Задачи на прогрессии - задачи с решениями

Решение:
Мы знаем что [tex]2b=1+c[/tex] и [tex]b^2=1 \cdot (c+1)=1+c=2b[/tex]. Поэтому или [tex]b=0[/tex] или [tex]b=2[/tex]. Но 0 не может быть членом геометрической прогрессии, поэтому единственным вариантом остается только [tex]b=2[/tex]. Тогда арифметическая прогрессия есть [tex]1,2,c[/tex] или [tex]1+c=2 \cdot 2[/tex] => [tex]c=3[/tex].

Решение:
Сумма есть [tex]a-1+b+2+c+13=(a+b+c)-1+2+13=341-1+15=355[/tex].

Решение:
Так как [tex]a,1,b[/tex] является арифметической прогрессией, [tex]a+b=2[/tex], поэтому [tex]b=2-a[/tex]. Согласно свойств геометрической прогрессии, мы получаем [tex]a^2=b=2-a[/tex]
[tex]a^2+a-2=0[/tex]: [tex]a_1=1[/tex] или [tex]a_2=-2[/tex]. Но арифметическая прогрессия не является постоянной, поэтому [tex]a \ne 1[/tex], итак [tex]a[/tex] должно быть [tex]-2[/tex]. [tex]b=2-a=2-(-2)=4[/tex].

Решение:
По свойству геометрической прогрессии, мы получаем
[tex]a \cdot b=9 \cdot 243=3^2 \cdot 3^5=3^7[/tex]. Мы также знаем что [tex]\frac{a}{9}=\frac{b}{a}[/tex], или [tex]\frac{a^2}{9}=b[/tex] Подставляя в предыдущее уравнение, мы получаем [tex]\frac{a^3}{9}=3^7[/tex], или [tex]a^3=3^9[/tex], что означает [tex]a=3^3=27[/tex]. Тогда [tex]b=\frac{a^2}{9}=81[/tex] и их среднее арифметическое есть [tex]\frac{27+81}{2}=\frac{108}{2}=54[/tex].

Решение:
По свойству среднего арифметической прогрессии, мы имеем [tex]3+a=2 \cdot 9[/tex], или [tex]a=15[/tex]. Геометрической прогрессии становится [tex]5,15,b[/tex]. По свойству среднего значения, [tex]b \cdot 5=15^2=225[/tex], или [tex]b=\frac{225}{5}=45[/tex].

Решение:
Согласно свойств геометрической прогрессии, мы имеем [tex]2x=4^2[/tex], или [tex]x=8[/tex]. Согласно свойств геометрической прогрессии, мы имеем [tex]3+y=2x=2 \cdot 8=16[/tex], итак [tex]y=16-3=13[/tex].

Решение:
В арифметической прогрессии [tex]a_{m}+a_{n}=a_{k}+a_{l}[/tex], если [tex]m+n=k+l[/tex]. Здесь индексы разбиваются на пары с суммой [tex]10[/tex]:
[tex]a_{1}+a_{9}=a_{2}+a_{8}=a_{3}+a_{7}=a_{4}+a_{6}=21[/tex]
[tex]4\cdot 21=84[/tex]

Решение:
Пусть числа равны [tex]a; b; c[/tex]. Из арифметической прогрессии [tex]2b=a+c[/tex], поэтому
[tex]3b=9\Rightarrow b=3; a+c=6[/tex]
Из геометрической прогрессии [tex]ac=b^{2}=9[/tex], поэтому [tex]a[/tex] и [tex]c[/tex] – корни уравнения [tex]t^{2}-6t+9=0[/tex], т.е. [tex]a=c=3[/tex].

Решение:
Из арифметической прогрессии [tex]a+c=2\cdot 4=8[/tex].
Из геометрической прогрессии [tex]4^{2}=a(a+c)=8a\Rightarrow a=2[/tex].
Проверка: [tex]2; 4; 6[/tex] – арифметическая, а [tex]2; 4; 8[/tex] – геометрическая прогрессия.

Решение:
Пусть числа равны [tex]a; b; c[/tex], причём [tex]a+b+c=35; b^{2}=ac[/tex]. Арифметическая прогрессия даёт
[tex]2b=(a-1)+(c-4)=a+c-5=30-b\Rightarrow b=10[/tex]
Тогда [tex]a+c=25; ac=100[/tex], поэтому числа равны [tex]5; 10; 20[/tex] (или [tex]20; 10; 5[/tex]), а искомая сумма равна [tex]5+20=25[/tex].

Решение:
С [tex]1990[/tex] по [tex]2006[/tex] год прошло [tex]16[/tex] лет.
Модель А – арифметическая прогрессия: население [tex]8[/tex] раз увеличивается на [tex]100[/tex] и становится равным [tex]1000+8\cdot 100=1800[/tex].
Модель Б – геометрическая прогрессия со знаменателем [tex]0{,} 95[/tex]: население становится равным [tex]1000\cdot 0{,} 95^{16}\approx 440{,} 13[/tex].
[tex]1800-440{,} 13=1359{,} 87\approx 1360[/tex]

Решение:
Пусть числа равны [tex]a; a+d; a+2d; a+3d[/tex]. Если [tex]d=0[/tex], то [tex]q=1\ne d[/tex], поэтому [tex]d\ne 0[/tex].
Геометрическая прогрессия даёт [tex](a+d)^{2}=a(a+3d)\iff d^{2}=ad\iff a=d[/tex].
[tex]q=\dfrac{a+d}{a}=2=d\Rightarrow a=d=2[/tex]
Искомые числа: [tex]2; 4; 6; 8[/tex].

Решение:
Пусть [tex]CD=a; BC=a+d; AD=a+2d; AB=a+3d[/tex]; так как [tex]AB\ne CD[/tex], [tex]d\ne 0[/tex]. Периметр даёт [tex]4a+6d=18[/tex].
Высота равна [tex]BC[/tex], а проекция [tex]AD[/tex] на [tex]AB[/tex] равна [tex]AB-CD=3d[/tex], поэтому
[tex](a+2d)^{2}=(a+d)^{2}+9d^{2}\iff 2ad=6d^{2}\iff a=3d[/tex]
[tex]18d=18\Rightarrow d=1; a=3[/tex]
Стороны: [tex]CD=3; BC=4; AD=5; AB=6[/tex].

Решение:
Четвёртый член последовательности равен [tex]S_{4}-S_{3}=15-7=8[/tex], поэтому [tex]b=8[/tex].
Один корень равен [tex]0[/tex]; два других – корни уравнения [tex]x^{2}+ax+8=0[/tex]. Корни неотрицательны и различны, поэтому они равны [tex]0; r; 2r[/tex], [tex]r\gt 0[/tex]. По теореме Виета
[tex]r\cdot 2r=8\Rightarrow r=2; a=-(r+2r)=-6[/tex]