Применение производных - задачи с решениями

Решение:
$y=\frac{x^{3}}{4}-3x\Longrightarrow y'=\frac{3}{4}x^{2}-3$

Решаем уравнение $y'=0$:

$\frac{3}{4}x^{2}=3\Longrightarrow x^{2}=4\Longrightarrow x=\pm 2$

Промежутки монотонности: $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

Определим знак производной в точке из каждого промежутка:

$y'(-3)=\frac{3}{4}(-3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, значит функция возрастает на $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(0)=\frac{3}{4}(0)^{2}-3=-3<0$, значит функция убывает на $\left( -2,2\right)$

$y'(3)=\frac{3}{4}(3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, значит функция возрастает на $\left( 2,\infty \right)$

Ответ: возрастает на $\left( -\infty ,-2\right)$ и $\left( 2,\infty \right)$, убывает на $\left( -2,2\right)$

Решение:
$f(x)=x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-4x=0$
Решаем уравнение:

$4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=0\Longrightarrow x=0,\ -1,\ 1$

Промежутки монотонности: $(-\infty ,-1),\ (-1,0),\ (0,1),\ (1,\infty )$

Вычислим $f'(a)$ для точки $a$ из каждого промежутка:

$f'(-2)=4(-2)^{3}-4(-2)=-32+8<0$, значит $f$ убывает на $(-\infty ,-1)$

$f'(-\frac{1}{2})=4\left( -\frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( -\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{2}+2>0$, значит $f$ возрастает на $(-1,0)$

$f'(\frac{1}{2})=4\left( \frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( \frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}-2<0$, значит $f$ убывает на $(0,1)$

$f'(2)=4(2)^{3}-4(2)=32-8>0$, значит $f$ возрастает на $(1,\infty )$

Утверждение (i) неверно, так как в точке $x=0$ возрастание сменяется убыванием.

Ответ: (ii), (iii), (iv) верны.

Решение:
$h(x)=27x-x^{3}\Longrightarrow h'(x)=27-3x^{2}=0\Longrightarrow x=\pm 3$

Промежутки монотонности: $\left( -\infty ,-3\right),\ \left( -3,3\right),\ \left( 3,\infty \right)$

$h'(-4)=27-3\left( -4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ функция убывает на $\left( -\infty ,-3\right)$

$h'(0)=27-3\left( 0\right)^{2}=27>0\Longrightarrow$ функция возрастает на $\left( -3,3\right)$

$h'(4)=27-3\left( 4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ функция убывает на $\left( 3,\infty \right)$

Ответ: возрастает на $\left( -3,3\right)$ и убывает на $\left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 3,\infty \right)$

Решение:
$y=x+\frac{4}{x}\Longrightarrow y'=1-\frac{4}{x^{2}}=\frac{x^{2}-4}{x^{2}}$

$y'=0$ при $x^{2}-4=0$, то есть $x=\pm 2$. Точка $x=0$ не входит в область определения, но тоже разбивает числовую прямую.

Промежутки монотонности: $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,0\right),\ \left( 0,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

$y'(-3)=\frac{9-4}{9}>0$, значит функция возрастает на $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(-1)=\frac{1-4}{1}<0$, значит функция убывает на $\left( -2,0\right)$

$y'(1)=\frac{1-4}{1}<0$, значит функция убывает на $\left( 0,2\right)$

$y'(3)=\frac{9-4}{9}>0$, значит функция возрастает на $\left( 2,\infty \right)$

Ответ: возрастает на $\left( -\infty ,-2\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ и убывает на $\left( -2,0\right) \cup \left( 0,2\right)$

Решение:
Сначала найдём критические точки:

$f'(x)=2\left( x-1\right) \left( x+3\right) +\left( x-1\right)^{2}$

$f'(x)=2x^{2}+4x-6+x^{2}-2x+1=3x^{2}+2x-5=0$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2\pm 8}{6}\Longrightarrow x=1$ и $x=-\frac{5}{3}$

$f(1)=0$ и $f\left( -\frac{5}{3}\right) =\left( -\frac{8}{3}\right)^{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{256}{27}$, значит критические точки — $\left( 1,0\right)$ и $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$, и утверждение a) верно.

Теперь определим знак $f'$ на каждом промежутке:

$f'(-2)=12-4-5=3>0$, значит $f$ возрастает на $\left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right)$

$f'(0)=-5<0$, значит $f$ убывает на $\left( -\frac{5}{3},1\right)$

$f'(2)=12+4-5=11>0$, значит $f$ возрастает на $\left( 1,\infty \right)$

Это доказывает b). Производная меняет знак с $+$ на $-$ при $x=-\frac{5}{3}$ и с $-$ на $+$ при $x=1$, поэтому в точке $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$ максимум, а в точке $\left( 1,0\right)$ минимум, что доказывает c).

Ответ: все верны.

Решение:
$f(x)=x^{4}-32x+4\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-32=0$

$4x^{3}=32\Longrightarrow x^{3}=8\Longrightarrow x=2$

Значит единственная критическая точка — $x=2$, а не $x=4$: утверждение a) неверно.

$f'(0)=-32<0$, значит функция убывает на $\left( -\infty ,2\right)$, и утверждение b) неверно.

$f'(3)=108-32>0$, значит функция возрастает на $\left( 2,\infty \right)$. Производная меняет знак с $-$ на $+$ при $x=2$, поэтому там минимум и утверждение c) верно.

Ответ: верно только c).

Решение:
$f(x)=\left( x+2\right)^{2/3}\Longrightarrow f'(x)=\frac{2}{3}\left( x+2\right)^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x+2}}$

Производная нигде не равна нулю, но не существует при $x=-2$. Так как $f(-2)=0$, единственная критическая точка — $\left( -2,0\right)$, и утверждение a) неверно.

При $x<-2$ имеем $\sqrt[3]{x+2}<0$, значит $f'(x)<0$ и функция убывает на $\left( -\infty ,-2\right)$

При $x>-2$ имеем $\sqrt[3]{x+2}>0$, значит $f'(x)>0$ и функция возрастает на $\left( -2,\infty \right)$

Это в точности противоположно утверждению b), поэтому b) неверно.

Производная меняет знак с $-$ на $+$ при $x=-2$, поэтому точка $\left( -2,0\right)$ — минимум, а не максимум, и c) неверно.

Ответ: все неверны.

Решение:
Дважды дифференцируем:

$f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=x^{3}-4x\Longrightarrow f''(x)=3x^{2}-4$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Промежутки выпуклости: $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

Вычислим $f''(c)$ в точке $c$ из каждого промежутка:

$f''(-2)=3\cdot 4-4=8>0\Longrightarrow f$ выпукла вниз на $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(0)=-4<0\Longrightarrow f$ выпукла вверх на $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(2)=8>0\Longrightarrow f$ выпукла вниз на $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

$f\left( \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) =\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{9}-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{20}{9}$

В обеих точках вторая производная меняет знак, значит точки перегиба — $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$ и $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$

Ответ: C

Решение:
Дважды дифференцируем:

$f(x)=2x^{4}-8x+3\Longrightarrow f'(x)=8x^{3}-8\Longrightarrow f''(x)=24x^{2}$

Вторая производная равна нулю только при $x=0$, но знак при этом не меняется, поэтому точки перегиба нет.

$f''(x)=24x^{2}\geq 0$ значит функция выпукла вниз на $\left( -\infty ,\infty \right)$.

Ответ: A

Решение:
Дважды дифференцируем:

$y=-x^{3}+3x^{2}-2\Longrightarrow y'=-3x^{2}+6x\Longrightarrow y''=-6x+6$

$y''=0\Longrightarrow x=1$

Промежутки выпуклости: $\left( -\infty ,1\right)$, $\left( 1,\infty \right)$

Определим знак второй производной:

$y''(0)=6>0$, значит функция выпукла вниз на $\left( -\infty ,1\right)$

$y''(2)=-6<0$, значит функция выпукла вверх на $\left( 1,\infty \right)$

Вторая производная меняет знак при $x=1$.

Ответ: B

Решение:
Дважды дифференцируем:

$f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x-1\Longrightarrow f'(x)=-3x^{2}+12x-9\Longrightarrow f''(x)=-6x+12$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=2$

Промежутки выпуклости: $\left( -\infty ,2\right)$, $\left( 2,\infty \right)$

Определим знак второй производной:

$f''(0)=12>0$, значит функция выпукла вниз на $\left( -\infty ,2\right)$

$f''(3)=-6<0$, значит функция выпукла вверх на $\left( 2,\infty \right)$

Вторая производная меняет знак при $x=2$.

Ответ: D

Решение:
Найдём критические точки:

$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)=0$ значит $x=0$ и $x=3$

Вторая производная равна $f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2)$

При $x=3$ имеем $f''(3)=36>0$, значит в точке $\left( 3,-25\right)$ минимум.

При $x=0$ производная $f'(x)=4x^{2}(x-3)$ не меняет знак, поэтому экстремума там нет.

$f(3)=81-108+2=-25$

$f''$ меняет знак при $x=0$ и при $x=2$, поэтому точки перегиба — $\left( 0,2\right)$ и $\left( 2,-14\right)$.

$f''(-1)=36>0,\ f''(1)=-12<0,\ f''(3)=36>0$, значит $f$ выпукла вниз на $\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ и выпукла вверх на $\left( 0,2\right)$.

Ответ: A

Решение:
Производная равна $f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Она нигде не равна нулю и не существует при $x=0$, поэтому единственная критическая точка — $\left( 0,-3\right)$.

При $x<0$ имеем $f'(x)<0$, а при $x>0$ имеем $f'(x)>0$, значит функция сначала убывает, а затем возрастает: в точке $\left( 0,-3\right)$ минимум.

Вторая производная равна $f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-4/3}=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^{4}}}$

Она отрицательна при всех $x\neq 0$, значит график выпуклый вверх на $\left( -\infty ,0\right)$ и на $\left( 0,\infty \right)$, и точек перегиба нет.

Ответ: C

Решение:
По правилу дифференцирования сложной функции:

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \cdot \left( 5\left( x^{2}+3\right)^{4}\cdot 2x+1\right)$

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \left( 10x\left( x^{2}+3\right)^{4}+1\right)$

Подставляем $x=-1$:

$\left( -1\right)^{2}+3=4,\ 4^{5}=1024,\ 4^{4}=256$

$f'(-1)=2\left( 1024-1\right) \left( 10\cdot \left( -1\right) \cdot 256+1\right) =2\cdot 1023\cdot \left( -2559\right)$

$f'(-1)=-5235714$

Ответ: $f'(-1)=-5235714$

Решение:
По правилу дифференцирования сложной функции:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{x}}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{x}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставляем $x=4$:

$\sqrt{4}=2,\ \sqrt{2+2}=2,\ \sqrt{2+2}=2$

$f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{64}$

Ответ: $f'(4)=\frac{1}{64}$

Решение:
Дифференцируем:

$f(x)=\sqrt{25-x^{2}}\Longrightarrow f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}$

Угловой коэффициент касательной при $x=3$ равен $f'(3)=\frac{-3}{\sqrt{25-9}}=\frac{-3}{4}$

Уравнение касательной, проходящей через точку $(3,4)$:

$y-4=-\frac{3}{4}\left( x-3\right)$

$4y-16=-3x+9$

$4y+3x=25$

Ответ: A

Решение:
При $t=\frac{\pi }{8}$ имеем $12t=\frac{3\pi }{2}$, значит $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$

Положение равно $y=\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot \left( -1\right) =\frac{1}{4}$ м

Дифференцируем, чтобы найти скорость:

$y'=-\frac{12}{3}\sin 12t-\frac{12}{4}\cos 12t=-4\sin 12t-3\cos 12t$

$y'\left( \frac{\pi }{8}\right) =-4\cdot \left( -1\right) -3\cdot 0=4$, значит скорость равна $4$ м/с

Ответ: A

Решение:
Так как $\left\vert \cos 8t\right\vert \leq 1$, наибольшее значение $\theta $ равно $0{,}2$ рад, и достигается при $\cos 8t=1$.

Дифференцируем по времени: $\theta =0{,}2\cos 8t\Longrightarrow \frac{d\theta }{dt}=-1{,}6\sin 8t$

Скорость изменения при $t=3$ секунды равна:

$\frac{d\theta }{dt}(3)=-1{,}6\sin \left( 8\cdot 3\right) =-1{,}6\sin 24\approx -1{,}6\cdot \left( -0{,}9056\right) \approx 1{,}449$ рад/с

(угол $8\cdot 3=24$ измеряется в радианах, а не в градусах)

Ответ: C