Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Умножение до 5
Деление
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Площадь
Периметр
4 класс
Сложение, умножение, деление
Сложение и вычитание до 1000
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Отрицательные числа
Уравнения
Текстовые задачи
Координатная плоскость
7 класс
Уравнения
Многочлены
Свойства треугольников
Упрощение многочленов
Разложиние на множители
Системы
Текстовые задачи
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Конические сечения
Уравнения окружности
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Задачи на геометрические прогрессии
Лёгкий
Средний
Сложный
Задачи на геометрические прогрессии - задачи с решениями
Задача 1
Найдите знаменатель
q
геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=5[/tex], [tex]a_2=15[/tex]
Решение:
Согласно определения геометрической прогрессии, [tex]q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3[/tex]
Задача 2
Найдите знаменатель
q
геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=-1[/tex], [tex]a_2=5[/tex]
Решение:
По определению геометрической прогрессии мы имеем [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-1}=-5[/tex]
Задача 3
Определите знаменатель
q
увеличивающейся геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=5[/tex] и [tex]a_3=20[/tex].
Решение:
[tex]\frac{20}{5}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1q^2}{a_1}=q^2[/tex], поэтому [tex]q^2=4[/tex], что приводит к двум "кандидатам" для for
q
: [tex]q=2[/tex] или [tex]q=-2[/tex]. Так как [tex]{a_n}[/tex] - увеличивающаяся геометрическая прогрессия, [tex]q>1>0[/tex] и [tex]q=2[/tex] является единственным ответом.
Задача 4
Определите знаменатель
q
геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=5[/tex] и [tex]a_4=-40[/tex]
Решение:
[tex]\frac{-40}{5}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1q^3}{a_1}=q^3=-8[/tex], тогда [tex]q=-2[/tex].
Задача 5
Найдите знаменатель
q
переменной геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=125[/tex], [tex]a_2=-25[/tex] и [tex]a_3=5[/tex].
Решение:
Так как прогрессия является переменной, мы можем утверждать, что [tex]q<0[/tex]. [tex]a_1q^2=a_3 \leftrightarrow q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{5}{25}[/tex], тогда [tex]q=\frac{1}{5}[/tex] или [tex]q=-\frac{1}{5}[/tex]. Ответ: -1/5
Задача 6
Найдите четвертый член геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], для которой [tex]a_1=2[/tex] и [tex]q=3[/tex].
Решение:
[tex]a_4=a_1.q^3=2.3^3=2.27=54[/tex]
Задача 7
Пусть [tex]{a_n}[/tex] - геометрическая прогрессия со знаменателем [tex]q=\frac{1}{3}[/tex]. Если [tex]a_4=12[/tex], найдите [tex]a_1[/tex].
Решение:
[tex]a_4=a_1.q^3[/tex], поэтому [tex]a_1=a_4.q^{-3}=12.(\frac{1}{3})^{-3}=12.3^3=12.27=324[/tex]
Задача 8
[tex]{a_n}[/tex] есть геометрической прогрессией . Если [tex]a_1=5[/tex] и [tex]a_2=10[/tex], найдите [tex]a_6[/tex]
Решение:
Знаменатель геометрической прогрессии равен [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5}=2[/tex].
[tex]a_6=a_1.q^5=5.2^5=5.32=160[/tex]
Задача 9
Пусть [tex]{a_n}[/tex] - возрастающая геометрическая прогрессия. Если [tex]a_1=2[/tex] и [tex]a_5=162[/tex], определите [tex]a_3[/tex]
Решение:
Так как [tex]a_n[/tex] увеличивается, [tex]a_n > a_1 > 0[/tex] для любого [tex]n>1[/tex]. [tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\sqrt{a_5.a_1}[/tex], или [tex]a_3=\sqrt{2.162}=\sqrt{324}=18[/tex]
Задача 10
Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть геометрической прогрессией, такой что [tex]a_1=2[/tex] и [tex]q=3[/tex]. Найдите сумму первых пяти элементов.
Решение:
Формула суммы первых n элементов геометрической прогрессии есть [tex]S_n=a_1.\frac{q^n-1}{q-1}[/tex]. Подставляя, мы получаем [tex]S_5=2.\frac{3^5-1}{3-1}=2.\frac{243-1}{2}=242[/tex]
Задача 11
Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть геометрическая прогрессия, определенная [tex]a_1=1[/tex] и [tex]q=5[/tex]. Найдите сумму [tex]a_1+a_2+a_3+a_4+a_5[/tex]
Решение:
[tex]S_5=a_1.\frac{q^5-1}{q-1}=\frac{5^5-1}{5-1}=\frac{3125-1}{4}=\frac{3124}{4}=781[/tex]
Задача 12
Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], определенной [tex]a_1=1[/tex] и [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]
Решение:
Мы знаем, что если бесконечная геометрическая прогрессия сходится, сумма ее элементов определяется по формуле [tex]S=a_1.\frac{1}{1-q}[/tex]. В нашем случае, [tex]S=1.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/tex]
Лёгкий
Средний
Сложный
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
Об авторе
© 2005 - 2024 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.