Задачи на геометрические прогрессии - задачи с решениями

Решение:
Числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 8 и знаменателем [tex]\frac12[/tex].

Решение:
Знаменатель прогрессии равен -2.

Решение:
Согласно определения геометрической прогрессии, [tex]q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3[/tex]

Решение:
По определению геометрической прогрессии мы имеем [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-1}=-5[/tex]

Решение:
[tex]\frac{20}{5}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1q^2}{a_1}=q^2[/tex], поэтому [tex]q^2=4[/tex], что приводит к двум "кандидатам" для for q: [tex]q=2[/tex] или [tex]q=-2[/tex]. Так как [tex]{a_n}[/tex] - увеличивающаяся геометрическая прогрессия, [tex]q>1>0[/tex] и [tex]q=2[/tex] является единственным ответом.

Решение:
[tex]\frac{-40}{5}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1q^3}{a_1}=q^3=-8[/tex], тогда [tex]q=-2[/tex].

Решение:
Так как прогрессия является переменной, мы можем утверждать, что [tex]q<0[/tex]. [tex]a_1q^2=a_3 \leftrightarrow q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{5}{25}[/tex], тогда [tex]q=\frac{1}{5}[/tex] или [tex]q=-\frac{1}{5}[/tex]. Ответ: [tex]-\frac{1}{5}[/tex]

Решение:
[tex]a_4=a_1.q^3=2.3^3=2.27=54[/tex]

Решение:
[tex]a_4=a_1.q^3[/tex], поэтому [tex]a_1=a_4.q^{-3}=12.(\frac{1}{3})^{-3}=12.3^3=12.27=324[/tex]

Решение:
Знаменатель геометрической прогрессии равен [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5}=2[/tex].
[tex]a_6=a_1.q^5=5.2^5=5.32=160[/tex]

Решение:
Так как [tex]a_n[/tex] увеличивается, [tex]a_n > a_1 > 0[/tex] для любого [tex]n>1[/tex]. [tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\sqrt{a_5.a_1}[/tex], или [tex]a_3=\sqrt{2.162}=\sqrt{324}=18[/tex]

Решение:
Формула суммы первых n элементов геометрической прогрессии есть [tex]S_n=a_1.\frac{1-q^n}{1-q}[/tex]. Подставляя, мы получаем [tex]S_5=2.\frac{1-3^5}{1-3}=2.\frac{1-243}{-2}=242[/tex]

Решение:
[tex]S_5=a_1\cdot\frac{1-q^5}{1-q}=\frac{1-5^5}{1-5}=\frac{1-3125}{-4}=\frac{3124}{4}=781[/tex]

Решение:
Мы знаем, что если бесконечная геометрическая прогрессия сходится, сумма ее элементов определяется по формуле [tex]S=a_1.\frac{1}{1-q}[/tex]. В нашем случае, [tex]S=1.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/tex]