Решение систем линейных уравнений

Каталин Дэвид

Системы линейных уравнений имеют следующий общий вид:

$ \begin{cases} a_{1,1}\cdot x_{1} + a_{1,2}\cdot x_{2} + a_{1,3}\cdot x_{3} + \cdots a_{1,n} \cdot x_{n} =b_{1} \\ a_{2,1}\cdot x_{1} + a_{2,2}\cdot x_{2}+ a_{2,3}\cdot x_{3} + \cdots + a_{2,n}\cdot x_{n} = b_{2} \\ a_{3,1}\cdot x_{1} + a_{3,2}\cdot x_{2}+a_{3,3}\cdot x_{3}+ \cdots + a_{3,n}\cdot x_{n}=b_{3} \\ \cdots\\ a_{m,1}\cdot x_{1}+ a_{m,2}\cdot x_{2}+a_{m,3}\cdot x_{3}+\cdots + a_{m,n}\cdot x_{n} =b_{n} \end{cases}$

$ A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & . & . & a_{m,n} \end{pmatrix}$ - матрица системы, а $b_{1}, b_{2},b_{3} \cdots b_{n}$ - свободные члены системы.

Если все свободные члены равны 0, то система однородна.

Матрица системы - квадратная (m=n)

Надо вычислить определитель матрицы системы.

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Определитель матрицы системы не равен 0

Система называется невырожденной системой с единственным решением. Чтобы найти решение системы, используем метод Крамера.

Вычислим $ \Delta_{x_{1}}$ - определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_{1}$ столбцом свободных членов.
$\Delta_{x_{1}}= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ b_{2} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ b_{3} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ b_{n} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Получаем $ x_{1} = \dfrac{\Delta_{x_{1}}}{\Delta}$

Вычислим $ \Delta_{x_{2}}$ - определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_{2}$ столбцом свободных членов.
$\Delta_{x_{2}}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & b_{1} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & b_{2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & b_{3} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & b_{n} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Получаем $ x_{2} = \dfrac{\Delta_{x_{2}}}{\Delta}$

Вычислим $ \Delta_{x_{3}}$ - определитель матрицы, полученной заменой столбца с коэффициентами соответствующей переменной $x_{3}$ столбцом свободных членов.
$\Delta_{x_{3}}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & b_{1} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & b_{2} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & b_{3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Получаем $ x_{3} = \dfrac{\Delta_{x_{3}}}{\Delta}$

Продолжаем делать это с остальными переменными, и в конце-концов записываем решение системы.
$x_{n}=\dfrac{\Delta_{x_{n}}}{\Delta}$

Пример 53
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{-7}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{-9}\\ 4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{17} \end{cases}$

Матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5\\ -3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65$
Вычисляем $ \Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{-7} & 3 & -5\\ \color{red}{-9} & 2 & 1\\ \color{red}{17} & -1 & 2 \end{vmatrix}= -28 - 45 + 51 + 170 - 7 +54 = 195$

Вычисляем $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{-7} & -5\\ -3 & \color{red}{-9} & 1\\ 4 & \color{red}{17} & 2 \end{vmatrix}=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$

Вычисляем $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{-7}\\ -3 & 2 & \color{red}{-9}\\ 4 & -1 & \color{red}{17} \end{vmatrix}= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$

Решение системы:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{195}{65} = 3$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{65}{65}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{130}{65}= 2$
$S=\{3;-1;2\}$

Пример 54
$\begin{cases} 4\cdot x + 5\cdot y -2\cdot z = \color{red}{3}\\ -2 \cdot x + 3\cdot y - z = \color{red}{-3}\\ -1\cdot x - 2\cdot y + 3\cdot z = \color{red}{-5} \end{cases}$

Матрица системы: $ \begin{pmatrix} 4 & 5 & -2\\ -2 & 3 & -1\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $\Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49$

Вычисляем $ \Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{3} & 5 & -2\\ \color{red}{-3} & 3 &1\\ \color{red}{-5} & -2 & 3 \end{vmatrix}= 27 - 12 + 25 - 30 - 6 + 45 = 49$

Вычисляем $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 4 & \color{red}{3} & -2\\ -2 & \color{red}{-3} & -1\\ -1 & \color{red}{-5} & 3 \end{vmatrix}=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$

Вычисляем $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 4 & 5 & \color{red}{3}\\ -2 & 3 & \color{red}{-3}\\ -1& -2 & \color{red}{-5} \end{vmatrix}= -60 + 12 + 15 + 9 - 24 -50 = - 98$

Решение системы:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{49}{49} = 1$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{-49}{49}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{-98}{4}= -2$
$S=\{1;-1;-2\}$

Если система однородна, то ее решение есть {0;0;0}, потому что в матрицах, определителями которых являются $\Delta_{x}$,$\Delta_{y}$ и $\Delta_{z}$, есть столбцы из одних нулей, следовательно, эти определители равны 0.

Пример 55
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{0}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{0}\\ 4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{0} \end{cases}$

Матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5\\ -3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Вычисляем определитель матрицы и получаем $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $

$\Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{0} & 3 & -5\\ \color{red}{0} & 2 & 1\\ \color{red}{0} & -1 & 2 \end{vmatrix}= 0 $

$\Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{0} & -5\\ -3 & \color{red}{0} & 1\\ 4 & \color{red}{0} & 2 \end{vmatrix}= 0$

$\Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}= 0$

Решение системы:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{0}{65} = 0$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{0}{65}= 0$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{0}{65}= 0$
$S = \{0;0;0\}$

Определитель матрицы системы равен 0.

Вычисляем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы (исходной матрицы, к которой добавлен столбец свободных членов).

Возможны следующие варианты:

• Если ранги этих матриц различны, то система не имеет решения. Это несовместная система.
• Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
  
  Решение системы находится следующим образом:
  
  • Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
  • Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
  • Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
  • Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
  • Записываем решение.

Пример 56
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\ 4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{3} \end{cases}$

Матрица системы:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & 4 & \color{red}{3} \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{vmatrix}=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
$ \Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=\alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$

Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
Решение системы: $\{\alpha-1;1;\alpha \}$

Пример 57
$\begin{cases} 2\cdot x + y +5\cdot z = \color{red}{3}\\ 3 \cdot x + 2\cdot y +2 \cdot z = \color{red}{1}\\ 7\cdot x +y + 12\cdot z = \color{red}{2} \end{cases}$

Матрица системы:
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}= 4 - 3 =1 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}= 48 + 60 + 14 - 70 -16 -36 =0 $ (следовательно, ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & \color{red}{3}\\ 3 & 2 & 2 & \color{red}{1}\\ 7 & 4 & 12 & \color{red}{2} \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}= 4 -3 =1 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & \color{red}{3}\\ 3 & 2 & \color{red}{1}\\ 7 & 4 & \color{red}{2} \end{vmatrix}= 8 + 36 + 7 - 42 -8 -6 = -5\neq 0 $

Ранг расширенной матрицы равен 3.

Поскольку ранги этих матриц различны, система не имеет решения. Это несовместная система. Однородная система всегда совместна и имеет бесконечное множество решений, поскольку ранг расширенной матрицы, содержащей столбец из одних нулей, всегда совпадает с рангом матрицы системы.

Пример 58
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{0}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{0}\\ 4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{0} \end{cases}$

Матрица системы:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 = 13 \neq0$

$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{0}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & 4 & \color{red}{0} \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0$

$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}=0 $ (матрица включает столбец из одних нулей, следовательно, ее ранг равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
$\Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=\alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 0\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = 0\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = -6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$13\cdot y = 0 \Rightarrow y = \dfrac{0}{13} = 0$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y =9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha}{-13} = -\alpha$
Решение системы: $ \{-\alpha;0;\alpha \}$

Матрица системы не квадратная $(m\neq n)$

Вычисляем ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы (исходной матрицы, к которой добавлен столбец свободных членов).

Возможны следующие варианты:

• Если ранг этих матриц различен, то система не имеет решения. Это несовместная система.
• Если ранги равны, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
  Решение системы находится следующим образом:
  
  • Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
  • Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными (основными) переменными. Остальные переменные становятся свободными (неосновными), обозначаются другими буквами и переносятся в правую часть уравнений.
  • Уравнения, содержащие базисный минор, становятся базисными уравнениями.
  • Решаем систему, состоящую только из базисных уравнений, и находим решение системы, которое будет зависеть от неосновных переменных.
  • Записываем решение.

Пример 59
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\ \end{cases}$

Матрица системы:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\ \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (ранг также равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.

$ \Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Пусть $z=\alpha$. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.

$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$-13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
Решение системы: $\{\alpha-1;1;\alpha \}$

Пример 60
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = \color{red}{-1}\\ 4\cdot x - y = \color{red}{3} \end{cases}$

Матрица системы:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг матрицы:
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (ранг равен 2)

Расширенная матрица:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{pmatrix}$

Вычисляем ранг расширенной матрицы:
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{vmatrix}=0 $ (матрица имеет два равных столбца, следовательно, ее ранг равен 2)

Поскольку ранги равны, система совместна и имеет бесконечное множество решений. Минор соответствующего ранга становится базисным минором.
$\Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Переменные x и y, коэффициенты при которых входят в базисный минор, становятся базисными переменными, а z становится неосновной переменной. Система не имеет неосновных переменных. Первые два уравнения, в которых находится базисный минор, становятся базисными уравнениями. Решаем систему, состоящую из базисных уравнений.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1\\ \end{cases}$

Умножаем первое уравнение на 3, а второе на 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 \\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Делаем то же самое, чтобы найти x. Умножаем первое уравнение на -2, а второе на 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3\\ \end{cases}$

Складываем два полученные уравнения и получаем:
$ -13\cdot x = -13 \Rightarrow y = \dfrac{-13}{-13} = 1$
Убедимся, что результаты удовлетворяют неосновному уравнению.
$4\cdot1 -1\cdot1 = 3$
Решение системы: $\{1;1 \}$