Свойства треугольников - задачи с решениями

Решение:
30 + 40 < 80, поэтому стороны треугольника не могут иметь длину 30, 40, 80 см.

Решение:
Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других:
[tex]70+60=130\gt 100; 70+100=170\gt 60; 60+100=160\gt 70[/tex]
Ответ: да.

Решение:
Сумма углов треугольника равна [tex]180^\circ[/tex].
[tex]30^\circ+40^\circ+100^\circ=170^\circ\ne 180^\circ[/tex]
Ответ: нет.

Решение:
Сумма углов треугольника равна [tex]180^\circ[/tex].
[tex]20^\circ+60^\circ+95^\circ=175^\circ\ne 180^\circ[/tex]
Ответ: нет.

Решение:
Сумма углов треугольника равна [tex]180^\circ[/tex].
[tex]50^\circ+53^\circ+77^\circ=180^\circ[/tex]
Ответ: да.

Решение:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Пусть неизвестный угол равен 'x' => 31 + 60 + x = 180
=> 91 + x = 180
=> x = 180 - 91
=> x = 89
Третий угол равен 89°

Решение:
Внутренний угол, смежный с внешним углом [tex]82^\circ[/tex], равен [tex]180^\circ-82^\circ=98^\circ[/tex]. Он тупой, а в треугольнике не более одного тупого угла, поэтому он не может быть одним из двух равных углов при основании. Значит, угол при вершине равен [tex]98^\circ[/tex], а каждый угол при основании:
[tex]\dfrac{180^\circ-98^\circ}{2}=41^\circ[/tex]
[tex]98^\circ-41^\circ=57^\circ[/tex]

Решение:
Сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) равна [tex]360^\circ[/tex]:
[tex]4k+3k+2k=360^\circ \Rightarrow k=40^\circ[/tex]
Внешние углы равны [tex]160^\circ[/tex], [tex]120^\circ[/tex] и [tex]80^\circ[/tex], поэтому внутренние углы:
[tex]180^\circ-160^\circ=20^\circ; 180^\circ-120^\circ=60^\circ; 180^\circ-80^\circ=100^\circ[/tex]

Решение:
[tex]\angle B+(\angle B+40^\circ)+(\angle B+20^\circ)=180^\circ \Rightarrow \angle B=40^\circ; \angle A=80^\circ; \angle C=60^\circ[/tex]
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как [tex]\angle A\gt \angle C\gt \angle B[/tex]:
[tex]BC\gt AB\gt AC[/tex]

Решение:
Если основание [tex]x[/tex], а боковые стороны [tex]x+6[/tex]:
[tex]x+2(x+6)=24 \Rightarrow x=4[/tex]
Стороны равны [tex]10; 10; 4[/tex], и [tex]4+10\gt 10[/tex], так что такой треугольник существует.
Если боковые стороны [tex]y[/tex], а основание [tex]y+6[/tex]:
[tex]2y+y+6=24 \Rightarrow y=6[/tex]
Стороны были бы [tex]6; 6; 12[/tex], но [tex]6+6=12[/tex], поэтому такого треугольника нет.

Решение:
Пусть боковая сторона [tex]b[/tex]; тогда основание [tex]b+5[/tex]. По неравенству треугольника:
[tex]b+b\gt b+5 \Rightarrow b\gt 5 \Rightarrow b\ge 6[/tex]
Наименьшее основание равно [tex]6+5=11[/tex] (треугольник [tex]6; 6; 11[/tex]).

Решение:
В прямоугольном треугольнике [tex]AHC[/tex] катет [tex]CH[/tex] лежит против угла [tex]30^\circ[/tex], поэтому он равен половине гипотенузы [tex]AC[/tex]:
[tex]AC=2CH=8[/tex]
[tex]P=AB+BC+AC=20+8=28[/tex]

Решение:
Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе, поэтому [tex]CN[/tex] — биссектриса [tex]\angle ACB[/tex]. Пусть [tex]P[/tex] — основание перпендикуляра из [tex]N[/tex] на [tex]CA[/tex]. В прямоугольном треугольнике [tex]CPN[/tex] катет [tex]NP=13[/tex] равен половине гипотенузы [tex]CN=26[/tex], поэтому:
[tex]\angle NCP=30^\circ \Rightarrow \angle ACB=2\cdot 30^\circ=60^\circ[/tex]

Решение:
Треугольник [tex]AMC[/tex] равнобедренный, а его внешний угол при [tex]A[/tex] равен [tex]\angle BAC=60^\circ[/tex]. Он равен сумме двух равных углов при основании, поэтому [tex]\angle ACM=30^\circ[/tex]. Аналогично [tex]\angle BCN=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ[/tex]. Кроме того, [tex]\angle ACB=180^\circ-60^\circ-50^\circ=70^\circ[/tex]:
[tex]\angle MCN=30^\circ+70^\circ+25^\circ=125^\circ[/tex]
В общем случае [tex]\angle MCN=90^\circ+\frac{\angle C}{2}[/tex].

Решение:
[tex]\angle BAC+2\angle BAC=90^\circ \Rightarrow \angle BAC=30^\circ; \angle ACB=60^\circ[/tex]
Катет [tex]BC[/tex] лежит против угла [tex]30^\circ[/tex], поэтому [tex]AC=2BC=20[/tex]. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:
[tex]BM=\dfrac{AC}{2}=10[/tex]

Решение:
[tex]CB=CA=CM[/tex], поэтому треугольники [tex]ABC[/tex] и [tex]CBM[/tex] равнобедренные. Пусть [tex]\angle CAB=\angle CBA=x[/tex] и [tex]\angle CBM=\angle CMB=y[/tex]. Так как [tex]C[/tex] лежит на отрезке [tex]AM[/tex], [tex]\angle ABM=x+y[/tex]. В треугольнике [tex]ABM[/tex]:
[tex]x+(x+y)+y=180^\circ \Rightarrow x+y=90^\circ \Rightarrow \angle ABM=90^\circ[/tex]