Задачи на геометрические прогрессии - задачи с решениями

Решение:
Числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 8 и знаменателем [tex]\frac12[/tex].

Решение:
Знаменатель прогрессии равен -2.

Решение:
Согласно определения геометрической прогрессии, [tex]q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3[/tex]

Решение:
По определению геометрической прогрессии мы имеем [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-1}=-5[/tex]

Решение:
[tex]\frac{20}{5}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1q^2}{a_1}=q^2[/tex], поэтому [tex]q^2=4[/tex], что приводит к двум "кандидатам" для for [tex]q[/tex]: [tex]q=2[/tex] или [tex]q=-2[/tex]. Так как [tex]{a_n}[/tex] - увеличивающаяся геометрическая прогрессия, [tex]q>1>0[/tex] и [tex]q=2[/tex] является единственным ответом.

Решение:
[tex]\frac{-40}{5}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1q^3}{a_1}=q^3=-8[/tex], тогда [tex]q=-2[/tex].

Решение:
Так как прогрессия является переменной, мы можем утверждать, что [tex]q<0[/tex]. [tex]a_1q^2=a_3 \leftrightarrow q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{5}{25}[/tex], тогда [tex]q=\frac{1}{5}[/tex] или [tex]q=-\frac{1}{5}[/tex]. Ответ: [tex]-\frac{1}{5}[/tex]

Решение:
[tex]a_4=a_1 \cdot q^3=2 \cdot 3^3=2 \cdot 27=54[/tex]

Решение:
[tex]a_4=a_1 \cdot q^3[/tex], поэтому [tex]a_1=a_4 \cdot q^{-3}=12 \cdot (\frac{1}{3})^{-3}=12 \cdot 3^3=12 \cdot 27=324[/tex]

Решение:
Знаменатель геометрической прогрессии равен [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5}=2[/tex].
[tex]a_6=a_1 \cdot q^5=5 \cdot 2^5=5 \cdot 32=160[/tex]

Решение:
Так как [tex]a_n[/tex] увеличивается, [tex]a_n > a_1 > 0[/tex] для любого [tex]n>1[/tex]. [tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\sqrt{a_5 \cdot a_1}[/tex], или [tex]a_3=\sqrt{2 \cdot 162}=\sqrt{324}=18[/tex]

Решение:
Формула суммы первых n элементов геометрической прогрессии есть [tex]S_n=a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}[/tex]. Подставляя, мы получаем [tex]S_5=2 \cdot \frac{1-3^5}{1-3}=2 \cdot \frac{1-243}{-2}=242[/tex]

Решение:
[tex]S_5=a_1\cdot\frac{1-q^5}{1-q}=\frac{1-5^5}{1-5}=\frac{1-3125}{-4}=\frac{3124}{4}=781[/tex]

Решение:
Мы знаем, что если бесконечная геометрическая прогрессия сходится, сумма ее элементов определяется по формуле [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex]. В нашем случае, [tex]S=1 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/tex]

Решение:
Число мушек по дням образует геометрическую прогрессию со знаменателем [tex]k[/tex]. От [tex]6[/tex]-го до [tex]11[/tex]-го дня пять шагов:
[tex]96k^{5}=3072\Rightarrow k^{5}=32\Rightarrow k=2[/tex]
От [tex]3[/tex]-го до [tex]6[/tex]-го дня три шага, поэтому на третий день было [tex]\dfrac{96}{2^{3}}=12[/tex] мушек.

Решение:
Квадрат среднего члена равен произведению соседних: [tex](x+y)^{2}=2x\cdot 2y=4xy[/tex].
[tex]x^{2}-2xy+y^{2}=0\iff (x-y)^{2}=0\iff x=y[/tex]
Члены равны [tex]2x; 2x; 2x[/tex] при [tex]x\ne 0[/tex], поэтому [tex]q=1[/tex].

Решение:
В геометрической прогрессии [tex]a_{m}a_{n}=a_{k}a_{l}[/tex], если [tex]m+n=k+l[/tex] (оба произведения равны [tex]a_{1}^{2}q^{m+n-2}[/tex]).
[tex]12+38=8+42=25+25\Rightarrow a_{12}a_{38}=a_{8}a_{42}=a_{25}^{2}[/tex]
[tex]a_{25}^{2}+9a_{25}^{2}=10\Rightarrow a_{25}^{2}=1\Rightarrow a_{8}a_{42}=1[/tex]

Решение:
Условие: [tex](x-3)^{2}=2x(x-7)[/tex]:
[tex]x^{2}-6x+9=2x^{2}-14x\iff x^{2}-8x-9=0\iff x=9[/tex] или [tex]x=-1[/tex]
При [tex]x=-1[/tex] получаем числа [tex]-8; -4; -2[/tex] – отрицательные.
При [tex]x=9[/tex] получаем числа [tex]2; 6; 18[/tex] ([tex]q=3[/tex]). Значит, [tex]x=9[/tex].

Решение:
После каждого хода остаётся [tex]\dfrac{9}{10}[/tex] воздуха, поэтому оставшиеся количества образуют геометрическую прогрессию со знаменателем [tex]0{,} 9[/tex].
После [tex]10[/tex] ходов остаётся доля [tex](0{,} 9)^{10}\approx 0{,} 3487[/tex], поэтому насос откачивает
[tex]1-(0{,} 9)^{10}\approx 0{,} 6513\approx 65\%[/tex]

Решение:
Разность равна сумме всех членов начиная с [tex]a_{4}[/tex]: [tex]S-S_{3}=a_{4}+a_{5}+\ldots=\dfrac{a_{4}}{1-q}[/tex].
[tex]a_{4}=\dfrac{a_{1}}{8}; S-S_{3}=\dfrac{a_{1}}{8}\cdot 2=\dfrac{a_{1}}{4}=2\Rightarrow a_{1}=8[/tex]

Решение:
[tex]a_{5}-a_{1}=a_{1}(q^{4}-1)=(q-1)\cdot a_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=(q-1)S_{4}[/tex]
[tex]480=240(q-1)\Rightarrow q=3[/tex]
Проверка: [tex]a_{1}=\dfrac{240}{1+3+9+27}=6; a_{5}-a_{1}=486-6=480[/tex].