Интегралы - задачи с решениями

Автор: Hernando Guzman Jaimes (prof. at University of Zulia - Maracaibo, Venezuela)

Формулы интегралов

$\int kdx=kx+C$ $k \in R$
$\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ $n \ne -1$ $n \in Z$
$\int \frac{1}{x} dx=ln(x)+C$
$\int e^x dx=e^x+C$
$\int a^x dx=\frac{a^x}{ln(a)}+C$ $a \in R, a > 0$
$\int \sin(x) dx=-\cos(x)+C$
$\int \cos(x) dx=\sin(x)+C$
$\int \sec^2(x) dx=\text{tg}(x)+C$
$\int \csc^2(x) dx=-\text{ctg}(x)+C$
$\int \sec(x)\text{tg}(x) dx=\sec(x)+C$
$\int \csc(x)\text{ctg}(x) dx=-\csc(x)+C$
$\int \text{tg}(x) dx=\ln(\sec(x))+C$
$\int \text{ctg}(x) dx=\ln(\sin(x))+C$
$\int \sec(x) dx=\ln(\sec(x) + \text{tg}(x))+C$
$\int \csc(x) dx=\ln(\csc(x) - \text{ctg}(x))+C$
$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} dx=\text{arcsin}\frac{x}{a}+C$ $a\in R$
$\int \frac{dx}{a^2+x^2} dx=\frac{1}{2}\text{arctg}\frac{x}{a}+C$ $a\in R$
$\int \frac{dx}{a^2-x^2} dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$ $a\in R$

Свойства интегрирования

$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$
$\int (f(x)\pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Задача 1
$g(x)=2x-3x^{2}$ является производной от $f(x)=x^{2}-x^{3}$.

Чему равен $\int g(x)dx$ ?
Задача 2
При нахождении производной функции $f(x)= \sqrt{x}+\frac{2\sqrt{x^{3}}}{3}$ мы получаем функцию $g(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Рассмотрите следующие предложения:
(i) $\int g(x)dx=f(x)+C$

(ii) $\int f(x)dx=g(x)+C$

(iii) $\int \left( g(x)\right) ^{2}dx=\left(f(x)\right)^{2}+C$
Задача 3
$f(x)=\int \left( x^{2}+2\right) dx=\frac{1}{3}x^{3}+2x+C$ и $g(x)=\int \left( 2x^{2}-5\right) dx=\frac{2}{3}x^{3}-5x+C$
Чему равно $\int \left( 3x^{2}-3\right) dx$ ?
Задача 4
Если $f(x)=\int \left( 2x+3\right) dx=x^{2}+3x+C$ и $g(x)=\int \left( x^{2}+3\right) dx=\frac{1}{3}x^{3}+3x+C$

Чему равно $\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx$ ?
Задача 5
Как мы можем упростить следующий интеграл?
$\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx$ ?

Напишите правильное пошаговое решение.
Задача 6
Чему равен интеграл
$\int (x+1)(x-2)dx$ ?
Задача 7
Чему равен интеграл
$\int (2t^{2}-1)^{2}dt$ ?
Задача 8
$\int \frac{\sin x}{1-\sin^{2}x}dx =$
Задача 9
Каково наилучшее аппроксимация, используя суммы Римана, интеграла $f(x)=2x+5$, используя $4$ прямоугольника в интервале $\left[0,2\right]$. Нарисуйте график.
Задача 10
Каково наилучшее аппроксимация, используя суммы Римана, интеграла $g(x)=2x^{2}-x-1$, используя 6 прямоугольников в интервале $\left[ 2,5\right]$.
Нарисуйте график.

Задача 11
Какова приблизительная площадь розовой области, используя аппроксимацию верхней и нижней сумм.
Используйте $\Delta x=1$


Задача 12
Какова приблизительная площадь розовой области, используя аппроксимацию верхней и нижней сумм.
Используйте $\Delta x=1$


Задача 13
Используйте верхнюю и нижнюю суммы, чтобы приблизительно рассчитать площадь области под кривой $y=\sqrt{x}$.


Задача 14
Используйте верхнюю и нижнюю суммы, чтобы приблизительно рассчитать площадь области под кривой $y=\frac{1}{x}$


Задача 15
Чему равен интеграл $\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx$
Задача 16
Решите интеграл, используя замену переменной.
$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx$
Задача 17
Решите интеграл, используя замену переменной.
$\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx$
Задача 18
Решите интеграл от тригонометрической функции $\int \cos ^{2}x\sin xdx$
Задача 19
Решите определенный интеграл $\underset{0}{\overset{1}{\int }} x\left( x^{2}+1\right) ^{3}dx$
Задача 20
Решите определенный интеграл $\overset{5}{\underset{1}{\int }} \frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx$
Задача 21
Каково решение интеграла тригонометрической функции?
$\int \text{tg}^{4}x\sec ^{2}xdx$
Задача 22
Решите интеграл от тригонометрической функции
$\int \frac{\csc ^{2}x}{\text{ctg}^{3}x}dx$
Прислать задачу

Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
© 2005 - 2020   Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.