Уравнение эллипса - задачи с решениями

Решение:
Ответ: $O(0,0);F_{1}(-4,0),F_{2}(4,0);$

$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$.
Известно, что $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Центр это $(h,k)=(0,0)$ и $a^{2}=25\Longrightarrow a=5$

$b^{2}=9\Longrightarrow b=3$ и $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-9}=4$

Координаты фокуса $(h-c,k)\qquad (h+c,k)$ поэтому

$F_{1}:\ (-4,0)\qquad F_{2}:(4,0)$

Решение:
Ответ: $V_{1}(-5,0),V_{2}(5,0);CV_{1}(0,-3),CV_{2}(0,3);e=\frac{4}{5}$

$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$.

Мы знаем уравнение $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Вершины (большая ось) находятся в $(h-a,k)\qquad (h+a,k)$, поэтому

$V_{1}:(-5,0)\qquad V_{2}:(5,0)$

Еще вершины (малая ось) находятся в точках $(h,k-b)\qquad (h,k+b)$, поэтому

$CV_{1}:(0,-3)\qquad CV_{2}:(0,3)$

Эксцентриситет равен $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}\qquad e=\frac{4}{5}$

Решение:
Ответ: $O(0,0);F_{1}(-2\sqrt{3},0),F_{2}(2\sqrt{3},0);$

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Мы знаем уравнение $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Центр это $(h,k)=(0,0)$ и $a^{2}=16\Longrightarrow a=4$

$b^{2}=4\Longrightarrow b=2$, $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$

Координаты фокуса это $(h-c,k)\qquad (h+c,k)$ тогда

$F_{1}:(-2\sqrt{3},0)\qquad F_{2}:(2\sqrt{3},0)$

Решение:
Ответ: $V_{1}(-4,0),V_{2}(4,0);\ CV_{1}(0,-2),CV_{2}(0,2);e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Мы знаем уравнение $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ тогда

Вершины (большая ось) находятся в $(h-a,k)\qquad (h+a,k)$, поэтому

$V_{1}:(-4,0)\qquad V_{2}:(4,0)$

Еще вершины (малая ось) находятся в точках $(h,k-b)\qquad (h,k+b)$, поэтому

$CV_{1}:(0,-2)\qquad CV_{2}:(0,2)$

Эксцентриситет равен $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{4}\qquad e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение:
Ответ: $O(-2,-4);F_{1}(-2,-4-\sqrt{70}),F_{2}(-2,-4+\sqrt{70});$

$36(x+2)^{2}+(y+4)^{2}=72\Longrightarrow \frac{(x+2)^{2}}{2}+\frac{(y+4)^{2}}{72}=1$ - это нормальная форма эллипса $\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1 $

Центр это $(h,k)=$ $(-2,-4)$ и $a^{2}=72\Longrightarrow a=6\sqrt{2}$

$b^{2}=2\Longrightarrow b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{72-2}=\sqrt{70}$

Координаты фокуса это $(h,k-c)\qquad (h,k+c)$ тогда

$F_{1}:(-2,-4-\sqrt{70})\qquad F_{2}:(-2,-4+\sqrt{70})$

Решение:
Ответ: $\frac{x^{2}}{40}+\frac{y^{2}}{49}=1$

Так как х координата вершин и фокусов одинаковая, то главная ось вертикальна, таким образом уравнение эллипса имеет форму

$\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1\qquad a>b$ the координаты вершин это $(h,k\pm a)$
и фокусов $(h,k\pm c)$ тогда

$\left\{ \begin{array}{c} (h,k\pm a)=(0,\pm 7) \\ (h,k\pm c)=(0,\pm 3) \end{array} \right\} \Longrightarrow h=0,k=0,a=7,c=3$

Тогда $c^{2}=a^{2}-b^{2}\Longrightarrow b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{7^{2}-3^{2}}=2\sqrt{10}$
Поэтому уравнение равно
$\frac{x^{2}}{40}+\frac{y^{2}}{49}=1$

Решение:
Ответ: $x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Поэтому координаты вершин (большая ось) $(h,k\pm a)=(0,\pm 3)$ и вершин (малая ось) $(\pm 1,0)=(h\pm b,k)$ тогда $(h,k)=$ $(0,0)$ и

$k\pm a=\pm 3\Longrightarrow a=3\qquad h\pm b=\pm 1\Longrightarrow b=1$

$x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1$ это уравнение эллипса.

Решение:
Координаты вершин (большая ось) $(h,k+a)=(1,2),\ (h,k-a)=(1,-6)$

и вершин (малая ось) $(4,-2)=(h+b,k),\ (-2,-2)= (h-b,k)$ тогда $(h,k)=(1,-2)$

$\left\{ \begin{array}{c} k+a=2 \\ k-a=-6 \end{array} \right\} \Longrightarrow a=4,\qquad \left\{ \begin{array}{c} h+b=4 \\ h-b=-2 \end{array} \right\} \Longrightarrow b=3$ Поэтому

$\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{16}=1$ это уравнение эллипса.

Решение:
Ответ: $\frac{x^{2}}{59}+\frac{y^{2}}{64}=1$

Фокусы это $(0,\pm \sqrt{5})=(h,k\pm c)$ тогда $(h,k)=0$, $c=\sqrt{5}$
Длина большой оси равна $16$.

Тогда $2a=16\Longrightarrow a=8$.

Уравнение эллипса это
$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$

Так как $c^{2}=a^{2}-b^{2}$, $b^{2}=a^{2}-c^{2}=64-5=59$ поэтому

$\frac{x^{2}}{59}+\frac{y^{2}}{64}=1$ это уравнение эллипса.

Решение:
Ответ: $\frac{\left( x-1\right) ^{2}}{7}+\frac{\left( y-3\right)^{2}}{16}=1$

Фокус находится в точке $(1,0)$, и вершина в точке $(1,-1)$.
Уравнение имеет форму
$\frac{\left( x-h\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left( y-k\right) ^{2}}{ a^{2}}=1$, где $(h,k)=(1,3)$, поэтому расстояние между фокусом и вершиной равно

$d(F,V)=\left\vert a-c\right\vert \Longrightarrow 1=a-c$ и $F:(1,0)=(h,k-c)$

Тогда $3-c=0\Longrightarrow c=3\Longrightarrow 1=a-c\Longrightarrow a=4\Longrightarrow $ поэтому $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

Тогда $b^{2}=a^{2}-c^{2}=16-9=7$
Поэтому уравнение эллипса это

$\frac{\left( x-1\right) ^{2}}{7}+\frac{\left( y-3\right)^{2}}{16}=1$

Решение:
Ответ: $\frac{\left( x-5\right) ^{2}}{9}+\frac{\left( y+7\right) ^{2}}{16}=1$

Большая ось вертикальна, поэтому уравнение имеет форму
$\frac{\left( x-h\right)^{2}}{b^{2}}+\frac{\left( y-k\right)^{2}}{a^{2}}=1$
$(h,k)=(5,-7)$ и так как длина большой оси равна $8\Longrightarrow 2a=8\Longrightarrow a=4$.
Длина малой оси равна $6\Longrightarrow 2b=6\Longrightarrow b=3$.

Поэтому уравнение эллипса это
$\frac{\left( x-5\right)^{2}}{9}+\frac{\left( y+7\right)^{2}}{16}=1$

Решение:
Ответ: $\frac{4\left( x-\frac{15}{2}\right) ^{2}}{121}+\frac{\left(y-4\right) ^{2}}{18}=1$

Так как вершины это $V_{1}(2,4),V_{2}(13,4)$ то уравнение имеет форму
$\frac{\left( x-h\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left( y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1$ и
$V_{1}(2,4)=(h-a,k)\qquad V_{2}(13,4)=(h+a,k)$
Так как $k=4$ и $\left\{ \begin{array}{c} h-a=2 \\ h+a=13 \end{array} \right\} \Longrightarrow h=\frac{15}{2},a=\frac{11}{2}$

Фокус эллипса находится в точке $(4,4)=(h-c,k)\Longrightarrow h-c=4\Longrightarrow c=\frac{15}{2}-4=\frac{7}{2}$

$c^{2}=a^{2}-b^{2} \Longrightarrow b^{2}=a^{2}-c^{2}\ =\frac{121}{4}-\frac{49}{4}=\frac{72}{4}=18$

Уравнение эллипса это $\frac{4\left( x-\frac{15}{2}\right)^{2}}{121}+\frac{\left( y-4\right)^{2}}{18}=1$