Производные - задачи с решениями

Решение:
Ответ: [tex]f\prime (x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]

Решение:
[tex]f\prime (x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{\left( x+h\right) ^{3}-12\left( x+h\right) -\left( x^{3}-12x\right) }{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-12x-12h-x^{3}+12x}{h}[/tex]

[tex]f\prime (x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{ 3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-12h}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{h\left( 3x^{2}+3xh+h^{2}-12\right) }{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\left( 3x^{2}+3xh+h^{2}-12\right) [/tex]

[tex]f\prime (x)=3x^{2}-12[/tex]

Решение:
[tex]f\prime (x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h+4}-\sqrt{x+4}}{h}=[/tex]

Избавляемся от иррациональности в числителе

[tex]f\prime (x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h+4}-\sqrt{x+4}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h+4}-\sqrt{x+4}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h+4}+\sqrt{x+4}}{\sqrt{x+h+4}+\sqrt{x+4}}[/tex]

Применяем в числителе формулу сокращённого умножения [tex]\left( a+b\right) \left(a-b\right) =a^{2}-b^{2}[/tex]

Итак, [tex]f\prime (x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{\left( \sqrt{x+h+4}\right) ^{2}-\left( \sqrt{x+4}\right) ^{2}}{h\left( \sqrt{x+h+4}+\sqrt{x+4}\right) }=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{x+h+4-x-4}{h\left( \sqrt{x+h+4}+\sqrt{x+4}\right) }=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{h}{h\left( \sqrt{x+h+4}+\sqrt{x+4}\right) }[/tex]
и упрощаем [tex]h.\Longrightarrow f\prime (x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{1}{\left( \sqrt{x+h+4}+\sqrt{x+4}\right) }=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}[/tex]

[tex]f\prime (x)=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}[/tex]

Решение:
Касательная к графику функции [tex]f(x),[/tex] в точке [tex](x_{0},y_{0})[/tex]

имеет уравнение [tex]y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})[/tex]

[tex]f'(x)=2x+3\Longrightarrow f'(-2)=2\left( -2\right) +3=-1 [/tex]
Итак [tex]y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})\Longrightarrow y-2=-1(x+2)\Longrightarrow y+x=0[/tex]

— это касательная.

Решение:
Касательная к графику функции [tex]f(x),[/tex] в точке [tex](x_{0},y_{0})[/tex]

имеет уравнение [tex]y-y_{0}=f\prime (x_{0})(x-x_{0})[/tex]

[tex]f'(x)=2x+3\Longrightarrow f' (-2)=2\left( -2\right)+3=-1[/tex] Тогда

[tex]y-y_{0}=f\prime (x_{0})(x-x_{0})\Longrightarrow y-2=-1(x+2)\Longrightarrow y+x=0[/tex] — это касательная.

Решение:
Угловой коэффициент прямой [tex]3x-y-4=0[/tex] равен [tex]m=3[/tex], а так как касательная параллельна этой прямой, их угловые коэффициенты равны. Поэтому, если
[tex]y=mx+b=3x+b[/tex]

[tex]y=3x+b[/tex] — вид уравнения касательной, нужно найти [tex]b[/tex]

Пусть [tex](x_{0},y_{0})[/tex] — точка касания, общая для прямой и графика функции.

Тогда [tex]3=m=f'(x_{0})\Longrightarrow 3x_{0}^{2}=3\Longrightarrow x_{0}=\pm 1[/tex]

После подстановки в функцию
получаем [tex]y_{1}=3\qquad y_{2}=1[/tex]
тогда возможные точки касания — [tex](1,3)[/tex] и [tex](-1,1)\Longrightarrow b=y-3x=3-3=0[/tex] или [tex]b=1+3=4[/tex]

Есть два решения [tex]\left\{ \begin{array}{c} L_{1}:y=3x \\ L_{2}:y=3x+4 \end{array} \right\}[/tex]

Решение:
[tex]f'(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\textbf{\ }\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{\left( \left( x+h\right)^{3}+2\left( x+h\right) ^{2}-1\right) -\left( x^{3}+2x^{2}-1\right) }{h}[/tex]

[tex]f'(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{\left( \left(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\right) +2\left( x^{2}+2xh+h^{2}\right) -1\right) -\left( x^{3}+2x^{2}-1\right) }{h}[/tex]

[tex]f'(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+2x^{2}+4xh+2h^{2}-1-x^{3}-2x^{2}+1}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+4xh+2h^{2}}{h}[/tex]

[tex]f'(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{h(3x^{2}+3xh+h^{2}+4x+2h)}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{\lim}(3x^{2}+3xh+h^{2}+4x+2h)=3x^{2}+4x[/tex]

Тогда [tex]f'(c)=f'(-2)=3\left( -2\right) ^{2}+4\left(-2\right) =12-8=4[/tex]

Ответ: [tex]f'(c)=4[/tex]

Решение:
Мы знаем, что [tex]f\prime (x)=\left\{ \begin{array}{c} 1\quad \qquad x\leq 1 \\ 2x\quad \ \ \quad x>1 \end{array} \right\} [/tex]

[tex]f'(0)=1[/tex]

Решение:
[tex]f' (x)=\left\{ \begin{array}{c} 2x\quad \qquad x\leq 2 \\ 4\quad \ \ \quad x>2% \end{array}% \right\} \Longrightarrow f' (3)=4[/tex]

Решение:
[tex]f\prime (t)=\frac{d}{dt}t^{3}+\frac{d}{dt}5t^{2}-\frac{d}{dt}3t+\frac{d}{dt}8=3t^{2}+5\frac{d}{dt}t^{2}-3\frac{d}{dt}t+0[/tex]

[tex]f\prime (t)=3t^{2}+10t-3[/tex]

Решение:
[tex](i)[/tex] [tex]f(x)=x^{2}+1\Longrightarrow f'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}+\frac{d}{dx}1=2x[/tex] — верно

[tex](ii)[/tex] [tex]g(x)=\frac{x-1}{1-x}=\frac{x-1}{-(x-1)}=-1\Longrightarrow g'(x)=0[/tex] — неверно

[tex](iii)[/tex] используем правило дифференцирования сложной функции.

[tex]h(x)=\sqrt{x^{3}-x}\quad \Longrightarrow h'(x)=\frac{d/dx\left( x^{3}-x\right) }{2\sqrt{x^{3}-x}\quad }=\frac{3x^{2}-1}{2\sqrt{x^{3}-x}\quad }[/tex] — верно

Решение:
Ответ: [tex](i),(ii)[/tex] и [tex](iii)[/tex] неверны

[tex](i)[/tex] используем правило сложной функции [tex]f(x)=\sin (x^{3}-x+1)\Longrightarrow [/tex]

[tex]f'(x)=\cos (x^{3}-x+1)\cdot \frac{d}{dx}(x^{3}-x+1)=\cos (x^{3}-x+1)\cdot (3x^{2}-1)[/tex]

[tex](i)[/tex] неверно

[tex](ii)[/tex] [tex]g(x)=e^{x^{3}+x^{2}}[/tex] по правилу сложной функции

[tex]g' (x)=\frac{d}{dx}(x^{3}+x^{2})e^{x^{3}+x^{2}}[/tex]

[tex]g' (x)=(3x^{2}+2x)e^{x^{3}+x^{2}}[/tex] [tex](ii)[/tex] — неверно

[tex](iii)[/tex] [tex]h(x)=\sqrt{\ln (x^{3}+1)}[/tex] по правилу сложной функции [tex]h' (x)=\frac{d/dx(\ln (x^{3}+1))}{2\sqrt{\ln (x^{3}+1)}}[/tex]

[tex]h' (x)=\frac{d/dx(\ln (x^{3}+1))}{2\sqrt{\ln (x^{3}+1)}}=\frac{d/dx(x^{3}+1)}{2(x^{3}+1)\sqrt{\ln (x^{3}+1)}}=\frac{3x^{2}}{2(x^{3}+1)\sqrt{\ln (x^{3}+1)}}[/tex]

[tex](iii)[/tex] неверно

Решение:
[tex]\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)=\frac{d}{dx}(\frac{1}{x}-\sin (x^{2}))+\frac{d}{dx}(x^{2}+\cos (2x+1))[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)=-\frac{1}{x^{2}}-\cos (x^{2})\frac{d}{dx}% x^{2}+2x-\sin (2x+1)\frac{d}{dx}(2x+1)=\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)=-\frac{1}{x^{2}}-2x\cos (x^{2})+2x-2\sin (2x+1)=2x-\frac{1}{x^{2}}-2(x\cos (x^{2})+\sin (2x+1))[/tex]

Ответ:

[tex]\frac{d}{dx}(f(x)+g(x)=2x-\frac{1}{x^{2}}-2(x\cos (x^{2})+\sin(2x+1))[/tex]

Решение:
Применяем правило производной произведения.

[tex]\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=g(x)\frac{d}{dx}f(x)+f(x)\frac{d}{dx}g(x)[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}(e^{x^{2}+x}\cdot \sqrt{x^{2}-x+1})=\sqrt{x^{2}-x+1}\frac{d}{dx}e^{x^{2}+x}+e^{x^{2}+x}\frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}-x+1}[/tex]

Применяем правило сложной функции.

[tex]\frac{d}{dx}(e^{x^{2}+x}\cdot \sqrt{x^{2}-x+1})=\sqrt{x^{2}-x+1}e^{x^{2}+x}\frac{d}{dx}\left( x^{2}+x\right) +e^{x^{2}+x}\frac{d/dx\left( x^{2}-x+1\right) }{2\sqrt{x^{2}-x+1}}[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}(e^{x^{2}+x}\cdot \sqrt{x^{2}-x+1})=[/tex] [tex]\left( 2x+1\right) \sqrt{x^{2}-x+1}e^{x^{2}+x}+\frac{\left( 2x-1\right) }{2\sqrt{x^{2}-x+1}}e^{x^{2}+x}[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}(e^{x^{2}+x}\cdot \sqrt{x^{2}-x+1})=e^{x^{2}+x}\left[ \left(2x+1\right) \sqrt{x^{2}-x+1}+\frac{\left( 2x-1\right) }{2\sqrt{x^{2}-x+1}}\right] [/tex]

Решение:
Применяем правило производной частного:
[tex]\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{g(x)\frac{d}{dx}f(x)-f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{g^{2}(x)}[/tex]

[tex]\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\ln (x^{2}-x+1)\frac{d}{dx}\left( \sqrt{2x^{3}-3x^{2}+5}\right) -\sqrt{2x^{3}-3x^{2}+5}\frac{d}{dx}\ln (x^{2}-x+1)}{\ln ^{2}(x^{2}-x+1)}[/tex]

Применяем правило сложной функции.

[tex]\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\ln (x^{2}-x+1)\left( \frac{d/dx(2x^{3}-3x^{2}+5)}{2\sqrt{2x^{3}-3x^{2}+5}}\right) -\sqrt{2x^{3}-3x^{2}+5}\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}}{\ln ^{2}(x^{2}-x+1)}=\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\ln (x^{2}-x+1)\left( \frac{6x^{2}-6x}{2\sqrt{2x^{3}-3x^{2}+5}}\right) -\sqrt{2x^{3}-3x^{2}+5}\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}}{\ln ^{2}(x^{2}-x+1)}[/tex]

Решение:
Если прямая [tex]y=5x-4[/tex] является касательной к графику, то угловой коэффициент [tex]m=f'(x_{0})=5[/tex]

где [tex](x_{0},y_{0})[/tex] — точка касания.

[tex]f'(x_{0})=2x_{0}-k[/tex]

[tex]2x_{0}-k=5[/tex]
Так как [tex](x_{0},y_{0})[/tex] принадлежит и прямой, и параболе, получаем, что [tex]y_{0}=5x_{0}-4[/tex] и [tex]y_{0}=x_{0}^{2}-kx_{0}[/tex]. Имеем следующую систему
[tex]\left\{ \begin{array}{c} 2x_{0}-k=5 \\ y_{0}=5x_{0}-4 \\ y_{0}=x_{0}^{2}-kx_{0} \end{array}\right\} [/tex] Из первого уравнения [tex]k=2x_{0}-5[/tex]
и подставляем в третье уравнение [tex]y_{0}=x_{0}^{2}-\left(2x_{0}-5\right) x_{0}=x_{0}^{2}-2x_{0}^{2}+5x_{0}[/tex]

Система сводится к двум нелинейным уравнениям [tex]\left\{ \begin{array}{c} y_{0}=5x_{0}-4 \\ y_{0}=-x_{0}^{2}+5x_{0} \end{array} \right\} \Longrightarrow -x_{0}^{2}+5x_{0}=5x_{0}-4\Longrightarrow x_{0}^{2}=4\Longrightarrow x_{0}=\pm 2[/tex]

[tex]k=2x_{0}-5[/tex]

[tex]k=\pm 4-5\qquad [/tex]тогда [tex]k=-1[/tex] или [tex]k=-9[/tex]

Решение:
Так как прямая [tex]y=4x-1[/tex] является касательной к графику, угловой коэффициент [tex]m=f'(x_{0})=4[/tex] где [tex](x_{0},y_{0})[/tex] — точка касания [tex]f'(x_{0})=4kx_{0}^{3}[/tex] тогда

[tex]4kx_{0}^{3}=4[/tex]
Так как точка [tex](x_{0},y_{0})[/tex] принадлежит и прямой, и графику функции, получаем, что [tex]y_{0}=4x_{0}-1[/tex] и [tex]y_{0}=kx_{0}^{4}[/tex].

Получаем следующую систему
[tex]\left\{ \begin{array}{c} 4kx_{0}^{3}=4 \\ y_{0}=4x_{0}-1 \\ y_{0}=kx_{0}^{4} \end{array} \right\}[/tex]
После исключения [tex]k[/tex] из первого и третьего уравнений
[tex]k=\frac{1}{x_{0}^{3}}\Longrightarrow y_{0}=\frac{1}{x_{0}^{3}}x_{0}^{4}=x_{0}[/tex]
Получаем следующую систему

[tex]\left\{ \begin{array}{c} y_{0}=x_{0} \\ y_{0}=4x_{0}-1 \end{array} \right\} \Longrightarrow x_{0}=4x_{0}-1\Longrightarrow 3x_{0}=1\Longrightarrow x_{0}=\frac{1}{3}[/tex]

Итак [tex]k=\frac{1}{\left( \frac{1}{3}\right)^{3}}=27[/tex]

Решение:
Сначала найдём точки пересечения обеих парабол.

[tex]y=x^{2}[/tex], [tex]y=-x^{2}+5\Longrightarrow -x^{2}+5=x^{2}\Longrightarrow 2x^{2}=5[/tex]

[tex]x_{0}=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}=\pm 1{,}581\,\Longrightarrow y_{0}=x_{0}^{2}=\frac{5}{2}=2{,}5[/tex]

Тогда [tex]\left( x_{0},y_{0}\right) =\left( \pm 1{,}581,2{,}5\right)[/tex] — точки пересечения.

Находим угловой коэффициент в точке [tex]\left( -1{,}581,2{,}5\right)[/tex]
[tex]y' =\frac{d}{dx}\left( -x^{2}+5\right) [/tex]

[tex]y' =-2x\Longrightarrow m=-2\left( -1{,}581\right) =3{,}162[/tex]

Уравнение [tex]L_{1}[/tex] имеет вид
[tex]y-y_{0}=m(x-x_{0})\Longrightarrow y-y_{0}=m(x-x_{0})\Longrightarrow y-2{,}5=3{,}162(x+1{,}581)[/tex]

[tex]y-3{,}162x=2{,}5+3{,}162\cdot 1{,}581=7{,}5[/tex]
[tex]L_{1}:y-3{,}162x=7{,}5[/tex]

Находим угловой коэффициент в точке [tex]\left( 1{,}581,2{,}5\right)[/tex], [tex]y' =\frac{d}{dx}\left( -x^{2}+5\right) [/tex]
[tex]y' =-2x\Longrightarrow m=-2\left( 1{,}581\right) =-3{,}162[/tex]

Итак, уравнение [tex]L_{2}[/tex] имеет вид
[tex]y-y_{0}=m(x-x_{0})\Longrightarrow y-y_{0}=m(x-x_{0})\Longrightarrow y-2{,}5=-3{,}162(x-1{,}581)[/tex]

[tex]y+3{,}162x=2{,}5+3{,}162\cdot 1{,}581=7{,}5[/tex]
[tex]L_{2}:y+3{,}162x=7{,}5[/tex]

Решение:
а) Функция положения имеет вид [tex]s(t)=-16t^{2}+v_{0}t+1362[/tex] так как тело находится в свободном падении [tex]v_{0}=0[/tex] тогда [tex]s(t)=-16t^{2}+1362[/tex] — функция положения монеты. Функция скорости получается дифференцированием
[tex]V(t)=\frac{d}{dt}s(t)=-32t\Longrightarrow V(t)=-32t [/tex]

б) Средняя скорость на промежутке [tex]\left[ 1,2\right] [/tex] равна
[tex]V(2)-V(1)=-32(2)+32(1)=-32\frac{ft}{\sec }[/tex]

в) Мгновенная скорость при [tex]t=1,t=2[/tex] [tex]V(1)=-32(1)=-32\frac{ft}{\sec }\qquad V(2)=-32(2)=-64\frac{ft}{\sec }[/tex]

г) Когда монета достигает земли [tex]s(t)=0[/tex]. Значит, нужно решить [tex]s(t)=-16t^{2}+1362=0[/tex] тогда [tex]16t^{2}=1362\Longrightarrow t^{2}=\frac{1362}{16}=85{,}125\Longrightarrow t=\sqrt{85{,}125}[/tex]
[tex]t=9{,}226\,\sec [/tex]

д) Скорость монеты в момент падения на землю [tex]V(9{,}226)=-32(9{,}226)=-295{,}23\frac{ft}{\sec }[/tex]

Решение:
Так как [tex]s_{0}=200[/tex] и [tex]v_{0}=-22ft/\sec [/tex]
Положение задаётся формулой [tex]s(t)=-16t^{2}+v_{0}t+s_{0}=-16t^{2}-22t+200[/tex]

Если вычислить функцию скорости [tex]V(t)=\frac{d}{dt}s(t)=-32t-22[/tex]

Тогда [tex]V_{1}=V(3)=-32(3)-22= -118ft/\sec [/tex]
Теперь, после спуска на [tex]108[/tex] [tex]ft[/tex] положение равно [tex]s(t)=200-108=92ft[/tex]

тогда нужно решить [tex]-16t^{2}-22t+200=92[/tex]

[tex]-16t^{2}-22t+108=0\Longrightarrow t=\frac{22\pm \sqrt{22^{2}-4\cdot (-16)\cdot (108)}}{-32}=\frac{22-86{,}0}{-32}= 2[/tex]
затем вычисляем скорость на [tex]2[/tex]-й секунде [tex]\sec \Longrightarrow V(2)=-32\left( 2\right) -22= -86ft/\sec [/tex] [tex]V_{2}=-86ft/\sec [/tex]

Решение:
Имеем, что [tex]s_{0}=0[/tex] и [tex]V_{0}=120m/s[/tex] Итак, [tex]s(t)=-4{,}9t^{2}+120t[/tex]

Вычисляем функцию скорости [tex]V(t)=\frac{d}{dt}s(t)=-9{,}8t+120[/tex]
Скорость на [tex]5[/tex]-й секунде равна [tex]V_{5}=[/tex] [tex]V(5)=-9{,}8\left( 5\right) +120=71m/s[/tex]

Скорость на [tex]10[/tex]-й секунде равна [tex]V_{10}=[/tex] [tex]V(10)=-9{,}8\left( 10\right) +120=22m/s[/tex]