Подобные треугольники - задачи с решениями

Решение:
Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: [tex]\frac{CL}{BL}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}[/tex].

Решение:
Отношение периметров равно коэффициенту подобия: [tex]k=\frac{60}{36}=\frac{5}{3}[/tex]. Третья сторона первого треугольника [tex]36-9-15=12[/tex].
Значит, стороны второго [tex]9 \cdot \frac{5}{3}=15;\ 12 \cdot \frac{5}{3}=20;\ 15 \cdot \frac{5}{3}=25[/tex].

Решение:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{6}{5}\right)^2=\frac{36}{25}[/tex].
Значит, [tex]S_2=108 \cdot \frac{25}{36}=75[/tex].

Решение:
Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо в сумме дают развёрнутый угол. Если бы две пары соответственных углов давали в сумме развёрнутый угол, эти четыре угла в сумме составили бы полный угол, что невозможно, так как сумма двух углов треугольника меньше развёрнутого.
Значит, по крайней мере две пары углов равны, например [tex]\angle A=\angle A_1[/tex] и [tex]\angle B=\angle B_1[/tex], и по признаку подобия по двум углам [tex]\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1[/tex].

Решение:
У прямоугольных треугольников общий угол при вершине [tex]B[/tex], поэтому [tex]\triangle CBD \sim \triangle ABC[/tex], откуда [tex]\frac{BD}{CB}=\frac{CB}{AB}[/tex].
Значит, [tex]BD=\frac{CB^2}{AB}=\frac{144}{18}=8[/tex] и [tex]AD=18-8=10[/tex].

Решение:
Так как [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\triangle EDC \sim \triangle EAB[/tex], поэтому [tex]\frac{ED}{EA}=\frac{EC}{EB}=\frac{DC}{AB}=\frac{5}{13}[/tex].
Из [tex]\frac{ED}{ED+8}=\frac{5}{13}[/tex] получаем [tex]ED=5[/tex], а из [tex]\frac{EC}{EC+10}=\frac{5}{13}[/tex] — [tex]EC=\frac{25}{4}[/tex].

Решение:
Верхняя сторона квадрата отсекает треугольник, подобный данному, с основанием [tex]x[/tex] и высотой [tex]9-x[/tex], поэтому [tex]\frac{x}{18}=\frac{9-x}{9}[/tex], т.е. [tex]9x=162-18x[/tex] и [tex]x=6[/tex].

Решение:
Пусть [tex]M[/tex] — середина [tex]AB[/tex], [tex]CH[/tex] — высота, [tex]K[/tex] — основание перпендикуляра из [tex]G[/tex] на [tex]AB[/tex]. Точка пересечения медиан лежит на медиане [tex]CM[/tex] и [tex]MG=\frac{1}{3}MC[/tex]. Так как [tex]GK \parallel CH[/tex], прямоугольные треугольники с вершиной [tex]M[/tex] подобны, поэтому [tex]\frac{GK}{CH}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}[/tex].
Следовательно, [tex]GK=\frac{12}{3}=4[/tex].

Решение:
Так как [tex]PQ \parallel AC[/tex], [tex]\triangle PBQ \sim \triangle ABC[/tex] с коэффициентом [tex]\frac{BQ}{BC}=\frac{3}{5}[/tex]. Периметры подобных треугольников относятся с тем же коэффициентом, поэтому [tex]P_{PBQ}=\frac{3}{5} \cdot 35=21[/tex].

Решение:
Удвоенная площадь равна произведению любой стороны на проведённую к ней высоту: [tex]a \cdot h_a=b \cdot h_b=2S[/tex], поэтому [tex]\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}=\frac{5}{3}[/tex].
Следовательно, [tex]a=\frac{5}{8} \cdot 40=25[/tex].

Решение:
Стороны [tex]\triangle A_1B_1C_1[/tex] — средние линии [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]B_1C_1=\frac{BC}{2};\ C_1A_1=\frac{CA}{2};\ A_1B_1=\frac{AB}{2}[/tex]. Значит, [tex]\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC[/tex] с коэффициентом [tex]k=\frac{1}{2}[/tex], и [tex]S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{4} \cdot 120=30[/tex].

Решение:
Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: [tex]\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}[/tex]. Пусть [tex]S_1=16t;\ S_2=25t[/tex]; тогда [tex]41t=82[/tex], [tex]t=2[/tex] и [tex]S_1=32;\ S_2=50[/tex].

Решение:
Точка пересечения медиан делит медиану в отношении [tex]2:1[/tex], считая от вершины, поэтому [tex]CG=\frac{2}{3}CM[/tex]; кроме того, [tex]CP=\frac{1}{2}CM[/tex].
Следовательно, [tex]PG=CG-CP=\frac{1}{6}CM[/tex], поэтому [tex]CM=30[/tex].

Решение:
Пусть [tex]M[/tex] — середина гипотенузы. Медиана к гипотенузе равна её половине: [tex]CM=\frac{AB}{2}=9[/tex]. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении [tex]2:1[/tex], считая от вершины, поэтому [tex]GC=\frac{2}{3}CM=6[/tex].

Решение:
По свойству биссектрисы [tex]\frac{AB}{BC}=\frac{AL}{LC}=2[/tex]. В прямоугольном треугольнике [tex]\cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}[/tex], поэтому [tex]\angle ABC=60^\circ[/tex].

Решение:
Пусть [tex]K[/tex] и [tex]H[/tex] — основания перпендикуляров из [tex]D[/tex] и [tex]B[/tex] на [tex]AC[/tex]. Тогда [tex]DK \parallel BH[/tex], поэтому [tex]\triangle ADK \sim \triangle ABH[/tex] и [tex]\frac{DK}{BH}=\frac{AD}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}[/tex].

Решение:
Пусть средние линии, параллельные соответственным сторонам, таковы, что [tex]m_1=n_1;\ m_2=n_2;\ m_3=n_3[/tex]. Каждая средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, поэтому [tex]BC=2m_1=2n_1=B_1C_1[/tex] и аналогично [tex]CA=C_1A_1;\ AB=A_1B_1[/tex].
По третьему признаку равенства [tex]\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1[/tex].