Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Деление
Умножение до 5
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Периметр
Площадь
4 класс
Сложение, умножение, деление
Сложение и вычитание до 1000
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Уравнения
Отрицательные числа
Текстовые задачи
Координатная плоскость
7 класс
Уравнения
Свойства треугольников
Многочлены
Упрощение многочленов
Системы
Разложиние на множители
Текстовые задачи
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Конические сечения
Уравнения окружности
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Задачи с тригонометрическими функциями
Лёгкий
Средний
Сложный
Задачи с тригонометрическими функциями - нормальные задачи с решениями
Задача 1
Решить уравнение [tex]tg3x={\frac{1}{tg2x}}[/tex].
Решение:
[tex]tg3x=tg({\frac{\pi}{2}}-2x). 3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=\kappa\pi; 5x=\kappa\pi+{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex].
Задача 2
Доказать тождество [tex]tg4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{sin2\alpha-cos2\alpha}{sin2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]
Решение:
Приведем левую часть к виду правой [tex]tg4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{tg4\alpha cos4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{sin4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{2sin2\alpha cos2\alpha-(sin^22\alpha+cos^22\alpha)}{cos^22\alpha-sin^22\alpha}}={\frac{-(cos^22\alpha-sin^22\alpha)^2}{(cos2\alpha-sin2\alpha)(cos2\alpha+sin2\alpha)}}={\frac{sin2\alpha-cos2\alpha}{sin2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]
Задача 3
[tex]sin^2x+cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]
Решение:
Заменив [tex]sin^2x[/tex] выражением [tex]{\frac{1-cos2x}{2}}[/tex], мы приходим к уравнению первой степени относительно [tex]cos2x[/tex]:[tex]{\frac{1-cos2x}{2}}+cos2x={\frac{1}{4}}; 1+cos2x={\frac{1}{2}}; cos2x=-{\frac{1}{2}}; 2x=2\kappa \pi \pm{\frac{2\pi}{3}}; x=\kappa \pi \pm{\frac{pi}{3}}[/tex].
Задача 4
[tex]sin5x=cos7x[/tex]
Решение:
Заменяя [tex]cos7x[/tex] выражением [tex]sin({\frac{\pi}{2}}-7x)[/tex], мы преобразовываем данное уравнение к такому уравнению, в котором первая часть есть нуль, а левая - произведение выражений, содержащих неизвестную величину [tex]x[/tex]:[tex]sin5x-cos7x=0; sin5x-sin({\frac{\pi}{2}}-7x)=0; 2sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0[/tex]. а) [tex]sin(6x-{\frac{\pi}{4}})=0;6x-{\frac{\pi}{4}}=\kappa \pi;x=\kappa{\frac{\pi}{6}}+{\frac{\pi}{24}}[/tex]. б) [tex]cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; x-{\frac{\pi}{4}}=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}, x=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{4}}[/tex].
Задача 5
Решить уравнение [tex]\cos^2x+\sin x={\frac{5}{4}}[/tex]
Решение:
Заменив [tex]cos^2x[/tex] выражением [tex]1-sin^2x[/tex], мы приходим к квадратному уравнению относительно [tex]sin x[/tex]:
[tex]1-\sin^2x+\sin x={\frac{5}{4}}[/tex]
[tex]4\sin^2x-4sin x+1=0[/tex]
[tex](2\sin x-1)^2=0[/tex]
[tex]2\sin x-1=0[/tex]
[tex]\sin x={\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex]
Задача 6
[tex]sin^2+3sin x cos x+7cos^2x=6[/tex](Примечание. Заменив число 6 выражением [tex]6sin^2x+6cos^2x[/tex], мы получим однородное уравнение второго измерения относительно [tex]sin x[/tex] и [tex]cos x[/tex]).
Решение:
[tex]2sin^2x+3sin x cos x+7cos^2x=6(sin^2x+cos^2x), 4sin^2x-3sin x cos x-cos^2x=0[/tex]. В силу этого уравнение [tex]cos x\ne0[/tex]. Поэтому мы можем все члены уравнения разделить на [tex]cos^2x[/tex]
[tex]{\frac{4sin^2x}{cos^2x}}-{\frac{3sin x cos x}{cos^2x}}-{\frac{cos^2x}{cos^2x}}=0; 4tg^2x-3tg x-1=0;tg x={\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{8}}={\frac{3\pm5}{8}}[/tex].
а)[tex]tg x =1; x=\kappa \pi \pm+{\frac{\pi}{4}}[/tex].
б)[tex]tg x=-{\frac{1}{4}}; x\approx180^{\circ}\kappa-13^{\circ}30\prime[/tex].
Задача 7
[tex]sin3x cos x=sin7x cos5x[/tex].
Решение:
Воспользуемся формулой [tex]sin\alpha cos\beta={\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}}; {\frac{sin4x+sin2x}{2}}={\frac{sin12x+sin2x}{2}}; sin4x=sin12x; sin12x-sin4x=0; 2sin4x cos8x=0[/tex]. a) [tex]sin4x=0; 4x=\kappa\pi; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}[/tex]. б)[tex]cos8x=0; 8x=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}\pm{\frac{x}{16}}[/tex].
Задача 8
[tex]3cos x+2\sqrt{3sin x}={\frac{9}{2}}[/tex].
Решение:
Воспользуемся формулами, выражающими [tex]sin x[/tex] и [tex]cos x[/tex] через [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]. Благодаря этому задача сведется к решению квадратного уравнения относительно [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]:[tex]3{\frac{1-tg^2{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}+2\sqrt{3}\cdot{\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}={\frac{9}{2}}; 15tg^2{\frac{x}{2}}-8\sqrt{3}tg{\frac{x}{2}}+3=0[/tex]. a)[tex]tg{\frac{\sqrt{3}}{3}}; {\frac{x}{2}}=\kappa\pi+{\frac{\pi}{6}}; x=2\kappa\pi+{\frac{\pi}{3}}[/tex]. б)[tex]tg{\frac{x}{2}}={\frac{\sqrt{3}}{5}}; {\frac{x}{2}}\approx180^{\circ}\kappa+13^{\circ}; x\approx360^{\circ}\kappa+26^{\circ}[/tex].
Задача 9
Решите: [tex]sin x cos x cos2x={\frac{1}{8}}[/tex].
Решение:
Воспользуемся формулой [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}; {\frac{sin2x}{2}}cos2x={\frac{1}{8}}; sin2x cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]. Еще раз обратившись к формуле [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}[/tex], получим: [tex]{\frac{sin4x}{2}}={\frac{1}{4}}; sin4x={\frac{1}{2}}; 4x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{24}}[/tex].
Задача 10
Решить [tex]sin^4x+cos^4x={\frac{5}{8}}[/tex].
Решение:
К левой части уравнения прибавим два взаимно уничтожающихся члена [tex]2sin^2x cos^2x[/tex] и [tex]-2sin^2x cos^2x[/tex]:[tex]sin^4x+2sin^2cos^2x+2cos^4x-2sin^2x cos^2x={\frac{5}{8}}; 1-2\cdot({\frac{sin2x}{2}})^2={\frac{5}{8}}; {\frac{sin^22x}{2}}={\frac{3}{8}}; sin^22x={\frac{3}{4}}; sin2x=\pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex].
[tex]sin2x={\frac{\sqrt{3}}{2}}; 2x=n\pi+(-1)^2{\frac{\pi}{3}}; x=n{\frac{\pi}{2}}+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex].
Задача 11
[tex]sin x-cos x=0[/tex].
Решение:
Это уравнение является однородным первого измерения относительно [tex]sin x[/tex] и [tex] cos x[/tex]. В силу этого уравнения [tex]cos x \ne0[/tex]. Если бы [tex]cos x=0[/tex], то оказалось бы, что [tex]sin x =0[/tex]. Но [tex]sin x[/tex] и [tex]cos x[/tex] не могут быть нулями одновременно. Поэтому мы можем все члены уравнения разделить на [tex]cos x[/tex]:[tex]{\frac{sin x}{cos x}}-{\frac{cos x}{sin x}}=0;tg x=1; x=\kappa \pi+{\frac{\pi}{4}}[/tex]
Задача 12
Решить [tex]sin x+cos x=\sqrt{2}sin5x[/tex].
Решение:
Разделим левую и правую части уравнения на [tex]\sqrt{2}[/tex]: [tex]{\frac{1}{\sqrt{2}}}sin x+{\frac{1}{\sqrt{2}}}cos x=sin5x; cos{\frac{\pi}{4}}sin x+sin{\frac{\pi}{4}}cos x=sin5x; sin(x+{\frac{\pi}{4}})=sin5x; sin5x-sin(x+{\frac{\pi}{4}})=0; 2sin(2x-{\frac{\pi}{8}})cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0[/tex]. a)[tex]sin(2x-{\frac{\pi}{8}})=0; 2x-{\frac{\pi}{8}}=n\pi; x=n{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{16}}[/tex]. б)[tex]cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0; 3x+{\frac{\pi}{8}}=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=2\kappa{\frac{\pi}{3}}\pm{\frac{\pi}{6}}-{\frac{\pi}{24}}[/tex].
Задача 13
Решить уравнение [tex]sin3x=cos2x[/tex].
Решение:
Преобразуем уравнение так, чтобы получить равенство одноименных функций:[tex]sin3x=sin({\frac{\pi}{2}}-2x)[/tex]. По условиям равенства синусов [tex]3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=2\kappa\pi[/tex] и [tex]3x+({\frac{\pi}{2}}-2x)=(2\kappa+1)\pi[/tex]. Отсюда [tex]x={\frac{2\kappa\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex] и [tex]x=(2\kappa+1)\pi-{\frac{\pi}{2}}[/tex].
Лёгкий
Средний
Сложный
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
Об авторе
© 2005 - 2024 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.