Приложения интегралов - задачи с решениями

Решение:
Найдём точки пересечения графиков.

[tex]y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x^{2}+2x+1=2x+5\Longrightarrow x^{2}-4=0[/tex], откуда [tex]x=\pm 2[/tex].

Площадь фигуры равна
[tex]S=\int_{-2}^{2}\left[ 2x+5-x^{2}-2x-1\right] dx=\int_{-2}^{2}\left( 4-x^{2}\right) dx[/tex]

[tex]S=\left[ 4x-\frac{x^{3}}{3}\right] _{-2}^{2}=8-\frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}[/tex]

Решение:
Найдём точки пересечения графиков.

[tex]y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x^{2}-4x+3=-x^{2}+2x+3\Longrightarrow 2x^{2}-6x=0[/tex], откуда [tex]x=0[/tex] и [tex]x=3[/tex].

Тогда [tex]A=\int_{0}^{3}\left[ -x^{2}+2x+3-x^{2}+4x-3\right] dx=\int_{0}^{3}\left( -2x^{2}+6x\right) dx[/tex]

[tex]A=\left[ -\frac{2}{3}x^{3}+3x^{2}\right]_{0}^{3}=-18+27=9[/tex]

Решение:
Найдём точки пересечения графика с осью [tex]Ox[/tex].

[tex]y_{1}=3(x^{3}-x)=0\Longrightarrow x=-1;\ x=0;\ x=1[/tex]

На [tex][-1;0][/tex] функция неотрицательна, а на [tex][0;1][/tex] неположительна, поэтому
[tex]A=\int_{-1}^{0}3(x^{3}-x)dx-\int_{0}^{1}3(x^{3}-x)dx[/tex]

[tex]A=\left[ 3\left( \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right) \right]_{-1}^{0}-\left[ 3\left( \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right) \right]_{0}^{1}=3\left[ -\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) -\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) \right][/tex]

[tex]A=3\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) =\frac{3}{2}[/tex]

Решение:
Найдём точки пересечения графиков.

[tex]f(x)=g(x)\Longrightarrow -x^{2}+\frac{9}{2}x+1=\frac{1}{2}x+1\Longrightarrow -x^{2}+4x=0[/tex], откуда [tex]x=0[/tex] и [tex]x=4[/tex].

Тогда [tex]A=\int_{0}^{4}\left[ \left( -x^{2}+\frac{9}{2}x+1\right) -\left( \frac{1}{2}x+1\right) \right] dx[/tex]

[tex]A=\int_{0}^{4}\left( -x^{2}+4x\right) dx=\left[ -\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}\right]_{0}^{4}=-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3}[/tex]

Решение:
Найдём точку пересечения прямых и точки их пересечения с осью [tex]Ox[/tex].
[tex]x=2-x\Longrightarrow x=1[/tex]; прямые пересекают ось [tex]Ox[/tex] в точках [tex]x=0[/tex] и [tex]x=2[/tex].

[tex]A=\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}(2-x)dx=\left[ \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[ 2x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}[/tex]

[tex]A=\frac{1}{2}+4-2-2+\frac{1}{2}=1[/tex]

Решение:
Найдём точки пересечения графиков.

[tex]f(x)=g(x)\Longrightarrow \sqrt{x}+3=\frac{1}{2}x+3\Longrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}x[/tex], откуда [tex]x=0[/tex] или [tex]x=4[/tex].

Тогда [tex]A=\int_{0}^{4}\left( f(x)-g(x)\right) dx=\int_{0}^{4}\left( \sqrt{x}+3-\frac{1}{2}x-3\right) dx=\int_{0}^{4}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2}x\right) dx[/tex]

[tex]A=\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}x^{2}\right]_{0}^{4}=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}[/tex]

Решение:
Найдём точки пересечения графиков.

[tex]f(x)=g(x)\Longrightarrow \sqrt[3]{x-1}=x-1\Longrightarrow x=0;\ x=1;\ x=2[/tex]

Искомая площадь равна
[tex]A=\int_{0}^{1}\left( x-1-\sqrt[3]{x-1}\right) dx+\int_{1}^{2}\left( \sqrt[3]{x-1}-x+1\right) dx[/tex]

[tex]A=\left[ \frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{4}(x-1)^{\frac{4}{3}}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{3}{4}(x-1)^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{2}x^{2}+x\right] _{1}^{2}[/tex]

[tex]A=\frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-2+2+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}[/tex]

Решение:
Сначала найдём точки пересечения графиков.

[tex]f(x)=g(x)\Longrightarrow x^{2}-4x+3=3+4x-x^{2}\Longrightarrow 2x^{2}-8x=0\Longrightarrow 2x(x-4)=0[/tex]

откуда [tex]x=0[/tex] и [tex]x=4[/tex].

[tex]A=\int_{0}^{4}\left[ \left(3+4x-x^{2}\right) -\left( x^{2}-4x+3\right) \right] dx=\int_{0}^{4}\left( 8x-2x^{2}\right) dx[/tex]

[tex]A=\left[ 4x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right] _{0}^{4}=64-\frac{128}{3}=\frac{64}{3}[/tex]

Решение:
Найдём точки пересечения графиков.

[tex]x^{4}-2x^{2}=2x^{2}\Longrightarrow x^{4}-4x^{2}=0\Longrightarrow x^{2}(x^{2}-4)=0[/tex]

Точки пересечения: [tex]x=-2;\ x=0;\ x=2[/tex].

Учитывая симметрию графиков относительно оси [tex]Oy[/tex], получаем

[tex]A=2\int_{0}^{2}\left[ 2x^{2}-\left(x^{4}-2x^{2}\right) \right] dx=2\left[ \frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right] _{0}^{2}=2\left( \frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right) =\frac{128}{15}[/tex]

Решение:
Найдём точки пересечения графиков.

[tex]x^{4}-4x^{2}=x^{2}-4\Longrightarrow x^{4}-5x^{2}+4=0[/tex]

Положим [tex]u=x^{2}[/tex], тогда [tex]u^{2}-5u+4=0\Longrightarrow (u-4)(u-1)=0[/tex], т.е. [tex]u=4[/tex] или [tex]u=1[/tex].
Так как [tex]u=x^{2}[/tex], точки пересечения [tex]x=\pm 1[/tex] и [tex]x=\pm 2[/tex].

Учитывая симметрию графиков относительно оси [tex]Oy[/tex], получаем

[tex]A=2\left[ \int_{0}^{1}\left[ \left( x^{4}-4x^{2}\right)-\left( x^{2}-4\right) \right] dx+\int_{1}^{2}\left[\left( x^{2}-4\right) -\left( x^{4}-4x^{2}\right) \right] dx\right][/tex]

[tex]A=2\left[ \int_{0}^{1}\left( x^{4}-5x^{2}+4\right) dx+\int_{1}^{2}\left( -x^{4}+5x^{2}-4\right) dx\right][/tex]

[tex]A=2\left( \left[ \frac{1}{5}x^{5}-\frac{5}{3}x^{3}+4x\right] _{0}^{1}+\left[-\frac{1}{5}x^{5}+\frac{5}{3}x^{3}-4x\right] _{1}^{2}\right)=2\left( \frac{38}{15}+\frac{22}{15}\right)=8[/tex]

Решение:
Кривая пересекает ось [tex]Ox[/tex] в точках [tex]x=\pm 2[/tex], а радиус диска равен [tex]R(x)=f(x)=4-x^{2}[/tex], поэтому

[tex]V=\pi \int_{-2}^{2}R(x)^{2}dx=\pi\int_{-2}^{2}\left( 4-x^{2}\right) ^{2}dx=\pi \int_{-2}^{2}\left( 16-8x^{2}+x^{4}\right) dx[/tex]

[tex]V=\pi \left[ 16x-\frac{8}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}\right]_{-2}^{2}=\pi \left( 32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}+32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}\right) =\frac{512}{15}\pi[/tex]

Решение:
Так как [tex]R(x)=\sqrt{x}[/tex], объём равен [tex]V=\pi \int_{0}^{3}R^{2}(x)dx[/tex]

[tex]V=\pi \int_{0}^{3}x\,dx=\pi \left[ \frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{3}=\frac{9}{2}\pi[/tex]

Решение:
[tex]R(x)=f(x)=\sqrt{\sin x}[/tex], поэтому объём равен
[tex]V=\pi \int_{0}^{\pi}\left( \sqrt{\sin x}\right)^{2}dx[/tex]

[tex]V=\pi \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=-\pi \left[ \cos x\right] _{0}^{\pi}=-\pi \left( \cos \pi -\cos 0\right) =-\pi \left(-1-1\right) =2\pi[/tex]