup[3; +\infty)[/tex]
Оставляя только [tex]x\geq 0[/tex]: [tex]x\in[0; 2]\cup[3; +\infty)[/tex].

Решение:
[tex]x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)[/tex]
[tex]x^2-x+1\gt 0[/tex] при всех [tex]x[/tex] (дискриминант отрицателен, старший коэффициент положителен), поэтому этот множитель не влияет на знак.
[tex]x+1\leq 0 \Rightarrow x\leq -1[/tex]
Ответ: [tex]x\in(-\infty; -1][/tex]. Скобка у [tex]-1[/tex] квадратная, так как неравенство нестрогое и [tex]x=-1[/tex] является решением.

Решение:
[tex]x^4+x^6=x^4\left(1+x^2\right)[/tex]
Оба множителя неотрицательны: [tex]x^4\geq 0[/tex] и [tex]1+x^2\gt 0[/tex]. Их произведение не может быть отрицательным, значит, оно может быть только равно [tex]0[/tex].
Следовательно, [tex]x^4\left(1+x^2\right)\leq 0[/tex] только при [tex]x=0[/tex].

Решение:
[tex](x-1)^2(x-2)(x+2)\lt 0[/tex]
Множитель [tex](x-1)^2[/tex] положителен при [tex]x\neq 1[/tex] и равен [tex]0[/tex] при [tex]x=1[/tex]. Неравенство строгое, поэтому [tex]x=1[/tex] не является решением, а при [tex]x\neq 1[/tex] нужно:
[tex](x-2)(x+2)\lt 0 \Rightarrow -2\lt x\lt 2,\ x\neq 1[/tex]
Ответ: [tex]x\in(-2; 1)\cup(1; 2)[/tex].

Решение:
[tex]\frac{x}{x^{2}-1}\geq 0[/tex]

Тогда [tex]\frac{x}{\left( x+1\right) \left(x-1\right) }\geq 0[/tex]

Корни: [tex]x=0, x=-1[/tex] и [tex]x=1[/tex]

Нужно проанализировать следующие интервалы:

[tex]\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-1\right) & -1 & \left( -1,0\right) & 0 & \left( 0,1\right) & 1 & \left( 1,\infty \right) \\ x-1 & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ x & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ x+1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) \\ \frac{x}{\left( x+1\right) \left( x-1\right) } & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Тогда [tex]\frac{x}{\left( x+1\right) \left( x-1\right) }\geq 0[/tex] при [tex]x\in (-1,0]\cup (1,\infty )[/tex]

Решение:
[tex]\frac{\left( x^{2}-1\right) }{\left( x^{2}-4\right) }\geq 0[/tex]
Найдём корни выражений

[tex]\left( x^{2}-1\right) =\left( x-1\right) \left(x+1\right)[/tex]
[tex]\left( x^{2}-4\right) =\left( x-2\right) \left( x+2\right) \Longrightarrow x=-2,-1,1,2[/tex] — корни.

Нужно проанализировать таблицу возможных интервалов

[tex]\begin{array}{cccccccccc} & \left( -\infty ,-2\right) & -2 & \left( -2,-1\right) & -1 & \left( -1,1\right) & 1 & \left( 1,2\right) & 2 & \left( 2,\infty \right) \\ x-2 & \left( -\right) & -4 & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ x-1 & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ x+1 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) \\ x+2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \frac{\left( x^{2}-1\right) }{\left( x^{2}-4\right) } & \left( +\right) & \notin & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Тогда [tex]\frac{\left( x^{2}-1\right) }{\left( x^{2}-4\right) }\geq 0[/tex] при [tex]x\in \left( -\infty ,-2\right) \cup \left[ -1,1\right] \cup \left( 2,\infty\right)[/tex]

Решение:
После разложения на множители [tex]x^{2}+2x-3=\left( x+3\right) \left( x-1\right)[/tex] и
[tex]x^{2}-1=\left( x-1\right) \left( x+1\right)[/tex]

получаем три корня: [tex]x=-3, x=-1[/tex] и [tex]x=1[/tex]
Значит

[tex]\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-1}=\frac{\left( x+3\right) \left( x-1\right) }{\left( x-1\right) \left( x+1\right) }=\frac{\left( x+3\right) }{\left(x+1\right) }<0[/tex]
Тогда

[tex]\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,-1\right) & -1 & \left( -1,+\infty \right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{\left( x+3\right) }{\left( x+1\right) } & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Решение: [tex]x\in \left( -3,-1\right) [/tex]

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq\pm 3[/tex].
[tex]\frac{x+3}{(3-x)(3+x)}=\frac{1}{3-x}[/tex] (при [tex]x\neq -3[/tex])
[tex]\frac{1}{3-x}\geq 0 \Leftrightarrow 3-x\gt 0 \Leftrightarrow x\lt 3[/tex]
После сокращения нельзя забывать, что [tex]x=-3[/tex] не входит в ОДЗ.
Ответ: [tex]x\in(-\infty; -3)\cup(-3; 3)[/tex].

Решение:
Сначала перенесём всё в левую часть, чтобы справа получился нуль, и соберём левую часть в одну рациональную дробь.
[tex]\frac{x^{2}-2x+3}{x+1}\leq 1\Longrightarrow \frac{x^{2}-2x+3}{x+1}-1\leq 0[/tex]

Итак, [tex]\frac{x^{2}-2x+3-x-1}{x+1}\leq 0\Longrightarrow \frac{x^{2}-3x+2}{x+1}\leq 0\Longrightarrow \frac{\left( x-1\right) \left( x-2\right) }{x+1}\leq 0[/tex]

Корни: [tex]x=-1, x=1[/tex] и [tex]x=2[/tex]

[tex]\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-1\right) & -1 & \left( -1,1\right) & 1 & \left( 1,2\right) & 2 & \left( 2,\infty \right) \\ x-1 & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ x-2 & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ x+1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) \\ \frac{\left( x-1\right) \left( x-2\right) }{x+1} & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Неравенство [tex]\frac{\left( x-1\right) \left( x-2\right) }{x+1}\leq 0[/tex] верно при [tex]x\in \left( -\infty ,-1\right) \cup \left[ 1,2\right][/tex]

Решение:
[tex]\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}\leq 0[/tex]

Сначала соберём всё в левой части в одну рациональную дробь.

[tex]\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}=\frac{2\left( x-3\right) +3\left( x-2\right) }{\left( x-2\right) \left( x-3\right) }=\frac{5x-12}{\left( x-2\right) \left( x-3\right) }\leq 0[/tex]

Корни: [tex]x=\frac{12}{5}, x=2[/tex] и [tex]x=3[/tex], и теперь можно найти интервал решения, анализируя следующую таблицу

[tex]\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,2\right) & 2 & \left( 2,\frac{12}{5}\right) & \frac{12}{5% } & \left( \frac{12}{5},3\right) & 3 & \left( 3,\infty \right) \\ 5x-12 & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) \\ x-2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{2}{5} & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ x-3 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & -\frac{3}{5} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \frac{5x-12}{\left( x-2\right) \left( x-3\right) } & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & \notin & \left( +\right) \end{array}[/tex]

Тогда решение: [tex]x\in \left( -\infty ,2\right) \cup \lbrack \frac{12}{5},3)[/tex]

Решение:
[tex]\frac{x^2}{x+2}-(x-3)=\frac{x^2-(x-3)(x+2)}{x+2}=\frac{x+6}{x+2}\lt 0[/tex]
[tex]-6\lt x\lt -2[/tex]
Целые решения: [tex]-5; -4; -3[/tex], т.е. их [tex]3[/tex].