Задачи с тригонометрическими функциями - задачи с решениями

Решение:
[tex]\sin(A) = \frac{11}{61}[/tex]

Решение:
[tex]tg(A) = \frac{11}{60}[/tex]

Решение:
[tex]ctg(A) = \frac{60}{11}[/tex]

Решение:
[tex]\sin(30°)=\frac{1}{2}[/tex]

Решение:
cos(90°) = 0

Решение:
[tex]\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sin ^{2}(43[/tex]°) [tex]+ \cos ^{2}(43[/tex]°) = 1

Решение:
Поскольку [tex]\alpha[/tex] принадлежит к II четверти, то [tex]cos\alpha[/tex] < 0, и [tex]\cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\sqrt{1-{\frac{25}{169}}}=-{\frac{12}{13}}[/tex]
[tex]tg\alpha=-{\frac{5}{12}}[/tex]
[tex]ctg\alpha=-{\frac{12}{5}}[/tex].

Решение:
[tex]ctg(\pi + x)=ctg(x)[/tex]

Решение:
sin(-585°)=-sin(585°)=-sin(2π+225°)=-sin225°=-sin(π+45°)=sin45°=[tex]{\frac{\sqrt{2}}{2}}[/tex]

Решение:
[tex]\tg(270°+α)=\tg({\frac{3\pi}{2}}+\alpha)=-\ctg\alpha[/tex]

Решение:
[tex]cos{\frac{8\pi}{3}}=cos(3\pi-{\frac{\pi}{3}})=cos(\pi-\frac{\pi}{3})=-cos{\frac{\pi}{3}}=-{\frac{1}{2}}[/tex]

Решение:
[tex]\sin 945^{\circ}=\sin(720^{\circ}+ 225^{\circ})= \sin(225^{\circ}+2*360^{\circ})= \sin225^{\circ}= \sin(225^{\circ}-360^{\circ})= \sin(-135^{\circ})=-\sin 135^{\circ}=- \frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Решение:
[tex]\cos 175^\circ = \cos(180^\circ - 5^\circ) = -\cos 5^\circ[/tex]
[tex]\cos 204^\circ = \cos(180^\circ + 24^\circ) = -\cos 24^\circ[/tex]
[tex]\cos 300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ[/tex]
Следовательно, сумма равна [tex]\cos 60^\circ = \frac{1}{2}[/tex]

Решение:
ctg x=2

[tex]\frac{(2+2\sin x)(1-\sin x)}{(1+\cos x)(2-2\cos x)} = \frac{2[(1+\sin x)(1-\sin x)]}{2[(1+\cos x)(1-\cos x)]}=[/tex]
[tex]\frac{1-\sin^2x}{1-\cos^2x} = \frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\big(\frac{\cos x}{\sin x}\big)^2 =\text{ctg}^2x =(2)^2 =4[/tex]

Решение:
cos 15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=[tex]{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot {\frac{\sqrt{3}}{2}}+{\frac{\sqrt{2}}{2}} \cdot {\frac{1}{2}}={\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}[/tex].

Решение:
sin75°sin15°=sin(90°-15°)=cos15°sin15°=[tex]{\frac{1}{2}}sin30^{\circ}={\frac{1}{4}}[/tex]

Решение:
sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=[tex]{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex].

Решение:
sin4α+cos4αctg2α=[tex]{\frac{2tg2\alpha}{1+tg^22\alpha}}+{\frac{1-tg^22\alpha}{1+tg^22\alpha}} \cdot {\frac{1}{tg2\alpha}}={\frac{2 \cdot 4}{1+16}}+{\frac{1-16}{1+16}}{\frac{1}{4}}={\frac{1}{4}}[/tex].

Решение:
[tex]3+4cos2[/tex]α[tex]+cos4[/tex]α=[tex]2+4cos2[/tex]α[tex]+(1+cos4[/tex]α)=[tex]2+4cos2[/tex]α[tex]+2cos^{2}2[/tex]α=[tex]2(1+2cos2[/tex]α[tex]+\cos ^{2}2[/tex]α)=[tex]2(1+cos2[/tex]α)[tex]^{2}=2(2cos^{2}[/tex]α)[tex]^{2}=8cos^{4}[/tex]α

Решение:
Используя формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, упростим левую часть
[tex]4sin({\frac{\pi}{3}}-\alpha)cos({\frac{\pi}{6}}-\alpha)=4 \cdot {\frac{1}{2}}(sin({\frac{\pi}{3}}-\alpha+{\frac{\pi}{6}}-\alpha)+sin({\frac{\pi}{3}}-\alpha-{\frac{\pi}{6}}+\alpha))=2(sin({\frac{\pi}{2}}-2\alpha)+sin{\frac{\pi}{6}})=2(cos2\alpha+{\frac{1}{2}})={\frac{2sin\alpha(cos2\alpha+{\frac{1}{2}})}{sin\alpha}}={\frac{2sin\alpha cos2\alpha+sin\alpha}{sin\alpha}}={\frac{sin3\alpha-sin\alpha+sin\alpha}{sin\alpha}}={\frac{sin3\alpha}{sin\alpha}}[/tex], что и требовалось доказать.

Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю [tex]{\frac{sin^2\alpha+(1+cos\alpha)^2}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{sin^2\alpha+1+2cos\alpha+cos^2\alpha}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{2(1+cos\alpha)}{sin\alpha(1+cos\alpha)}}={\frac{2}{sin\alpha}}[/tex]

Решение:
Преобразуем левую часть [tex](cos\alpha+cos7\alpha)+(cos2\alpha+cos6\alpha)=2cos4\alpha cos3\alpha +2cos4\alpha cos2\alpha =2cos4\alpha(cos3\alpha+cos2\alpha)=4cos4\alpha cos{\frac{5\alpha}{2}}cos{\frac{\alpha}{2}}[/tex]

Решение:
При любом [tex]x[/tex]:
[tex]-1\le\sin \frac{x}{2}\le 1\;\Rightarrow\;-8\le 5\sin \frac{x}{2}-3\le 2[/tex]
Значение [tex]2[/tex] достигается при [tex]\sin \frac{x}{2}=1[/tex], например при [tex]x=\pi[/tex]. Значит, наибольшее значение равно [tex]2[/tex].

Решение:
[tex]0\le\sin ^2 x\le 1\;\Rightarrow\;3\le 5-2\sin ^2 x\le 5[/tex]
Наибольшее значение [tex]5[/tex] достигается при [tex]x=0[/tex], наименьшее [tex]3[/tex] — при [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]. Произведение равно [tex]3\cdot 5=15[/tex].

Решение:
Наименьшее значение косинуса равно [tex]-1[/tex] и достигается, когда угол равен [tex]180^\circ+k\cdot 360^\circ[/tex]. При [tex]\alpha\in\left[0^\circ; 180^\circ\right][/tex] имеем [tex]\alpha+30^\circ\in\left[30^\circ; 210^\circ\right][/tex], и единственный такой угол там — [tex]180^\circ[/tex]. Значит, [tex]\alpha+30^\circ=180^\circ[/tex] и [tex]\alpha=150^\circ[/tex]; наименьшее значение выражения равно [tex]0[/tex].

Решение:
Функция [tex]y=A\sin (kx+b)+c[/tex] имеет основной период [tex]T=\frac{2\pi}{|k|}[/tex]; числа [tex]A[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] не меняют период. Здесь [tex]k=\frac{2}{3}[/tex], поэтому
[tex]T=\frac{2\pi}{\frac{2}{3}}=3\pi[/tex]

Решение:
Знаменатель не должен равняться нулю: [tex]\sin 2x\ne 0[/tex]. Так как [tex]\sin t=0[/tex] ровно при [tex]t=k\pi[/tex], получаем [tex]2x\ne k\pi[/tex], т.е. [tex]x\ne\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Решение:
[tex]\sin ^4 x+\cos^4 x=\left(\sin ^2 x+\cos^2 x\right)^2-2\sin ^2 x\cos^2 x=1-\frac{1}{2}\sin ^2 2x[/tex]
Так как [tex]\sin ^2 2x[/tex] принимает все значения из [tex]\left[0; 1\right][/tex], функция принимает все значения от [tex]\frac{1}{2}[/tex] (при [tex]\sin ^2 2x=1[/tex]) до [tex]1[/tex] (при [tex]\sin 2x=0[/tex]).