Уравнения с модулем - задачи с решениями

Решение:
$|x^2-5x|=6$

Случай 1:
$x^2-5x=6$
$x^2-5x-6=0$
$D=49$
$x_1=-1$
$x_2=6$


Случай 2:
$x^2-5x=-6$
$x^2-5x+6=0$
$D=1$
$x_1=2$
$x_2=3$

Ответ: $-1, 2, 3, 6$

Решение:
ОДЗ: $x+2\ge0 \Leftrightarrow x \ge -2, x\in[-2,+\infin)$

$|x|=x+2$

Случай 1:
$x=x+2$
$0 \times x=2$
There is no solution.


Случай 2
$x=-(x+2)$
$x=-x-2$
$2x=-2$
$x=-1\in [-2,+\infin)$

Ответ: $-1$

Решение:
$2|x+1|+1=3$
$2|x+1|=2$
$|x+1|=1$

Случай 1:
$x+1=1$
$x=0$

Случай 2:
$x+1=-1$
$x=-2$

Ответ: $-2, 0$

Решение:
$|4-|x||=2$

Случай 1:

$4-|x|=2$
$-|x|=-2$
$|x|=2$
$x=2$ или $x=-2$

Случай 2:

$4-|x|=-2$
$-|x|=-6$
$|x|=6$
$x=6$ или $x=-6$

Ответ: $-6, -2, 2, 6$

Решение:

	$(-\infin,1)$	$[1, 2)$	$[2,+\infin)$
$x-1$	-	+	+
$x-2$	-	-	+

Случай 1: $x\in(-\infin,1)$

$|x-1|+|x-2|=1$
$-(x-1)+(-(x-2))=1$
$-x+1-x+2=1$
$-2x=-2$
$x=1 \notin (-\infin,1)$ - В этом интервале решения нет.


Случай 2: $x\in [1, 2)$

$|x-1|+|x-2|=1$
$(x-1)+(-(x-2))=1$
$0x=0 \Rightarrow \forall x \in [1, 2)$


Случай 3: $x\in [2,+\infin)$

$|x-1|+|x-2|=1$
$(x-1)+(x-2)=1$
$2x=4$
$x=2\in [2,+\infin)$

Ответ: $[1,2]$

Решение:
$2x-1=0\Leftrightarrow 2x=1 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
$3x+2=0\Leftrightarrow 3x=-2 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}$
$x=0$

	$(-\infin,-\frac{2}{3})$	$[-\frac{2}{3}, 0)$	$[0,\frac{1}{2})$	$[\frac{1}{2},+\infin)$
$2x-1$	-	-	-	+
$3x+2$	-	+	+	+
$x$	-	-	+	+

Случай 1 $x\in(-\infin,-\frac{2}{3})$
$|2x-1|=-(2x-1)$
$|3x+2|=-(3x+2)$
$|x|=-x$

$|2x-1|+|3x+2|=3-|x|$
$-(2x-1)-(3x+2)=3-(-x)$
$-2x+1-3x-2=3+x$
$-5x-1=3+x$
$-6x=4$
$x=-\frac{2}{3} \notin (-\infin,-\frac{2}{3}) \Rightarrow -\frac{2}{3}$ это не решение


Случай 2 $x\in[-\frac{2}{3}, 0)$
$|2x-1|=-(2x-1)$
$|3x+2|=(3x+2)$
$|x|=-x$

$-(2x-1)+(3x+2)=3-(-x)$
$-2x+1+3x+2=3+x$
$x+3=3+x$
$0\cdot x=0 \Leftrightarrow \forall x \in [-\frac{2}{3}, 0)$


Случай 3 $x\in[0, \frac{1}{2})$
$|2x-1|=-(2x-1)$
$|3x+2|=(3x+2)$
$|x|=x$

$-(2x-1)+(3x+2)=3-x$
$-2x+1+3x+2=3-x$
$x+3=3-x$
$2x+3=0$
$x=0 \in [0, \frac{1}{2}) \Rightarrow $ это решение


Случай 4 $x\in[\frac{1}{2}, +\infin)$
$|2x-1|=(2x-1)$
$|3x+2|=(3x+2)$
$|x|=x$

$(2x-1)+(3x+2)=3-x$
$2x-1+3x+2=3-x$
$5x+1=3-x$
$6x=2$
$x=\frac{1}{3} \notin [\frac{1}{2}, +\infin) \Rightarrow \frac{1}{3}$ это не решение


Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}, 0]$

Решение:
$2x+3 = 0 \Leftrightarrow 2x=-3 \Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}$

$2x^2-x-1=0$
$D=0$
$x_1=1, x_2=-\frac{1}{2}$

	$(-\infin,-\frac{3}{2})$	$[-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$	$[-\frac{1}{2},1)$	$[1,+\infin)$
$2x+3$	-	+	+	+
$2x^2-x-1$	+	+	-	+

Случай 1 $x \in (-\infin,-\frac{3}{2})$
$|2x+3| = -(2x+3)$
$|2x^2-x-1|=2x^2-x-1$

$-(2x+3)=(2x^2-x-1)+1$
$-2x-3=2x^2-x-1+1$
$-2x-3=2x^2-x$
$-2x^2-x-3=0$
$2x^2+x+3=0$
$D < 0, x\in \varnothing$

Случай 2 $x \in [-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$
$|2x+3| = 2x+3$
$|2x^2-x-1|=2x^2-x-1$

$2x+3=2x^2-x-1+1$
$2x+3-2x^2+x=0$
$-2x^2+3x+3=0$
$2x^2-3x-3=0$
$D = 33$
$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
$x_1=\frac{3+\sqrt{33}}{4} \approx 2,9 \notin [-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$ - это не решение
$x_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4} \approx -0,69 \in [-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$ - это решение

Случай 3 $x \in [-\frac{1}{2},1)$
$|2x+3| = 2x+3$
$|2x^2-x-1|= -(2x^2-x-1)$

$2x+3=-(2x^2-x-1)+1$
$2x+3=-2x^2+x+1+1$
$2x^2+2x-x+3-2=0$
$2x^2+x+1=0$
$D < 0 \Rightarrow x\in \varnothing$

Случай 4 $x \in [1,+\infin)$
$|2x+3| = 2x+3$
$|2x^2-x-1|=2x^2-x-1$

$2x+3=2x^2-x-1+1$
$2x+3-2x^2+x=0$
$-2x^2+3x+3=0$
$2x^2-3x-3=0$
$D = 33$
$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
$x_1=\frac{3+\sqrt{33}}{4} \approx 2,9 \in [1,+\infin)$ это решение
$x_1=\frac{3-\sqrt{33}}{4} \approx -0,69 \notin [1,+\infin)$ это не решение

Ответ: $\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$

Решение:
$2-x=0 \Leftrightarrow x=2$
$3x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$
$x-4=0 \Leftrightarrow x=4$

	$(-\infin,\frac{1}{3})$	$[\frac{1}{3}, 2)$	$[2,4)$	$[4,+\infin)$
$2-x$	+	+	-	-
$3x-1$	-	+	+	+
$x-4$	-	-	-	+

Случай 1 $x\in (-\infin, \frac{1}{3})$

$|2-x|=2-x$
$|3x-1|=-(3x-1)$
$|x-4|=-(x-4)$

$(2-x)-(3x-1)=5x+2(x-4)$
$2-x-3x+1=5x+2x-8$
$-4x+3=7x-8$
$-4x-7x=-8-3$
$-11x=-11$
$x=1 \notin (-\infin, \frac{1}{3}) \Rightarrow $ это не решение

Случай 2 $x\in [\frac{1}{3},2)$

$|2-x|=(2-x)$
$|3x-1|=(3x-1)$
$|x-4|=-(x-4)$

$(2-x)+(3x-1)=5x+2(x-4)$
$2-x+3x-1=5x+2x-8$
$2x+1=7x-8$
$2x-7x=-8-1$
$-5x=-9$
$5x=9$
$x=\frac{9}{5} \in [\frac{1}{3},2) \Rightarrow $ это решение

Случай 3 $x\in [2, 4)$

$|2-x|=-(2-x)$
$|3x-1|=(3x-1)$
$|x-4|=-(x-4)$

$-(2-x)+(3x-1)=5x+2(x-4)$
$-2+x+3x-1=5x+2x-8$
$4x-3=7x-8$
$4x-7x=-8+3$
$-3x=-5$
$3x=5$
$x=\frac{5}{3} \notin [2, 4) \Rightarrow $ это не решение

Случай 4 $x\in [4, +\infin)$

$|2-x|=-(2-x)$
$|3x-1|=(3x-1)$
$|x-4|=(x-4)$

$-(2-x)+(3x-1)=5x-2(x-4)$
$-2+x+3x-1=5x-2x+8$
$4x-3=3x+8$
$4x-3x=8+3$
$x=11 \in [4, +\infin) \Rightarrow $ это решение

Ответ: $\frac{9}{5}, 11$