Задачи на геометрические прогрессии - сложные задачи с решениями

Решение:
[tex]\begin{array}{|l}a_1q^3-a_1q=18\\a_1q^4-a_1q^2=36\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a_1q(q^2-1)=18\\a_1q^2(q^2-1)=36\end{array}[/tex]
Разделив их, мы получим [tex]\frac{a_1q^2(q^2-1)}{a_1q(q^2-1)}=\frac{36}{18}[/tex], или [tex]q=2[/tex]. Подставляем в первое уравнение:
[tex]a_1 \cdot 8-a_1 \cdot 2=18[/tex]
[tex]a_1=3[/tex]
[tex]a_3=a_1q^2=3 \cdot 4=12[/tex]

Решение:
[tex]a_6=a_1 \cdot q^5=15 \cdot (-4)^5=-15 \cdot 1024=-15360[/tex]

Решение:
[tex]S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=-2 \cdot \frac{1023}{3}=-2\cdot 341=-682[/tex]

Решение:
Мы определяем геометрическую прогрессию [tex]{a_n}[/tex]: [tex]a_1=7[/tex] и [tex]q=7[/tex]. Нам надо найти [tex]S_5=a_1 \cdot \frac{1-q^5}{1-q}=7 \cdot \frac{1-7^5}{1-7}=7 \cdot \frac{16806}{6}=7\cdot 2801=19607[/tex]

Решение:
[tex]a_4=-\sqrt{a_7 \cdot a_1}[/tex], так как [tex]4=\frac{7+1}{2}[/tex] и прогрессия есть переменной. Тогда [tex]a_4=-\sqrt{5 \cdot 405}=-\sqrt{5 \cdot 5 \cdot 81}=-5 \cdot 9=-45[/tex]

Решение:
Нам необходимо найти значение произведения [tex]a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7=(a_1a_7)(a_2a_6) (a_3a_5)a_4=a_4^2a_4^2a_4^2a_4=a_4^{7}=(a_1 \cdot q^3)^7=(\frac{2}{11^3} \cdot 11^3)^7=2^7=128[/tex]

Решение:
Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии есть [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex]. Так как [tex]a_n=(\frac{1}{3})^n, q=\frac{1}{3}[/tex] и [tex]a_1=6 \cdot \frac{1}{3}[/tex]. Тогда [tex]S=6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=6 \cdot \frac{1}{3-1}=6 \cdot \frac{1}{2}=3[/tex]

Решение:
[tex]a_n=\frac{2^n}{3 \cdot 3^n}=\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^n[/tex]. Затем [tex]a_1=\frac{2}{9}[/tex] и [tex]q=\frac{2}{3}[/tex].
Бесконечная сумма есть [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}=\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}[/tex]

Решение:
[tex]a_1=\frac{2\cdot 3^1}{5}=\frac{6}{5}[/tex]. Очевидно [tex]q=3[/tex]. Тогда [tex]S_{4}=a_1 \cdot \frac{1-q^{4}}{1-q}=\frac{6}{5} \cdot \frac{1-3^4}{1-3}=\frac{6}{5} \cdot \frac{80}{2}=48[/tex]

Решение:
Мы знаем, что [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex], тогда [tex]1-q=\frac{a_1}{S}[/tex], или [tex]q=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}[/tex]

Решение:
Из [tex]S=a_1 \cdot \frac{1}{1-q}[/tex], мы имеем, что [tex]1-q=\frac{a_1}{S}[/tex], или [tex]q=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{9}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}[/tex]

Решение:
[tex]S_4=a_1 \cdot \frac{q^4-1}{q-1}[/tex], поэтому [tex]\frac{q^4-1}{q-1}=40[/tex], или [tex]q^4-1=40q-40[/tex]
[tex]q^4-40q+39=0[/tex]. Но [tex]q^4-40q+39=q^4-q-39q+39=q(q^3-1)-39(q-1)=q(q-1)(q^2+q+1)-39(q-1)=(q-1)(q^3+q^2+q-39)[/tex].
[tex]q=1[/tex] очевидно не является решением (в этом случае, [tex]a_n=1[/tex] и [tex]S_4=4 \ne 40)[/tex], тогда это должно быть корнем уравнения [tex]q^3+q^2+q-39=0[/tex].
[tex]q^3-27+q^2-9+q-3=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+3q+9)+(q-3)(q+3)+1(q-3)=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+3q+3+q+3+1)=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+4q+7)=0[/tex]. Но [tex]q^2+4q+7=(q+2)^2+3>0[/tex], и это не имеет решения. Поэтому единственным оставшимся корнем есть [tex]q=3[/tex].

Решение:
Давайте обозначим прогрессию как [tex]a,aq,aq^2,...[/tex]. Её сумма есть [tex]S_1=6=\frac{a}{1-q}[/tex]. Квадраты прогрессии есть [tex]a^2, a^2q^2, a^2q^4, ...[/tex], которой являет другой геометрической прогрессии - с первым членом [tex]a^2[/tex] и знаменателем [tex]q^2[/tex]. Её сумма есть [tex]S_2=\frac{a^2}{1-q^2}=\frac{a^2}{(1-q)(1+q)}[/tex]. Тогда
[tex]\frac{S_2}{S_1}=\frac{a^2}{1-q^2} \cdot \frac{1-q}{a}=\frac{a}{1+q}=3[/tex]. Мы имеем
[tex]\begin{array}{|l}a=3+3q\\a=6-6q\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2a=6+6q\\a=6-6q\end{array}[/tex]. Мы складываем их чтобы получить
[tex]3a=6+6[/tex], or [tex]a=4[/tex]

Решение:
[tex]0,272727(27)=27 \cdot 10^{-2}+27 \cdot 10^{-4}+27\cdot 10^{-6}+...[/tex], что есть суммой бесконечной геометрической прогрессии ([tex]a_1=27\cdot 10^{-2}; q=10^{-2})[/tex] согласно формуле is
[tex]\frac{27\cdot 10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}[/tex]

Решение:
Используя [tex]a_n=a_1 \cdot q^{n-1}[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l}a_1q+a_1q^4-a_1q^3=10\\a_1q^2+a_1q^5-a_1q^4=20\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}a_1q(1+q^3-q^2)=10\\a_1q^2(1+q^3-q^2)=20\end{array}[/tex]. Мы разделим их чтобы получить

[tex]\frac{a_1q^2(1+q^3-q^2)}{a_1q(1+q^3-q^2)}=\frac{20}{10}=2[/tex] => [tex]q=2[/tex]. Подставляя в первое уравнение, мы получаем [tex]a_2+8a_2-4a_2=10[/tex], или [tex]5a_2=10[/tex]

[tex]a_2=2[/tex].

Решение:
Пусть первый член равен [tex]a[/tex]. Второй член равен [tex]2=aq[/tex]. Следовательно, [tex]q = \frac{2}{a}[/tex] Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: [tex]S=\frac{a}{1-q} = 8[/tex]
[tex]S=\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]a = 8(1-\frac{2}{a})[/tex]
[tex]a = 8-\frac{16}{a}[/tex]
[tex]a^2 = 8a - 16[/tex]
[tex]a^2 - 2\cdot4a + 4^2=0[/tex]
[tex](a-4)^2=0[/tex]
[tex]a=4[/tex]

Решение:
Давайте обозначим [tex]x_2=x_1q[/tex], [tex]y_1=x_1q^2[/tex], [tex]y_2=x_1q^3[/tex]. Согласно формул Виета, мы знаем, что
[tex]\begin{array}{|l}x_1+x_2=x_1(1+q)=3\\y_1+y_2=x_1(q^2+q^3)=x_1q^2(1+q)=12\end{array}[/tex]. Мы разделим их чтобы получить [tex]q^2=4[/tex], или [tex]q=2[/tex] (так как прогрессия строго возрастает и этого не может быть если [tex]q[/tex] отрицательно). Так как [tex]x_1(q+1)=3[/tex], мы имеем [tex]x_1=1, x_2=2, y_1=4, y_2=8[/tex].
Согласно формул Виета, [tex]a=x_1x_2=2[/tex] и [tex]-b=y_1y_2=32[/tex]. Поэтому [tex]ab=2\cdot(-32)=-64[/tex].

Решение:
Левая часть равна произведению [tex]x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{1}{8}}\cdot \ldots[/tex].
Показатели степеней образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: [tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots=\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1[/tex].
Значит, левая часть равна [tex]x[/tex], и [tex]x=\sqrt{2013}[/tex].

Решение:
Сумма членов после [tex]a_{n}[/tex] равна [tex]a_{n}q+a_{n}q^{2}+\ldots=\dfrac{a_{n}q}{1-q}[/tex]. Поэтому
[tex]a_{n}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a_{n}q}{1-q}\iff 2(1-q)=q\iff q=\dfrac{2}{3}[/tex]
Это значение удовлетворяет условию [tex]0\lt q\lt 1[/tex].

Решение:
Здесь [tex]a_{1}=1; q=\sin ^{2}\dfrac{\pi}{8}; 0\lt q\lt 1[/tex], поэтому
[tex]S=\dfrac{1}{1-\sin ^{2}\frac{\pi}{8}}=\dfrac{1}{\cos^{2}\frac{\pi}{8}}[/tex]
Так как [tex]\cos^{2}\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}[/tex],
[tex]S=\dfrac{4}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{4(2-\sqrt{2})}{2}=4-2\sqrt{2}[/tex]

Решение:
Пусть числа равны [tex]a; a+1; c[/tex], где [tex]a\ge 1[/tex] – целое. Тогда
[tex]c=\dfrac{(a+1)^{2}}{a}=a+2+\dfrac{1}{a}[/tex]
Чтобы [tex]c[/tex] было целым, [tex]\dfrac{1}{a}[/tex] должно быть целым, т.е. [tex]a=1[/tex]. Числа: [tex]1; 2; 4[/tex], третье равно [tex]4[/tex].

Решение:
Пусть числа равны [tex]a; aq; aq^{2}; aq^{3}[/tex]. Тогда [tex]a(1+q^{3})=35; aq(1+q)=30[/tex].
Так как [tex]1+q^{3}=(1+q)(1-q+q^{2})[/tex], разделив уравнения, получаем [tex]\dfrac{1-q+q^{2}}{q}=\dfrac{7}{6}\iff 6q^{2}-13q+6=0[/tex],
[tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] или [tex]q=\dfrac{2}{3}[/tex]
При [tex]q=\dfrac{2}{3}[/tex] прогрессия убывает, поэтому [tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] и [tex]a=8[/tex]. Числа: [tex]8; 12; 18; 27[/tex]; наибольшее равно [tex]27[/tex].

Решение:
[tex]\dfrac{S_{3}}{S}=\dfrac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}\cdot \dfrac{1-q}{a_{1}}=1-q^{3}=\dfrac{21}{24}=\dfrac{7}{8}[/tex]
[tex]q^{3}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow q=\dfrac{1}{2}; a_{1}=24\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=12[/tex]
Квадраты [tex]144; 36; 9; \ldots[/tex] образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем [tex]q^{2}=\dfrac{1}{4}[/tex]:
[tex]144+36+9+\ldots=\dfrac{144}{1-\frac{1}{4}}=192[/tex]

Решение:
Каждый член с чётным номером равен предыдущему члену с нечётным номером, умноженному на [tex]q[/tex]: [tex]a_{2}=a_{1}q; a_{4}=a_{3}q; \ldots[/tex]. Поэтому сумма членов с чётными номерами равна сумме членов с нечётными номерами, умноженной на [tex]q[/tex], и [tex]q=\dfrac{1}{3}[/tex].
[tex]S_{5}=a_{1}\cdot \dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{5}}{1-\frac{1}{3}}=a_{1}\cdot \dfrac{242}{243}\cdot \dfrac{3}{2}=\dfrac{121}{81}a_{1}[/tex]
[tex]\dfrac{121}{81}a_{1}=484\Rightarrow a_{1}=324[/tex]

Решение:
Через [tex]n[/tex] лет вклад равен [tex]10000\cdot 1{,} 01^{12n}[/tex], а цена равна [tex]12000\cdot 1{,} 06^{n}[/tex] (обе величины – геометрические прогрессии). Нужно
[tex]\left(\dfrac{1{,} 01^{12}}{1{,} 06}\right)^{n}\ge 1{,} 2[/tex]
Основание равно [tex]\dfrac{1{,} 01^{12}}{1{,} 06}\approx\dfrac{1{,} 12683}{1{,} 06}\approx 1{,} 06304[/tex].
[tex]1{,} 06304^{2}\approx 1{,} 130\lt 1{,} 2; 1{,} 06304^{3}\approx 1{,} 2013\ge 1{,} 2[/tex]
Через [tex]3[/tex] года вклад составит около [tex]14\,307{,} 69[/tex] евро, а автомобиль будет стоить около [tex]14\,292{,} 19[/tex] евро, поэтому ответ: [tex]3[/tex] года.

Решение:
[tex]a_{1}(1-q^{2}+q^{4})=-65; a_{1}(1+q^{6})=-325[/tex]
Так как [tex]1+q^{6}=(1+q^{2})(1-q^{2}+q^{4})[/tex], разделив второе уравнение на первое, получаем
[tex]1+q^{2}=5\Rightarrow q=\pm 2[/tex]
[tex]a_{1}=\dfrac{-65}{1-4+16}=-5[/tex]

Решение:
[tex]a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}=q^{4}(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})\Rightarrow q^{4}=\dfrac{480}{30}=16[/tex]
Разобьём первые [tex]20[/tex] членов на [tex]5[/tex] групп по четыре последовательных члена. Сумма каждой группы в [tex]q^{4}=16[/tex] раз больше суммы предыдущей, поэтому суммы групп образуют геометрическую прогрессию с первым членом [tex]30[/tex] и знаменателем [tex]16[/tex]:
[tex]S_{20}=30\cdot \dfrac{16^{5}-1}{16-1}=2(2^{20}-1)=2097150[/tex]
Ответ одинаков при [tex]q=2[/tex] и при [tex]q=-2[/tex].

Решение:
Пусть стороны равны [tex]a; aq; aq^{2}[/tex], где [tex]q\gt 1[/tex]; гипотенуза равна [tex]aq^{2}[/tex]. По теореме Пифагора
[tex]a^{2}+a^{2}q^{2}=a^{2}q^{4}\iff q^{4}-q^{2}-1=0[/tex]
Как квадратное уравнение относительно [tex]q^{2}[/tex]: [tex]q^{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] (другой корень отрицателен). Значит,
[tex]q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex]

Решение:
Пусть [tex]a\ne 1[/tex]. Умножим правую часть на [tex]1-a[/tex]:
[tex](1-a)(1+a)(1+a^{2})(1+a^{4})(1+a^{8})=(1-a^{2})(1+a^{2})(1+a^{4})(1+a^{8})=\ldots=1-a^{16}[/tex]
Значит, правая часть равна [tex]\dfrac{1-a^{16}}{1-a}=1+a+a^{2}+\ldots+a^{15}[/tex] – сумме геометрической прогрессии.
[tex]x=15[/tex]

Решение:
Пусть корни равны [tex]\dfrac{b}{q}; b; bq[/tex]. По теореме Виета
[tex]b\left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)=14; b^{2}\left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)=-84[/tex]
Разделив, получаем [tex]b=-6[/tex]. Произведение корней равно [tex]b^{3}=-m[/tex], поэтому [tex]m=216[/tex].
Проверка: [tex]x^{3}-14x^{2}-84x+216=(x-2)(x+6)(x-18)[/tex], а [tex]2; -6; 18[/tex] – геометрическая прогрессия с [tex]q=-3[/tex].