Задачи с тригонометрическими функциями - сложные задачи с решениями

Решение:
[tex]\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x)^2-(\sin^2x)^2[/tex]
[tex]=(\cos^2 x+\sin^2 x)(\cos^2 x-\sin^2 x)[/tex]             [tex]/a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]

[tex]=\cos^2x-\sin^2x[/tex]         [tex]/\cos^2 x+\sin^2 x = 1[/tex]
[tex]=\cos^2x-(1-\cos^2x)[/tex]         [tex]/\sin^2 x = 1 - \cos^2 x[/tex]

[tex]=2\cos^2x-1[/tex]

Решение:
Приведем левую часть к виду правой [tex]tg4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{tg4\alpha cos4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{sin4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{2sin2\alpha cos2\alpha-(sin^22\alpha+cos^22\alpha)}{cos^22\alpha-sin^22\alpha}}={\frac{-(cos^22\alpha-sin^22\alpha)^2}{(cos2\alpha-sin2\alpha)(cos2\alpha+sin2\alpha)}}={\frac{sin2\alpha-cos2\alpha}{sin2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]

Решение:
Заменив [tex]sin^2x[/tex] выражением [tex]{\frac{1-cos2x}{2}}[/tex], мы приходим к уравнению первой степени относительно [tex]cos2x[/tex]:[tex]{\frac{1-cos2x}{2}}+cos2x={\frac{1}{4}}; 1+cos2x={\frac{1}{2}}; cos2x=-{\frac{1}{2}}; 2x=2\kappa \pi \pm{\frac{2\pi}{3}}; x=\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{3}}[/tex].

Решение:
Заменяя [tex]cos7x[/tex] выражением [tex]sin({\frac{\pi}{2}}-7x)[/tex], мы преобразовываем данное уравнение к такому уравнению, в котором первая часть есть нуль, а левая - произведение выражений, содержащих неизвестную величину [tex]x[/tex]:[tex]sin5x-cos7x=0; sin5x-sin({\frac{\pi}{2}}-7x)=0; 2sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0[/tex]. а) [tex]sin(6x-{\frac{\pi}{4}})=0;6x-{\frac{\pi}{4}}=\kappa \pi;x=\kappa{\frac{\pi}{6}}+{\frac{\pi}{24}}[/tex]. б) [tex]cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; x-{\frac{\pi}{4}}=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}, x=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{4}}[/tex].

Решение:
Используя [tex]\cos^2 x=1-\sin ^2 x[/tex], получаем квадратное уравнение относительно [tex]\sin x[/tex]:
[tex]1-\sin ^2 x+\sin x=\frac{5}{4}\iff 4\sin ^2 x-4\sin x+1=0\iff(2\sin x-1)^2=0[/tex]
Значит, [tex]\sin x=\frac{1}{2}[/tex], т.е. [tex]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex] или [tex]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Решение:
[tex]2\sin ^2x+3\sin x \cos x+7\cos ^2x=6(\sin ^2x+\cos ^2x), 4\sin ^2x-3\sin x \cos x-\cos ^2x=0[/tex]. В силу этого уравнение [tex]\cos x\ne0[/tex]. Поэтому мы можем все члены уравнения разделить на [tex]\cos ^2x[/tex]
[tex]{\frac{4\sin ^2x}{\cos ^2x}}-{\frac{3\sin x \cos x}{\cos ^2x}}-{\frac{\cos ^2x}{\cos ^2x}}=0; 4\operatorname{tg} ^2x-3\operatorname{tg} x-1=0;\operatorname{tg} x={\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{8}}={\frac{3\pm5}{8}}.[/tex]
а)[tex]\operatorname{tg} x =1; x=k\pi +{\frac{\pi}{4}}[/tex].
б)[tex]\operatorname{tg} x=-{\frac{1}{4}}; x\approx180^{\circ}k-14^{\circ}2'[/tex].

Решение:
Воспользуемся формулой [tex]sin\alpha cos\beta={\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}}; {\frac{sin4x+sin2x}{2}}={\frac{sin12x+sin2x}{2}}; sin4x=sin12x; sin12x-sin4x=0; 2sin4x cos8x=0[/tex]. a) [tex]sin4x=0; 4x=\kappa\pi; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}[/tex]. б)[tex]cos8x=0; 8x=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}\pm{\frac{x}{16}}[/tex].

Решение:
Воспользуемся формулами, выражающими [tex]sin x[/tex] и [tex]cos x[/tex] через [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]. Благодаря этому задача сведется к решению квадратного уравнения относительно [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]:[tex]3{\frac{1-tg^2{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}+2\sqrt{3}\cdot{\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}={\frac{9}{2}}; 15tg^2{\frac{x}{2}}-8\sqrt{3}tg{\frac{x}{2}}+3=0[/tex]. a)[tex]tg{\frac{\sqrt{3}}{3}}; {\frac{x}{2}}=\kappa\pi+{\frac{\pi}{6}}; x=2\kappa\pi+{\frac{\pi}{3}}[/tex]. б)[tex]tg{\frac{x}{2}}={\frac{\sqrt{3}}{5}}; {\frac{x}{2}}\approx180^{\circ}\kappa+13^{\circ}; x\approx360^{\circ}\kappa+26^{\circ}[/tex].

Решение:
Воспользуемся формулой [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}; {\frac{sin2x}{2}}cos2x={\frac{1}{8}}; sin2x cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]. Еще раз обратившись к формуле [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}[/tex], получим: [tex]{\frac{sin4x}{2}}={\frac{1}{4}}; sin4x={\frac{1}{2}}; 4x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{24}}[/tex].

Решение:
К левой части уравнения прибавим два взаимно уничтожающихся члена [tex]2sin^2x cos^2x[/tex] и [tex]-2sin^2x cos^2x[/tex]:[tex]sin^4x+2sin^2cos^2x+2cos^4x-2sin^2x cos^2x={\frac{5}{8}}; 1-2\cdot({\frac{sin2x}{2}})^2={\frac{5}{8}}; {\frac{sin^22x}{2}}={\frac{3}{8}}; sin^22x={\frac{3}{4}}; sin2x=\pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex].
[tex]sin2x={\frac{\sqrt{3}}{2}}; 2x=n\pi+(-1)^2{\frac{\pi}{3}}; x=n{\frac{\pi}{2}}+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex].

Решение:
Это уравнение является однородным первого измерения относительно [tex]sin x[/tex] и [tex] cos x[/tex]. В силу этого уравнения [tex]cos x \ne0[/tex]. Если бы [tex]cos x=0[/tex], то оказалось бы, что [tex]sin x =0[/tex]. Но [tex]sin x[/tex] и [tex]cos x[/tex] не могут быть нулями одновременно. Поэтому мы можем все члены уравнения разделить на [tex]cos x[/tex]:[tex]{\frac{sin x}{cos x}}-{\frac{cos x}{sin x}}=0;tg x=1; x=\kappa \pi+{\frac{\pi}{4}}[/tex]

Решение:
Разделим левую и правую части уравнения на [tex]\sqrt{2}[/tex]: [tex]{\frac{1}{\sqrt{2}}}sin x+{\frac{1}{\sqrt{2}}}cos x=sin5x; cos{\frac{\pi}{4}}sin x+sin{\frac{\pi}{4}}cos x=sin5x; sin(x+{\frac{\pi}{4}})=sin5x; sin5x-sin(x+{\frac{\pi}{4}})=0; 2sin(2x-{\frac{\pi}{8}})cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0[/tex]. a)[tex]sin(2x-{\frac{\pi}{8}})=0; 2x-{\frac{\pi}{8}}=n\pi; x=n{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{16}}[/tex]. б)[tex]cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0; 3x+{\frac{\pi}{8}}=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=2\kappa{\frac{\pi}{3}}\pm{\frac{\pi}{6}}-{\frac{\pi}{24}}[/tex].

Решение:
Преобразуем уравнение так, чтобы получить равенство одноименных функций:[tex]sin3x=sin({\frac{\pi}{2}}-2x)[/tex]. По условиям равенства синусов [tex]3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=2\kappa\pi[/tex] и [tex]3x+({\frac{\pi}{2}}-2x)=(2\kappa+1)\pi[/tex]. Отсюда [tex]x={\frac{2\kappa\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex] и [tex]x=(2\kappa+1)\pi-{\frac{\pi}{2}}[/tex].

Решение:
[tex]tg3x=tg({\frac{\pi}{2}}-2x)\cdot 3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=\kappa\pi; 5x=\kappa\pi+{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}.[/tex]

Решение:
Функция [tex]\cos x[/tex] убывает на [tex]\left[0; \pi\right][/tex] и возрастает на [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex]. Функция [tex]-\cos x[/tex] ведёт себя наоборот, а прибавление [tex]-1[/tex] не меняет монотонности. Значит, [tex]f[/tex] возрастает на [tex]\left[0; \pi\right][/tex] и убывает на [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex]. На [tex]\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right][/tex] и [tex]\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right][/tex] она меняет направление (в [tex]0[/tex] и в [tex]\pi[/tex]), поэтому там не возрастает.

Решение:
Функция нечётна, если её область определения симметрична относительно [tex]0[/tex] и [tex]f(-x)=-f(x)[/tex]. Для [tex]f(x)=\frac{1-\cos 5x}{x}[/tex] область определения [tex]x\ne 0[/tex] и, так как косинус чётен,
[tex]f(-x)=\frac{1-\cos(-5x)}{-x}=-\frac{1-\cos 5x}{x}=-f(x)[/tex]
Остальные три функции не являются ни чётными, ни нечётными; например, для [tex]y=\sin (x+1)[/tex] имеем [tex]y(-1)=0[/tex], но [tex]y(1)=\sin 2\ne 0[/tex].

Решение:
Используем
[tex]\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}[/tex]
Функция [tex]\cos 2x[/tex] имеет основной период [tex]\frac{2\pi}{2}=\pi[/tex], поэтому [tex]y[/tex] имеет период [tex]\pi[/tex]. Меньшего положительного периода нет: [tex]y=1[/tex] только при [tex]x=k\pi[/tex], а соседние такие точки находятся на расстоянии [tex]\pi[/tex]. Число [tex]2\pi[/tex] тоже период, но не основной.

Решение:
Так как [tex]\cos^2 x\le 1[/tex], то [tex]y\le-2[/tex]. Наибольшее значение [tex]-2[/tex] достигается при [tex]\cos^2 x=1[/tex], т.е. [tex]\cos x=\pm 1[/tex], откуда [tex]x=k\pi[/tex]. На [tex]\left[0; 3\pi\right][/tex] это [tex]0; \pi; 2\pi; 3\pi[/tex], т.е. [tex]4[/tex] значения.

Решение:
Запишем
[tex]\sin (2x+1)=\sin 2\left(x+\frac{1}{2}\right)[/tex]
Если [tex]g(x)=\sin 2x[/tex], то [tex]y=g\left(x+\frac{1}{2}\right)[/tex]. График [tex]g(x+a)[/tex] при [tex]a\gt 0[/tex] — это график [tex]g[/tex], сдвинутый на [tex]a[/tex] единиц влево. Значит, график сдвигается на [tex]\frac{1}{2}[/tex] (а не на [tex]1[/tex]) влево, и [tex]m=-\frac{1}{2}[/tex].

Решение:
По формуле синуса тройного угла [tex]\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3 x[/tex], т.е. [tex]y=\sin 3x[/tex]. Когда [tex]x[/tex] пробегает все действительные числа, [tex]3x[/tex] тоже их пробегает, поэтому [tex]y[/tex] принимает все значения от [tex]-1[/tex] до [tex]1[/tex]: множество значений — [tex]\left[-1; 1\right][/tex].

Решение:
Число [tex]2\pi[/tex] — период [tex]\sin x[/tex] и [tex]\tg x[/tex], поэтому и период [tex]y[/tex]. Запишем
[tex]y=\frac{\sin x(1+\cos x)}{\cos x}[/tex]
Её нули: [tex]x=k\pi[/tex]. Если [tex]T[/tex] — период, то [tex]y(T)=y(0)=0[/tex], т.е. [tex]T[/tex] — нуль функции; меньшим положительным периодом может быть только [tex]\pi[/tex]. Но [tex]y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] и [tex]y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] различны. Значит, основной период равен [tex]2\pi[/tex].

Решение:
[tex]2\cos^2 x+\sin 2x=1+\cos 2x+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
Синус принимает все значения из [tex]\left[-1; 1\right][/tex], поэтому множество значений — [tex]\left[1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\right][/tex].

Решение:
По формуле [tex]2\sin A\cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)[/tex] получаем:
[tex]y=2\left(\sin 2\alpha+\sin \frac{\pi}{3}\right)=2\sin 2\alpha+\sqrt{3}[/tex]
При [tex]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right)[/tex] имеем [tex]2\alpha\in\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right)[/tex]. Там [tex]\sin 2\alpha[/tex] принимает все значения из [tex]\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right][/tex]: значение [tex]1[/tex] достигается при [tex]2\alpha=\frac{\pi}{2}[/tex], а [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] не достигается. Значит, [tex]y\in\left(0; 2+\sqrt{3}\right][/tex].