Взаимосвязь между интегрированием и дифференцированием

Производная неопределенного интеграла. Первая основная теорема математического анализа
Сейчас мы обсудим удивительную взаимосвязь, которая существует между интегрированием и дифференцированием. Связь между этими двумя действиями аналогична в какой-то мере связи между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Если мы возведем положительное число в квадрат и затем возьмем положительное значение квадратного корня, то в результате опять получим исходное число. Аналогичным образом, если мы возьмем неопределенный интеграл от некоторой непрерывной функции f, мы получим новую функцию, производная которой даст нам опять исходную функцию f. Например, если f(x) = x², то неопределенный интеграл A(x) определяется следующим образом
$A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_c^x t^2 \ dt = \frac{x^3}{3} - \frac{c^3}{3},$
где c - константа интегрирования. Дифференцируя эту функцию, мы получаем A'(x) = x² = f(x). Этот пример - хорошая иллюстрация важной теоремы, лежащей в основе математического анализа. Она формулируется следующим образом:

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу

Пусть функция f интегрируема на [a, x] для любого x на промежутке [a, b]. Пусть c удовлетворяет условию a ≤ c ≤ b . Определим новую функцию A следующим образом:
$A(x)=\int\limits_c^x f(t) \ dt, \qquad \qquad a \leq x \leq b$
Тогда A'(x) существует в каждой точке x из открытого интервала (a, b), где f непрерывна, и для таких x мы имеем
(5.1)           A'(x) = f(x).
Сначала приведем геометрическую иллюстрацию истинности этой теоремы, а затем проведем строгое аналитическое доказательство.

Геометрическая иллюстрация. На рисунке 5.1 изображен график функции f на промежутке [a, b]. Здесь h положительно, и
$\int\limits_x^{x+h} f(t) \ dt = \int\limits_c^{x+h} f(t) \ dt - \int\limits_c^x f(t) \ dt = A(x+h) - A(x)$
Здесь функция непрерывна на интервале [x, x + h]. Следовательно, по теореме о среднем значении для интегралов, получим
A(x + h) - A(x) = hf(Z), где x ≤ z ≤ x + h.
Следовательно,
(5.2)            [A(x + h) - A(x)]/h = f(z),

Поскольку x ≤ z ≤ x + h, получаем, что f(z) → f(x) когда h → 0 для всех положительных значений. Аналогичные рассуждения справедливы, если h → 0 для всех отрицательных значений. Следовательно, A'(x) существует и равно f (x).
Эти рассуждения предполагали, что функция f непрерывна в некоторой окрестности точки x. Однако формулировка теоремы требует непрерывности только в точке x. Следовательно, для доказательства теоремы при этом, более слабом, условии, мы должны использовать иной метод.

Аналитическое доказательство. Пусть функция непрерывна в точке x. В этой точке определим следующее выражение
[A(x + h) - A(x)]/h
Для доказательства теоремы необходимо доказать, что это выражение стремится к пределу f(x), когда h → 0. Числитель этого выражения имеет вид:
$A(x+h) - A(x) = \int\limits_c^{x+h} f(t) \ dt - \int\limits_c^x f(t) \ dt = \int\limits_x^{x+h} f(t) \ dt.$
Если в последний интеграл подставить выражение f(t) =f(x) + [f(t) -f(x)] , получаем
откуда находим
(5.3) $\frac{A(x+h) - A(x)}{h} = f(x) + \frac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} [f(t) - f(x)] \ dt $
Следовательно, для завершения доказательства (5.1) нужно доказать, что
$\lim\limits_{h\rightarrow 0} \ \frac{1}{h} \int\limits_x^{x+h} [f(t) - f(x)] \ dt = 0$
Эта часть доказательства использует условие непрерывности в точке x.
Обозначим второе слагаемое в правой части (5.3) через G(h). Необходимо доказать, что G(h) -f 0 когда h --f 0. Используя определение предела, мы должны показать, что для дюбого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
(5.4)          |G(h)| < ε, когда 0 < |h| < δ.
Из непрерывности функции f в точке x следует, что если дано ε, то существует положительное δ такое, что
(5.5)           |f(t) -f(x)| < ε/2
когда (5.6)          x - δ < t < x + δ.
Если h выбрано таким образом, что 0 < h < δ, тогда любое t в промежутке [x, x + h] удовлетворяет (5.6), следовательно, (5.5) справедливо для любого t. Используя соотношение $|\int \limits_x^{x+h} g(t) \ dt| \ \leq \ \int \limits_x^{x+h} |g(t)| \ dt$ для g(t) =f(t) -f(x), мы видим, что из неравенства в (5.5) следует соотношение
$|\int \limits_x^{x+h} [f(t) - f(x)] \ dt | \leq \int \limits_x^{x+h} |f(t) - f(x)| \ dt \leq \int \limits_x^{x+h} \frac{1}{2} \epsilon \ dt = \frac{1}{2} h \epsilon < h \epsilon$
Разделив его на h, мы видим, что (5.4) справедливо для 0 < h < δ. Если h < 0, аналогично доказывается, что (5.4) справедливо для 0 < |h| < δ, и тем самым доказательство завершено.

Теорема о нулевой производной

Если функция f постоянна на открытом интервале (a, b), ее производная равна нулю везде на интервале (a, b). Это было доказано раньше как прямое следствие из определения производной. Мы также доказали (часть (с) теоремы 4.7) обратное утверждение, которое мы сформулируем здесь в виде теоремы.

Теорема 5.2. Теорема о нулевой производной. Если f'(x) = 0 для любого x на открытом интервале I, тогда f постоянна на I.
Эта теорема, вместе с теоремой о производной интеграла по верхнему пределу, приводит ко второй важнейшей теореме математического анализа, которая и описана в следующей главе.

5.3 Первообразная функция и формула Ньютона-Лейбница (или основная теорема анализа)

Определение первообразной функции

Функция P называется первообразной функции f на открытом интервале I, если производной P является f, то есть если P'(x) = f (x) для любого х из I.

Например, функция синус является первообразной функции косинус на любом интервале, поскольку производная синуса равна косинусу. Функция имеет не единственную первообразную, а множество, поскольку, если Р является первообразной некоторой функции, то и P + k будет тоже являться первообразной той же функции для любой постоянной k. И наоборот, любые две первообразные P и Q одной функции f могут отличаться только на константу, поскольку их разность P - Q имеет производную
P'(x) - Q'(x) = f(x) - f(x) = 0
для любого x из I и, следовательно, по Теореме 5.2, P - Q является константой на множестве Z.
Теорема о производной интеграла по верхнему пределу говорит, что мы всегда можем записать первообразную для непрерывной функции в виде интеграла. Этот факт вместе с тем, что две первообразные одной функции отличаются только на константу, приводит ко второй важнейшей теореме математического анализа.

Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема анализа)

Предположим, что f непрерывна на открытом интервале I, и P - любая первообразная на I. Тогда для любых c и x из I имеем
(5.7)          $P(x) = P(c) + \int \limits_c^x f(t) \ dt$

Доказательство. Пусть $A(x) = \int \limits_c^x f(t) \ dt$. Так как f непрерывна для любого x из I, первая теорема говорит, что A'(x) = f(x) для всех x из Z. Другими словами, A является первообразной на Z. Поскольку две первообразные могут отличаться только на константу, должно выполняться условие A(x) - P(x) = k для некоторой константы k. Когда x = c, из этой формулы следует -P(c) = k, поскольку A(c) = 0. Следовательно, A(x) - P(x) = -P(c), и мы получаем (5.7).

Теорема 5.3 говорит нам, как найти все первообразные P непрерывной функции f. Мы просто интегрируем f от фиксированной точки c до произвольной точки x и прибавляем P(c), получая тем самым P(x). Но основное значение теоремы станет очевидным, когда мы запишем уравнение (5.7) в виде:
(5.8)            $\int \limits_c^x f(t) \ dt = P(x) - P(c)$
Отсюда следует, что мы можем вычислить величину интеграла простым вычитанием, если мы знаем первообразную P. Таким образом, проблема оценки интеграла превращается в другую проблему: как найти первообразную P. С практической точки зрения, вторая проблема решается гораздо проще, чем первая. Каждая формула дифференцирования, прочитанная в обратном порядке, дает нам пример первообразной некоторой функции f, и это, в свою очередь, ведет к интегралу от этой функции.
Из тех формул дифференцирования, с которыми мы уже познакомились, мы можем вывести следующие формулы для интегрирования как следствия формулы Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР 1. Интегрирование степенных функций. Формула интегрирования
(5.9) $\int \limits_a^b x^n \ dx = \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$       (n = 0, 1, 2, . . .)
была доказана в главе 1.23 непосредственно из определения интеграла. Этот результат может быть выведен и обобщен на дробные показатели степени с использованием формулы Ньютона-Лейбница. Прежде всего, заметим, что функция P, определенная уравнением
(5.10)         P(x) = (x^{n + 1})/(n + 1)
имеет производную P'(x) = xⁿ, если n - любое неотрицательное целое число. Поскольку это справедливо для всех действительных x, используем (5.8), чтобы записать
$\int \limits_a^b x^n \ dx = P(b) - P(a) = \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$
для всех интервалов [a, b]. Эта формула, доказанная для всех целых n ≥ 0, также справедлива для всех отрицательных целых значений, кроме n = -1. Это значение исключается, поскольку n + 1 расположено в знаменателе. Чтобы доказать (5.9) для отрицательных n, достаточно показать, что из (5.10) следует P'(x) = xn, когда n отрицательно и не равно - 1. Это легко подтверждается дифференцированием P как степенной функции. Безусловно, когда n отрицательно, и P(x), и P'(x) не определены при x = 0, и когда мы используем (5.9) для отрицательных n, важно исключить те интервалы [a, b], которые содержат точку x = 0.
Результат из примера 3 в главе 4.5 позволяет распространить (5.9) на все рациональные показатели степени (кроме -l) с условием, что подынтегральная функция определена везде на рассматриваемом интервале [a, b]. Например, если 0 < a < b и n = -1/2, мы получаем
$\int \limits_a^b \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx = \int \limits_a^b x^{-\frac{1}{2}} \ dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}|_a^b = 2(\sqrt{b} - \sqrt{a})$
Этот результат был доказан ранее с использованием аксиом о площади. Теперь же мы не использовали в доказательстве эти аксиомы.
В следующей главе мы определим общую показательную функцию f такую, что f(x) = x^c для любого действительного показателя c. Мы покажем, что эта функция имеет производную f'(x) = cx^{c - 1} и первообразную P(x) = x^{c + 1}/(с + 1)б если c ≠ - 1. Это позволит нам распространить (5.9) на все действительные показатели, кроме - 1.
Отметим, что мы не можем получить P'(x) = 1/x дифференцированием функции вида P(x) = xⁿ. Тем не менее, существует функция P, производная которой P'(x) = 1/x. Чтобы найти такую функцию, мы должны записать соответствующий неопределенный интеграл, например
$P(x) = \int \limits_x^c \frac{1}{t} \ dt \qquad \qquad если \ x > 0$
Этот интеграл существует, поскольку подынтегральная функция монотонна. Функция, определенная таким образом, называется логарифмом или, точнее, натуральным логарифмом. Ее свойства подробно рассмотрены в главе 6.

ПРИМЕР 2. Интегрирование функций синуса и косинуса. Поскольку производной синуса является косинус, а производной косинуса - синус со знаком "-", вторая теорема дает нам следующее:
$\int \limits_a^b \cos x \ dx = \sin x |_a^b = \sin b - \sin a \\ \int \limits_a^b \sin x \ dx = (-\cos x) |_a^b = \cos a - \cos b$
Эти формулы также были доказаны непосредственно из определения интеграла. Примеры формул интегрирования можно также получить из примеров 1 и 2 определением конечных сумм членов вида Ax'“, B sin x, C COS x, где A, B, C - константы.

5.4 Свойства функций, выведенные из свойств их производных

Если функция f имеет непрерывную производную f' на открытом интервале Z, формула Ньютона-Лейбница говорит, что
(5.11) $f(x) = f(c) + \int \limits_c^x f'(t) \ dt$
для любых точек x и c в Z. Эта формула, выражающая f через ее производную f', позволяет нам вывести свойства функции из свойств ее производной. Хотя следующие свойства и обсуждались ранее в главе 4, интересно видеть, что их можно получить как простое следствие уравнения (5.11).
Пусть функция f' непрерывна и неотрицательна на I. Если x > c, то $\int \limits_c^x f'(t) \ dt \geq 0$ и, следовательно, f(x) ≥ f(c). Другими словами, если производная непрерывна и неотрицательна на Z, то функция возрастает на Z.
В теореме 2.9 мы доказали, что неопределенный интеграл от возрастающей функции является выпуклым. Следовательно, если f' непрерывна и возрастает на I, уравнение (5.11) доказывает, что f - выпуклая на Z. Аналогично, f будет вогнутой на тех интервалах, где f' непрерывна и убывает.

Упражнения

В каждом из упражнений 1-10 найдите первообразную для f; то есть, найдите функцию P такую, что P'(x) = f(x), и используйте формулу Ньютона-Лейбница, чтобы оценить $\int \limits_a^b f'(x) \ dx$
1. f(x) = 5x³.            6. f(x) = √2x + √x/2, x > 0.
2. f(x) = 4x⁴ - 12x.            7. f(x) = [2x² - 6x + 7]/2√2x, x > 0.
3. f(x) = (x + 1)(x³ - 2).            8. f(x) = 2x^1/3 - x^-1/3, x > 0.
4. f(x) =[x⁴ +x - 3]/x³ , x ≠ 0.            9. f(x) = 3sinx + 2x⁵.
5. f(x) = (1 + √x)², x > 0.            10. f(x) = x^4/3 - 5cosx.

11. Докажите, что не существует полинома f, производная которого дается формулой f'(x) = 1/x.

12. Покажите, что $\int \limits_0^x |t| \ dt = \frac{1}{2} x |x|$ для всех действительных х.

13. Покажите, что
$\int \limits_0^x (t + |t|)^2 \ dt = \frac{2x^2}{3} (x + |x|)$ для всех действительных x.

14. Функция f непрерывна везде и удовлетворяет уравнению
$\int \limits_0^x f(t) \ dt = -\frac{1}{2} + x^2 + x\sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x$
для всех x. Вычислите f(π/4) и f'(π/4).

15. Найдите функцию f и значение константы c такие, что
$\int \limits_c^x f(t) \ dt = \cos x - \frac{1}{2}$ для всех действительных x.

16. Найдите функцию f и значение константы c такие, что
$\int \limits_c^x tf(t) \ dt = \sin x - x\cos x - \frac{1}{2}x^2$ для всех действительных x.

17. Пусть функция f непрерывна, определена на всех действительных x, и удовлетворяет уравнению
$\int \limits_0^x f(t) \ dt = \int \limits_x^1 t^2f(t) \ dt + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} +c$
где c - константа. Найдите явную формулу для f (x) и значение константы c.

18. Функция f определена для всех действительных x по формуле
$f(x) = 3 + \int \limits_0^1 \frac{1 + \sin t}{2 + t^2} dt$
Без вычисления интеграла найдите квадратичный полином p(x) = a + bx + cx² такой, что p(0) = f(0), p'(0) =f'(0), и p''(0) =f''(0).

19. Дана функция g непрерывная везде и такая, что g( 1) = 5 и $\int \limits_0^1 g(t) \ dt = 2$. Пусть f(x) = $\frac{1}{2} \int \limits_0^x (x-t)^2 g(t) \ dt$. Докажите,что
$f'(x) = x \int \limits_0^x g(t) \ dt - \int \limits_0^x tg(t) \ dt$
и вычислите f''( 1) и f'''( 1).

20. Без вычисления следующих неопределенных интегралов найдите производную f'(x), если f(x) равна
$\int \limits_0^{x^2} (1+t^2)^{-3} \ dt$.

21. Без вычисления интеграла найдите f'(x), если f задана формулой
$f(X) = \int \limits_{x^3}^{x^2} \frac{t^6}{1+t^4} dt$

22. Вычислите f(2), если f непрерывна и удовлетворяет следующему условию для всех x ≥ 0:
$\int \limits_0^{f(x)} t^2 \ dt = x^2 (1+x)$

23. Основание твердого тела - множество ординат неотрицательной функции f' на интервале [0, a]. Все поперечные сечения, перпендикулярные этому интервалу - квадраты. Объем этого тела равен
a³ - 2acosa + (2 - a²)sina
для любого a ≥ 0. Предположите, что f непрерывна на [0, a], и вычислите f(a).

24. Механизм толкает частицу вдоль прямой линии. Он устроен так, что смещение частицы в момент времени t относительно начальной точки 0 на линии выражается формулой f(t) = t²/2 + 2tsint. Механизм работал идеально до момента времени t = π , когда случилась поломка. После этого частица движется с постоянной скоростью (ее скоростью в момент времени t = π). Вычислите следующее: (a) ее скорость в момент времени t = π; (b) ее ускорение в момент времени t = π/2; (c) ее ускорение в момент времени t = 3π/2; (d) ее перемещение от 0 до t = 5π/2. (e) Найдите то время t > π, когда частица вернется в начальную точку 0, или докажите, что она никогда не вернется в 0.

25. Частица движется вдоль прямой линии. Ее координата задается функцией f(t). Когда 0 ≤ t ≤ 1, ее координата дается интегралом
$f(t) = \int \limits_0^t \frac{1+2\sin XX \cos \pi x}{1+x^2} dx$
(не пытайтесь вычислить этот интеграл.) Когда t ≤ 1,частица движется с постоянным ускорением (ее ускорением на момент времени t = 1). Вычислите следующее: (a) ее ускорение в момент времени t = 2; (b) ее скорость в момент времени t = 1; (c) ее скорость для t > 1; (d) разность f(t) -f(l), когда t > 1.

26. Для каждого варианта найдите функцию f с непрерывной второй производной f'', которая удовлетворяет всем заданным условиям, или покажите, почему такая функция не существует:
(a) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'(1) = 0.
(b) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'( 1) = 3.
(c) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x > 0.
(d) f''(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x < 0.