Конические сечения - круг, эллипс, парабола, гипербола - задачи с решениями

Решение:
$2x^{2}+2y^{2}-4x-8y=40\Longrightarrow x^{2}+y^{2}-2x-4y=20$

$\left( x-1\right) ^{2}-1+\left( y-2\right)^{2}-4=20$

$\left( x-1\right) ^{2}+\left( y-2\right)^{2}=25$

это окружность с радиусом 5 и центром$(1,2)$

Решение:
Ответ: парабола.

$4x^{2}-4xy+y^{2}-6=0$

Общее уравнение для любого конического сечения

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

A это 4.
B это -4.
C это 1.
Дискриминант равен $B^{2}-4AC=16-4(4)(1)=0\Longrightarrow $ это парабола.

Решение:
$2x^{2}-2xy+2y^{2}=1$

Общее уравнение для любого конического сечения

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

A это 4.
B это -2.
C это 2.
Дискриминант равен
$B^{2}-4AC=4-4(2)(2)=-12<0$
Коническое сечение является эллипсом.

Решение:
$x^{2}-3xy+y^{2}=5$

Общее уравнение для любого конического сечения

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

A это 1.
B это -3.
C это 1.
Дискриминант равен
$B^{2}-4AC=9-4(1)(1)=5>0\Longrightarrow $
Это гипербола

Решение:
Ответ: гипербола.

$4y^{2}-7x^{2}+1=-40y-42x$
$4y^{2}+40y-7x^{2}+42x+1=0$
$4(y^{2}+10y+25)-7(x^{2}-6x+9)-37+1=0$
$4(y+5)^{2}-7(x-3)^{2}=36$
$\frac{(y+5)^{2}}{9}-\frac{7(x-3)^{2}}{36}=1$ это гипербола

Решение:
Ответ: парабола.
$12x^{2}+72x+y=-109\Longrightarrow 12(x+3)^{2}-108+y=-109$

$\left( y+1\right) =-12(x+3)^{2}$
Это парабола.

Решение:
Ответ: окружность.

$x^{2}+y^{2}+10x-6y+25=0\Longrightarrow (x+5)^{2}-25+(y-3)^{2}-9+25=0$

Уравнение $(x+5)^{2}+(y-3)^{2}=9$ это окружность
с радиусом 3 и центром $(-5; 3)$

Решение:
Ответ: эллипс.

Дополним квадраты, тогда

$x^{2}+4y^{2}=4x-y\Longrightarrow x^{2}-4x+4y^{2}+y=0$

$\left( x-2\right)^{2}-4+4(y+\frac{1}{8})^{2}-\frac{1}{16}=0$

$\left( x-2\right)^{2}+4(y+\frac{1}{8})^{2}=4+\frac{1}{16}=\frac{65}{16}$

$\frac{\left( x-2\right) ^{2}}{\frac{65}{16}}+\frac{(y+\frac{1}{8})^{2}}{\frac{65}{64}}=1$
Уравнение эллипса.

Решение:
Ответ: эллипс

$\cot 2\theta =\frac{A-C}{B}=\frac{1-1}{1}=0$ тогда $\theta =45^{\circ }$

$x=x' \cos \theta -y' \sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}x' -\frac{\sqrt{2}}{2}y'$

$y=x' \sin \theta +y' \cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}x' +\frac{\sqrt{2}}{2}y'$

$x^{2}+xy+y^{2}=4\Longrightarrow $
$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' -\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) ^{2}+\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' -\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' +\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) +\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' +\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) ^{2}=4$

$\frac{1}{2}\left( x' \right) ^{2}-x' y' +\frac{1}{2}\left( y' \right) ^{2}+\frac{1}{2}\left( x' \right) ^{2}-\frac{1}{2} \left( y' \right) ^{2}+\frac{1}{2}\left( x' \right) ^{2}+x' y' +\frac{1}{2}\left( y' \right) ^{2}=4$

$\frac{3}{2}\left( x' \right) ^{2}+\frac{1}{2}\left( y' \right) ^{2}=4\Longrightarrow \frac{3}{8}\left( x' \right) ^{2}+\frac{1}{8} \left( y' \right) ^{2}=1\Longrightarrow $

$\frac{\left( x' \right) ^{2}}{8/3}+\frac{\left( y' \right) ^{2}}{8}=1$ это эллипс.

Решение:
Ответ: эллипс

$\cot 2\theta =\frac{5-1}{-3}=\frac{4}{3}>0$ тогда $0^{\circ }<\theta <45^{\circ }$

Теперь $\csc ^{2}2\theta =1+\cot ^{2}2\theta =1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}\Longrightarrow \csc 2\theta =\frac{5}{3}$

$\sin 2\theta =\frac{3}{5}$and $\cos 2\theta =\frac{4}{5}$ следовательно

$\sin \theta =\sqrt{\frac{1-\cos 2\theta }{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}\qquad \cos \theta =\sqrt{\frac{1+\cos 2\theta }{2}}= \sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}$
таким образом
$\sin \theta =\frac{1}{10}\sqrt{10}\qquad \cos \theta =\frac{3}{10}\sqrt{10}$

и теперь используем уравнения вращения

$x=x' \cos \theta -y' \sin \theta =\frac{3}{10}\sqrt{10}% x' -\frac{1}{10}\sqrt{10}y' $

$y=x' \sin \theta +y' \cos \theta =\frac{1}{10}\sqrt{10}x' +\frac{3}{10}\sqrt{10}y' $

Теперь подставим коническое уравнение

$5x^{2}+3xy+y^{2}=44\Longrightarrow $
$5\left( \frac{3}{10}\sqrt{10}x' -\frac{1}{10}\sqrt{10}y' \right) ^{2}+3\left( \frac{3}{10}\sqrt{10}x' -\frac{1}{10}\sqrt{10}y' \right) \left( \frac{1}{10}\sqrt{10}x' +\frac{3}{10}\sqrt{10}y' \right) +\left( \frac{1}{10}\sqrt{10}x' +\frac{3}{10}\sqrt{10}y' \right)^{2}=44$

Это приводит к $\frac{x'^{2}}{8}+\frac{y'^{2}}{88}=1$
Таким образом это эллипс.

Решение:
Ответ: парабола
$\cot 2\theta =\frac{A-C}{B}=\frac{1-1}{-2}=0$
тогда $\theta =45^{\circ }$

$x=x' \cos \theta -y' \sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}x' -\frac{\sqrt{2}}{2}y' $

$y=x' \sin \theta +y' \cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}x' +\frac{\sqrt{2}}{2}y' $

$x^{2}-2xy+y^{2}=8x+8y\Longrightarrow $
$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' -\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) ^{2}-2\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' -\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' +\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) +\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' +\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) ^{2} =8\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' -\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) +8\left( \frac{\sqrt{2}}{2}x' +\frac{\sqrt{2}}{2}y' \right) $

$\frac{1}{2}\left( x' \right) ^{2}-x' y' +\frac{1}{2}\left( y' \right) ^{2}-\left( x' \right) ^{2}+\left( y' \right)^{2}+\frac{1}{2}\left( x' \right) ^{2}+x' y' +\frac{1}{2}\left( y' \right) ^{2}=4\sqrt{2}x' $

$2\left( y' \right)^{2}=4\sqrt{2}x' \Longrightarrow \left( y' \right)^{2}=2\sqrt{2}x'$
Коническое сечение является параболой.

Решение:
Ответ: гипербола

$\cot 2\theta =\frac{A-C}{B}=\frac{1-0}{-4}=\frac{1}{4}$
тогда $0^{\circ }<\theta <45^{\circ }$

$2\theta =\text{arccot}\frac{1}{4}= 1,3258\Longrightarrow \theta =\frac{1,3258}{2}\cdot \frac{180}{\pi }= 37,981^{\circ }$

тогда $\cos 37,981^{\circ }=0,788$
$\sin 37,981^{\circ }=0,615$ then
$x=x' \cos \theta -y' \sin \theta =0,788\,x' -0,615y' $

$y=x' \sin \theta +y' \cos \theta =0,615x' +0,788\,y' $

$x^{2}+4xy=16\Longrightarrow \left( 0,788\,x' -0,615y' \right)^{2}+4\left( 0,788x' -0,615y' \right) \left( 0,615x' +0,788 y' \right) =16$

$\left( 0,788\,x' \right) ^{2}-0,969\,x' y' +\left(0,615y' \right)^{2}+4(0,485x'^{2}+0,621x' y'-0,378\,x' y' -0,969\,y'^{2}=16$

$(0,788^{2}+4\cdot 0,485)x'^{2}+(0,615^{2}-4\cdot 0,969)y'^{2}=16$

$2,560\,x'^{2}-3,498y'^{2}=16\Longrightarrow \frac{2,560}{16}\,x'^{2}-\frac{3,498}{16}y'^{2}=1$
Коническое сечение является гиперболой.

Решение:
Ответ: гипербола

$\cot 2\theta =\frac{A-C}{B}=\frac{1+2}{-4}=\frac{3}{4}$ тогда $0^{\circ }<\theta <45^{\circ }$ $2\theta =\text{arccot}\frac{3}{4}=0,927\,\cdot \frac{180}{\pi }=53,\,11\Longrightarrow \theta =\frac{53,\,11}{2}\approx 27^{\circ }$

$\cos 27^{\circ }=0,891\,\qquad \sin 27^{\circ }=0,454$ тогда

$x=x' \cos \theta -y' \sin \theta =0,891\,x'-0,454y' $
$y=x' \sin \theta +y' \cos \theta =0,454x' + 0,891\,\,y' $
$x^{2}+4xy-2y^{2}-6=0\Longrightarrow $
$\left( 0,891\,x' -0,454y' \right) ^{2}+4\left( 0,891\,x' -0,454y' \right) \left( 0,454x' +0,891\,\,y' \right) -2\left( 0,454x' +0,891\,\,y' \right)^{2}-6=0$

$\left( 0,891x' \right)^{2}-2\left( \left( 0,891\right) \left( 0,454\right)x' y' \right) +\left( 0,454y' \right) ^{2}+4\left( \left( 0,891\right) \left( 0,454\right)x'^{2}+\left(0,891\right) ^{2}x' y' -\left( 0,454\right) ^{2}x' y' -\left( 0,891\right) \left( 0,454\right)y'^{2}\right) -2(\left( 0,454x' \right)^{2}+2\left( \left( 0,454\right) \left(0,891\right) x'y' \right) +\left( 0,891\right) y'^{2})-6=0$

После упрощения, мы имеем
$2x'^{2}-3y'^{2}=6\Longrightarrow \frac{x'^{2}}{3}-\frac{y'^{2}}{2}=1$
Коническое сечение является гиперболой.