Взаимосвязь между интегрированием и дифференцированием

Дифференцирование и интегрирование на первый взгляд отвечают на совсем разные вопросы. Производная дает угловой коэффициент касательной к графику в точке, а определенный интеграл — площадь под графиком. Тем не менее эти две операции взаимно обратны, примерно так же, как для положительных чисел взаимно обратны возведение в квадрат и извлечение квадратного корня. Эту связь выражают две основные теоремы математического анализа, и именно она позволяет вычислять большинство интегралов: вместо предела интегральных сумм достаточно найти функцию, производная которой равна подынтегральной функции.

Начнем с примера. Возьмем ${f(t)=t^2}$ и проинтегрируем ее от $0$ до переменного верхнего предела $x.$ По определению интеграла как предела интегральных сумм (см. Определенные интегралы) получаем

$$\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}.$$

Это новая функция от $x,$ и ее производная ${\left(\frac{x^3}{3}\right)'=x^2}$ — в точности та функция, с которой мы начали. Если проинтегрировать $f,$ а затем продифференцировать результат, снова получится $f.$ Ниже мы покажем, что это не случайность.

На этой странице: Переменный верхний предел · Производная интеграла · Теорема о нулевой производной · Первообразная · Формула Ньютона–Лейбница · Примеры · Производная и свойства функции · Упражнения

Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a;\,b]$ и $c$ — фиксированная точка этого отрезка. Для каждого $x$ из $[a;\,b]$ положим

$$A(x)=\int_c^x f(t)\,dt.$$

Если ${f\ge0}$ и ${x\gt c},$ то $A(x)$ — это площадь фигуры под графиком $f$ между $c$ и $x.$ При движении точки $x$ площадь меняется, поэтому $A$ — функция верхнего предела. Ее называют интегралом с переменным верхним пределом.

• Буква $t$ — лишь переменная интегрирования. Вместо нее можно взять любую другую букву, кроме $x\text{:}$ она уже обозначает верхний предел.

• ${A(c)=0},$ а при ${x\lt c}$ интеграл понимается как ${-\int_x^c f(t)\,dt}.$

• Если взять другую начальную точку, $A$ изменится лишь на постоянную: ${\int_{c_1}^x f(t)\,dt}={\int_{c_1}^{c_2}f(t)\,dt}+{\int_{c_2}^x f(t)\,dt},$ и первый интеграл в правой части не зависит от $x.$

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу

Иначе говоря, ${\frac{d}{dx}\int_c^x f(t)\,dt=f(x)}\text{:}$ производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе. Если $f$ непрерывна на всем отрезке, равенство верно в каждой его внутренней точке. То же верно и на интервале $I\text{:}$ каждая его точка — внутренняя точка некоторого отрезка ${[a;\,b]\subset I},$ содержащего и $c.$ Значит, каждая функция, непрерывная на интервале, является на нем производной некоторой функции.

Почему теорема верна

Возьмем малое ${h\gt0}.$ Разность ${A(x+h)-A(x)}$ — это площадь от $c$ до ${x+h}$ минус площадь от $c$ до $x,$ то есть площадь узкой полоски между $x$ и ${x+h}\text{:}$

$$A(x+h)-A(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

Ширина полоски равна $h,$ а при малом $h$ ее высота почти не отличается от $f(x).$ Поэтому полоска почти совпадает с прямоугольником площади ${h\,f(x)},$ и

$$\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\approx f(x).$$

Чем меньше $h,$ тем точнее это приближение. В пределе разностное отношение слева становится производной $A'(x),$ а приближенное равенство — точным: ${A'(x)=f(x)}.$

Если $f$ непрерывна на ${[x;\,x+h]},$ теорема о среднем для интегралов делает это рассуждение точным: площадь полоски равна ${h\,f(z)}$ для некоторой точки $z$ между $x$ и ${x+h}.$ При ${h\to0}$ точка $z$ стремится к $x,$ и ${f(z)\to f(x)},$ так как $f$ непрерывна.

Доказательство

Рисунок предполагает, что $f$ непрерывна в окрестности точки $x,$ а теорема требует непрерывности только в самой точке $x.$ Приведем доказательство, которое не использует ничего сверх этого.

Зафиксируем точку $x$ интервала $(a;\,b),$ в которой $f$ непрерывна, и возьмем ${h\ne0}$ настолько малым, чтобы ${x+h}$ тоже лежало в $[a;\,b].$ Как и выше, ${A(x+h)-A(x)}={\int_x^{x+h}f(t)\,dt}.$ Число $f(x)$ постоянно, поэтому ${\int_x^{x+h}f(x)\,dt=h\,f(x)},$ и, следовательно,

${\frac{A(x+h)-A(x)}{h}}-{f(x)}={{\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t)-f(x)\big)\,dt}.}$

Покажем, что правая часть стремится к $0.$ Пусть ${\varepsilon\gt0}.$ Так как $f$ непрерывна в точке $x,$ существует ${\delta\gt0}$ такое, что ${\lvert f(t)-f(x)\rvert\lt\varepsilon}$ для всех $t$ из $[a;\,b]$ с ${\lvert t-x\rvert\lt\delta}.$ Возьмем ${0\lt\lvert h\rvert\lt\delta}.$ Каждое $t$ между $x$ и ${x+h}$ находится от $x$ на расстоянии, меньшем $\delta,$ поэтому подынтегральная функция по модулю меньше $\varepsilon$ на промежутке длины $\lvert h\rvert,$ и

${\left\lvert\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t)-f(x)\big)\,dt\right\rvert}\le{\frac{1}{\lvert h\rvert}\cdot\varepsilon\,\lvert h\rvert}={{\varepsilon}.}$

(При ${h\lt0}$ интеграл берется справа налево, что меняет только его знак, поэтому оценка та же.) Итак, при ${0\lt\lvert h\rvert\lt\delta}$ разностное отношение отличается от $f(x)$ не больше чем на $\varepsilon.$ Поскольку $\varepsilon$ произвольно,

${A'(x)}={\lim_{h\to0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}}={{f(x)}.}$

Примеры

Пример 1. ${\frac{d}{dx}\int_1^x(t^3+1)\,dt}={x^3+1}.$ Нижний предел роли не играет: производная равна подынтегральной функции, в которой $t$ заменено на $x.$ Результат можно проверить: по формуле Ньютона–Лейбница (она доказана ниже) ${\int_1^x(t^3+1)\,dt}={\frac{x^4}{4}+x-\frac{5}{4}},$ а производная этого выражения равна ${x^3+1}.$

Пример 2. ${\frac{d}{dx}\int_0^x\sin(t^2)\,dt=\sin(x^2)}.$ Интеграл ${\int_0^x\sin(t^2)\,dt}$ не выражается через элементарные функции (степени, корни, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их комбинации), а его производная очень проста. Более того, интегралы с переменным верхним пределом позволяют определять новые функции, а теорема сразу дает их производные. Например, натуральный логарифм можно определить равенством ${\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}}$ при ${x\gt0},$ и тогда сразу ${(\ln x)'=\frac{1}{x}}.$

Пример 3 (переменный нижний предел). Если поменять пределы местами, интеграл меняет знак: ${\int_x^2e^{t^2}\,dt=-\int_2^xe^{t^2}\,dt}.$ Поэтому

$$\frac{d}{dx}\int_x^2e^{t^2}\,dt=-e^{x^2}.$$

Пример 4 (функция в верхнем пределе). Найдите производную функции ${F(x)=\int_0^{x^2}\sqrt{1+t^3}\,dt}.$

Пусть ${G(u)=\int_0^u\sqrt{1+t^3}\,dt}.$ Тогда ${F(x)=G(x^2)}$ и ${G'(u)=\sqrt{1+u^3}},$ поэтому по правилу дифференцирования сложной функции

${F'(x)}={G'(x^2)\cdot(x^2)'}={{2x\sqrt{1+x^6}}.}$

Вместе эти два случая дают общее правило. Если $f$ непрерывна на промежутке, содержащем все значения $u$ и $v,$ а $u$ и $v$ дифференцируемы, то

Чтобы это увидеть, разбейте интеграл фиксированной точкой $c$ на два и примените к ним примеры 3 и 4.

Пример 5. Здесь ${u(x)=2x}$ и ${v(x)=x^2}\text{:}$

${\frac{d}{dx}\int_{2x}^{x^2}\frac{dt}{1+t^2}}={\frac{1}{1+x^4}\cdot2x}-{\frac{1}{1+4x^2}\cdot2}={{\frac{2x}{1+x^4}-\frac{2}{1+4x^2}}.}$

Если подынтегральная функция имеет скачок

Условие непрерывности $f$ в точке $x$ отбросить нельзя. Пусть ${f(t)=1}$ при ${t\lt0}$ и ${f(t)=2}$ при ${t\ge0},$ а ${A(x)=\int_0^x f(t)\,dt}.$ Тогда ${A(x)=x}$ при ${x\le0}$ и ${A(x)=2x}$ при ${x\ge0}.$

Функция $A$ непрерывна всюду, и ${A'(x)=f(x)}$ в каждой точке ${x\ne0}.$ В точке ${x=0},$ где $f$ имеет скачок, график $A$ имеет излом: слева угловой коэффициент равен $1,$ справа — $2,$ поэтому $A'(0)$ не существует. Интегрирование делает функцию более гладкой: там, где $f$ делает скачок, у $A$ лишь излом.

Теорема о нулевой производной

Если функция постоянна на интервале, то ее производная там равна $0\text{:}$ каждое разностное отношение ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ равно $0.$ Верно и обратное, и именно это утверждение — ключ к формуле Ньютона–Лейбница.

Доказательство. Возьмем любые две точки ${x_1\lt x_2}$ из $I.$ Функция $f$ дифференцируема, а значит, и непрерывна на ${[x_1;\,x_2]}.$ По теореме Лагранжа (о конечных приращениях) существует точка $\xi$ между $x_1$ и $x_2$ такая, что

${f(x_2)-f(x_1)}={f'(\xi)\,(x_2-x_1)}={{0}.}$

Значит, ${f(x_1)=f(x_2)}$ для любых двух точек из $I,$ то есть $f$ постоянна.

Слово интервал здесь существенно. Функция ${g(x)=\frac{\lvert x\rvert}{x}}$ определена при ${x\ne0},$ и ${g'(x)=0}$ везде, где она определена, но $g$ не постоянна: она равна $-1$ при ${x\lt0}$ и $1$ при ${x\gt0}.$ Ее область определения состоит из двух интервалов, и теорема утверждает лишь, что $g$ постоянна на каждом из них.

Первообразная и формула Ньютона–Лейбница

Определение первообразной

Например, $\sin x$ — первообразная функции $\cos x$ на всей числовой прямой, так как ${(\sin x)'=\cos x}.$ Функция ${\frac{x^3}{3}}$ — первообразная для $x^2,$ как и функции ${\frac{x^3}{3}+5}$ и ${\frac{x^3}{3}-\sqrt{2}}\text{:}$ прибавление постоянной не меняет производную. Поэтому говорят о какой-нибудь первообразной, а не о единственной. Других различий между первообразными нет:

Доказательство. ${(P+C)'=P'=f},$ поэтому каждая функция ${P+C}$ — первообразная для $f.$ Обратно, если $Q$ — любая первообразная $f$ на $I,$ то ${(Q-P)'=f-f=0}$ на $I,$ и по теореме о нулевой производной ${Q-P}$ — постоянная $C.$

Геометрически графики первообразных функции $f$ получаются друг из друга сдвигом вверх или вниз. Над каждой точкой $x$ касательные ко всем этим графикам имеют один и тот же угловой коэффициент $f(x).$ На рисунке ${f(x)=x^2-1},$ и при ${x=1{,}5}$ угловой коэффициент касательной к каждой кривой равен ${f(1{,}5)=1{,}25}.$

Семейство всех первообразных функции $f$ записывают знаком интеграла без пределов, ${\int f(x)\,dx=P(x)+C},$ и называют неопределенным интегралом функции $f.$ Подробнее об этой записи — на странице Интегралы - 2, а большой список формул — в разделе Интегралы - формулы.

У каждой ли функции есть первообразная? У каждой непрерывной — есть: по теореме о производной интеграла одной из них является ${A(x)=\int_c^x f(t)\,dt}.$ Но первообразная есть не у каждой функции. У функции со скачком из примера выше ее нет на всей прямой. По теореме о нулевой производной первообразная имела бы вид ${x+C_1}$ при ${x\lt0}$ и ${2x+C_2}$ при ${x\gt0}.$ В точке $0$ она должна быть непрерывна, поэтому ${C_1=C_2},$ но тогда в точке $0$ у нее излом, и производной там нет.

Формула Ньютона–Лейбница (вторая основная теорема анализа)

Доказательство. Пусть ${A(x)=\int_c^x f(t)\,dt}.$ Так как $f$ непрерывна в каждой точке $I,$ по теореме о производной интеграла ${A'(x)=f(x)}$ на $I,$ то есть $A$ — первообразная $f.$ Две первообразные одной функции отличаются на постоянную, поэтому ${A(x)=P(x)+k}$ для некоторого числа $k.$ При ${x=c}$ получаем ${0=A(c)=P(c)+k},$ откуда ${k=-P(c)}$ и ${A(x)=P(x)-P(c)}.$

При ${c=a}$ и ${x=b}$ это и есть формула, по которой вычисляют определенные интегралы, — формула Ньютона–Лейбница. Если $f$ непрерывна на интервале, содержащем ${[a;\,b]},$ и $P$ — ее первообразная на этом интервале, то

Скобка ${\Bigl[P(x)\Bigr]_a^b},$ которую также пишут как ${P(x)\Big\vert_a^b},$ — краткая запись разности ${P(b)-P(a)}.$ Любая первообразная дает один и тот же результат, так как постоянная сокращается: ${\big(P(b)+C\big)}-{\big(P(a)+C\big)}={P(b)-P(a)}.$

Теорема сводит трудную задачу к гораздо более простой. Вместо предела интегральных сумм нужна функция с заданной производной, а каждая формула дифференцирования, прочитанная справа налево, дает такую функцию.

Непрерывность важна. Подынтегральная функция должна быть непрерывна на всем отрезке интегрирования. Например, ${\left(-\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{x^2}},$ но формула дала бы ${\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}}={\Bigl[-\frac{1}{x}\Bigr]_{-1}^1}={-2}$ — отрицательное число как интеграл от положительной функции. Формула здесь неприменима: функция ${\frac{1}{x^2}}$ даже не определена в точке ${x=0},$ которая лежит на отрезке ${[-1;\,1]}.$ (Это несобственный интеграл, и он расходится.)

Примеры вычисления интегралов

Пример 1. Функция ${\frac{x^3}{3}}$ — первообразная для $x^2,$ поэтому

${\int_0^1x^2\,dx}={\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_0^1}={\frac{1}{3}-0}={{\frac{1}{3}}.}$

Пример 2. ${x^3-2x^2+5x}$ — первообразная для ${3x^2-4x+5},$ поэтому

${\int_1^2(3x^2-4x+5)\,dx}={\Bigl[x^3-2x^2+5x\Bigr]_1^2}={(8-8+10)}-{(1-2+5)}={{6}.}$

Пример 3. Запишем корень как степень с отрицательным показателем:

${\int_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}}}={\int_1^4x^{-1/2}\,dx}={\Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]_1^4}={4-2}={{2}.}$

Пример 4. Так как ${(-\cos x)'=\sin x},$

${\int_0^\pi\sin x\,dx}={\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^\pi}={-\cos\pi+\cos0}={1+1}={{2}.}$

Площадь под одной «аркой» синусоиды равна ровно $2.$

Пример 5. Так как ${(\arctg x)'=\frac{1}{1+x^2}},$

${\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}}={\Bigl[\arctg x\Bigr]_0^1}={\frac{\pi}{4}-0}={{\frac{\pi}{4}}.}$

Пример 6. Так как ${(\ln x)'=\frac{1}{x}}$ при ${x\gt0},$

${\int_1^e\frac{dx}{x}}={\Bigl[\ln x\Bigr]_1^e}={1-0}={{1}.}$

Пример 7 (подынтегральная функция задана двумя формулами). Найдите ${\int_{-1}^2\lvert x\rvert\,dx}.$ При ${x\lt0}$ имеем ${\lvert x\rvert=-x},$ а при ${x\ge0}$ имеем ${\lvert x\rvert=x},$ поэтому разобьем интеграл точкой $0\text{:}$

${\int_{-1}^0(-x)\,dx+\int_0^2x\,dx}={\Bigl[-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^0}+{\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_0^2}={\frac{1}{2}+2}={{\frac{5}{2}}.}$

Можно и иначе: ${P(x)=\frac{x\lvert x\rvert}{2}}$ — первообразная функции ${\lvert x\rvert}$ на всей прямой (проверьте производную отдельно при ${x\gt0},$ при ${x\lt0}$ и, по определению, в точке ${x=0}$), и ${P(2)-P(-1)}={2-\left(-\frac{1}{2}\right)}={\frac{5}{2}}.$

Основные первообразные

Каждая строка этой таблицы — формула дифференцирования, прочитанная справа налево. Любую строку можно проверить, продифференцировав правый столбец.

Функция $f(x)$	Первообразная $P(x)$
$x^n,$ ${n\ne-1}$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
$\frac{1}{\cos^2x}$	$\tg x$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctg x$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x$

Каждая формула верна на любом интервале (открытом промежутке), где $f$ непрерывна: например, ${\frac{1}{x}}$ — на ${(0;\,+\infty)}$ или на ${(-\infty;\,0)},$ но не на интервале, содержащем $0.$ При нецелом $n$ степень $x^n$ рассматривается при ${x\gt0}.$ Поэтому при ${0\lt a\lt b}$

${\int_a^bx^n\,dx=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}}$  для любого ${n\ne-1},$   и   ${\int_a^b\frac{dx}{x}=\ln\frac{b}{a}}.$

Свойства функции, которые следуют из свойств ее производной

Если $f$ имеет непрерывную производную на интервале $I,$ то $f$ — первообразная для $f',$ и формула Ньютона–Лейбница дает для любых $c$ и $x$ из $I$

$$f(x)=f(c)+\int_c^x f'(t)\,dt.$$

Значение функции в точке $x$ равно ее значению в точке $c$ плюс изменение, накопленное между $c$ и $x.$ В физике: если $s(t)$ — координата движущегося тела, а ${v(t)=s'(t)}$ — его скорость, то ${s(t)}={s(0)+\int_0^t v(\tau)\,d\tau},$ то есть перемещение равно интегралу от скорости. Эта формула позволяет узнавать свойства $f$ по свойствам $f'.$

1. Знак производной. Если ${f'(t)\ge0}$ на $I,$ то при ${x\gt c}$ интеграл ${\int_c^x f'(t)\,dt}$ неотрицателен, поэтому ${f(x)\ge f(c)}\text{:}$ функция не убывает на $I.$ Если ${f'(t)\gt0}$ на $I,$ интеграл положителен, и $f$ строго возрастает. Точно так же из ${f'\le0}$ следует, что $f$ не возрастает.

Например, у функции ${f(x)=x+\sin x}$ производная ${f'(x)=1+\cos x\ge0},$ поэтому она не убывает на всей числовой прямой. Более того, она строго возрастает. Если бы ${f(x)=f(c)}$ при некотором ${x\gt c},$ то неубывающая функция $f$ была бы постоянной на ${[c;\,x]},$ и тогда ${f'=0}$ на всем ${[c;\,x]}.$ Но ${1+\cos t=0}$ лишь в изолированных точках ${t=\pi+2k\pi}.$

2. Оценка производной дает оценку изменения функции. Если ${\lvert f'(t)\rvert\le M}$ на $I,$ то

${\lvert f(x)-f(c)\rvert}={\left\lvert\int_c^x f'(t)\,dt\right\rvert}\le{{M\,\lvert x-c\rvert}.}$

Например, из ${\lvert\cos t\rvert\le1}$ следует ${\lvert\sin x-\sin c\rvert\le\lvert x-c\rvert}$ для всех действительных $x$ и $c.$

3. Если производная не убывает, функция выпукла вниз. Если $f'$ не убывает на $I,$ то $f$ выпукла вниз на $I\text{:}$ ее график изгибается вверх. Возьмем три точки ${x_1\lt x_2\lt x_3}$ из $I.$ Угловой коэффициент хорды над ${[x_1;\,x_2]}$ равен

${\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}={{\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt},}$

то есть среднему значению $f'$ на ${[x_1;\,x_2]}.$ Так как $f'$ не убывает, это среднее не больше ${f'(x_2)},$ а среднее по ${[x_2;\,x_3]}$ не меньше ${f'(x_2)}.$ Значит, угловой коэффициент хорды над ${[x_1;\,x_2]}$ не больше углового коэффициента хорды над ${[x_2;\,x_3]}.$ Это означает, что точка ${(x_2;\,f(x_2))}$ лежит на хорде, соединяющей точки ${(x_1;\,f(x_1))}$ и ${(x_3;\,f(x_3))},$ или ниже нее, а это и есть определение выпуклости вниз. Точно так же, если $f'$ не возрастает, то $f$ выпукла вверх. Например, производная функции $e^x$ равна $e^x$ и возрастает, поэтому $e^x$ выпукла вниз.

Упражнения

1. Найдите первообразную функции ${f(x)=6x^2-4x+3}$ и с ее помощью вычислите ${\int_0^2f(x)\,dx}.$

${P(x)=2x^3-2x^2+3x}$ — первообразная, так как ${P'(x)=6x^2-4x+3}.$ Тогда ${\int_0^2f(x)\,dx}={P(2)-P(0)}={16-8+6}={{14}.}$ Ответ: $14.$

2. Вычислите ${\int_1^8\sqrt[3]{x}\,dx}.$

${\sqrt[3]{x}=x^{1/3}},$ первообразная — ${\frac{3}{4}x^{4/3}}.$ Так как ${8^{4/3}=16},$ интеграл равен ${\frac{3}{4}(16-1)}={\frac{45}{4}}.$ Ответ: $\frac{45}{4}.$

3. Вычислите ${\int_1^4\left(1+\sqrt{x}\right)^2dx}.$

${\left(1+\sqrt{x}\right)^2=1+2x^{1/2}+x},$ первообразная — ${x+\frac{4}{3}x^{3/2}+\frac{x^2}{2}}.$ Ее значение при $4$ равно ${4+\frac{32}{3}+8=\frac{68}{3}},$ при $1$ равно ${1+\frac{4}{3}+\frac{1}{2}=\frac{17}{6}},$ и ${\frac{68}{3}-\frac{17}{6}=\frac{119}{6}}.$ Ответ: $\frac{119}{6}.$

4. Вычислите ${\int_1^2\frac{x^3+x-3}{x^3}\,dx}.$

Разделим почленно: ${\frac{x^3+x-3}{x^3}}={1+x^{-2}-3x^{-3}}.$ Первообразная — ${x-\frac{1}{x}+\frac{3}{2x^2}}.$ Ее значение при $2$ равно ${2-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{15}{8}},$ при $1$ равно ${\frac{3}{2}},$ и ${\frac{15}{8}-\frac{3}{2}=\frac{3}{8}}.$ Ответ: $\frac{3}{8}.$

5. Вычислите ${\int_0^{\pi/2}(3\sin x+2\cos x)\,dx}.$

${\Bigl[-3\cos x+2\sin x\Bigr]_0^{\pi/2}}={(0+2)-(-3+0)}={{5}.}$ Ответ: $5.$

6. Вычислите ${\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x}}.$

${\Bigl[\tg x\Bigr]_0^{\pi/4}}={1-0}={1}.$ Ответ: $1.$

7. Вычислите ${\int_{-1}^3\lvert x-1\rvert\,dx}.$

Разобьем интеграл точкой ${x=1}\text{:}$ ${\int_{-1}^1(1-x)\,dx}={\Bigl[x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^1}={\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}={2}$ и ${\int_1^3(x-1)\,dx}={\Bigl[\frac{x^2}{2}-x\Bigr]_1^3}={\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)}={2}.$ Ответ: $4$ (площадь двух треугольников с основанием $2$ и высотой $2$).

8. Найдите $F'(x),$ если ${F(x)=\int_2^x\sqrt{1+t^4}\,dt}.$

По теореме о производной интеграла по верхнему пределу ${F'(x)=\sqrt{1+x^4}}.$

9. Найдите $F'(x),$ если ${F(x)=\int_0^{x^3}\cos(t^2)\,dt}.$

По правилу дифференцирования сложной функции ${F'(x)}={\cos\big((x^3)^2\big)\cdot3x^2}={3x^2\cos(x^6)}.$

10. Найдите $F'(x),$ если ${F(x)=\int_x^{3x}e^{-t^2}\,dt}.$

По правилу дифференцирования интеграла с переменными пределами ${F'(x)}={e^{-9x^2}\cdot3-e^{-x^2}\cdot1}={3e^{-9x^2}-e^{-x^2}}.$

11. Найдите непрерывную функцию $f$ и все постоянные $c$ такие, что ${\int_c^x f(t)\,dt=x^2-4}$ для всех $x.$

Дифференцируя обе части, получаем ${f(x)=2x}.$ При ${x=c}$ левая часть равна $0,$ поэтому ${c^2-4=0}.$ Ответ: ${f(x)=2x},$ ${c=2}$ или ${c=-2}.$

12. Непрерывная функция $f$ удовлетворяет равенству ${\int_0^x f(t)\,dt=x^2\sin\pi x}$ для всех $x.$ Найдите ${f\left(\frac{1}{2}\right)}$ и ${f'\left(\frac{1}{2}\right)}.$

Продифференцируем: ${f(x)}={{2x\sin\pi x+\pi x^2\cos\pi x},}$ поэтому ${f\left(\frac{1}{2}\right)=1+0=1}.$ Продифференцируем еще раз: ${f'(x)}={2\sin\pi x}+{4\pi x\cos\pi x-\pi^2x^2\sin\pi x},$ поэтому ${f'\left(\frac{1}{2}\right)=2-\frac{\pi^2}{4}}.$

13. Непрерывная функция $f$ удовлетворяет равенству ${\int_0^{f(x)}t^2\,dt=x^3+7x}$ для всех ${x\ge0}.$ Найдите $f(1).$

Левая часть равна ${\frac{f(x)^3}{3}},$ поэтому ${f(x)^3=3x^3+21x}.$ При ${x=1}\text{:}$ ${f(1)^3=24}.$ Ответ: ${f(1)=\sqrt[3]{24}=2\sqrt[3]{3}}.$

14. Точка движется по прямой со скоростью ${v(t)=t^2-4t+3}$ (м/с). Найдите ее перемещение от ${t=0}$ до ${t=3}$ и весь путь, пройденный за это время.

Перемещение равно ${\int_0^3v(t)\,dt}={\Bigl[\frac{t^3}{3}-2t^2+3t\Bigr]_0^3}={9-18+9}={{0}\text{:}}$ точка вернулась в начальное положение. Так как ${v(t)=(t-1)(t-3)},$ она движется вперед при ${0\lt t\lt1}$ и назад при ${1\lt t\lt3}\text{:}$ ${\int_0^1v(t)\,dt=\frac{4}{3}}$ и ${\int_1^3v(t)\,dt=-\frac{4}{3}}.$ Ответ: перемещение равно $0,$ путь равен ${\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}}$ м.

15. Пусть ${f(x)=2+\int_0^x\frac{e^t}{1+t^2}\,dt}.$ Не вычисляя интеграл, найдите квадратный многочлен ${p(x)=a+bx+cx^2}$ такой, что ${p(0)=f(0)},$ ${p'(0)=f'(0)}$ и ${p''(0)=f''(0)}.$

${f(0)=2}.$ ${f'(x)=\frac{e^x}{1+x^2}},$ поэтому ${f'(0)=1}.$ ${f''(x)}={\frac{e^x(1+x^2)-e^x\cdot2x}{(1+x^2)^2}}={\frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}},$ поэтому ${f''(0)=1}.$ Так как ${p(0)=a},$ ${p'(0)=b}$ и ${p''(0)=2c},$ получаем ${a=2},$ ${b=1},$ ${c=\frac{1}{2}}.$ Ответ: ${p(x)=2+x+\frac{x^2}{2}}.$

16. Докажите, что ${\ln(1+x)\le x}$ для всех ${x\ge0}.$

Пусть ${g(x)=x-\ln(1+x)}.$ Тогда ${g(0)=0}$ и ${g'(t)}={1-\frac{1}{1+t}}={\frac{t}{1+t}}\ge{0}$ при ${t\ge0},$ поэтому ${g(x)}={g(0)+\int_0^xg'(t)\,dt}\ge{0}$ при ${x\ge0},$ а это и есть нужное неравенство.

17. Докажите, что никакой многочлен не является первообразной функции ${\frac{1}{x}}$ на ${(0;\,+\infty)}.$

Пусть ${p'(x)=\frac{1}{x}}$ при всех ${x\gt0}$ для некоторого многочлена $p.$ Тогда ${x\,p'(x)-1=0}$ при всех ${x\gt0}.$ Левая часть — многочлен с бесконечно многими корнями, значит, это нулевой многочлен, и ${x\,p'(x)=1}$ при всех $x.$ Но при ${x=0}$ левая часть равна $0$ — противоречие.

18. Существует ли функция $f$ с непрерывной второй производной такая, что ${f''(x)\gt0}$ для всех $x,$ ${f'(0)=1}$ и ${f'(1)=0}?$

Нет. По формуле Ньютона–Лейбница для $f'$ имеем ${f'(1)-f'(0)}={\int_0^1f''(t)\,dt}\gt{0},$ поэтому ${f'(1)\gt f'(0)=1},$ и $f'(1)$ не может быть равно $0.$

См. также: Интегралы - 2 · Определенные интегралы · Интегралы - формулы · Пошаговый решатель интегралов