Комплексные числа - задачи с решениями

Теория

Вещественная и мнимая часть комплексных чисел

Правило	Эквивалент	Экспонента
$i^1 = i$	$i^{4n + 1}$	Кратное 4 + 1 ${4n + 1, \ n \in \mathbb{Z}} = {1; 5; 9...}$
$i^2 = -1$	$i^{4n + 2}$	Кратное 4 + 2 ${4n + 2, \ n \in \mathbb{Z}} = {2; 6; 10...}$
$i^3 = -i$	$i^{4n + 3}$	Кратное 4 + 3 ${4n + 3, \ n \in \mathbb{Z}} = {3; 7; 11...}$
$i^4 = 1$	$i^{4n}$	Кратное 4 ${4n, \ n \in \mathbb{Z}} = {4; 8; 12...}$

Сложение и вычитание комплексных чисел:

Пусть (a + bi) и (c + di) два комплексных числа, тогда:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Действительная часть складывается с действительной, а мнимая с мнимой.

Умножение комплексных чисел:

Деление комплексных чисел:

$\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2+d^2}$

Задачи с решениями

Задача 1

Пусть [tex]z=(-1,2)[/tex] и [tex]w=(3,2)[/tex] — комплексные числа, записанные как упорядоченные пары [tex](a,b)=a+bi[/tex].
Вычислите [tex]5z-3w[/tex] и изобразите результат на комплексной плоскости.

$(-7,2)$

$(14,-4)$

$(-14,-4)$

$(-14,4)$

Задача 2

Пусть [tex]z=(2,-1)[/tex] и [tex]w=(3,2)[/tex] — комплексные числа, записанные как упорядоченные пары [tex](a,b)=a+bi[/tex].
Найдите [tex]x=z\overline{w}[/tex].

$(2,-7)$

$(4,-14)$

$(-4,7)$

$(4,-7)$

Задача 3

Пусть [tex]z=(3,-2)[/tex] и [tex]w=(-3,1)[/tex] — комплексные числа, записанные как упорядоченные пары [tex](a,b)=a+bi[/tex].
Найдите [tex]x=\frac{z}{w}[/tex].

$\left( -\frac{7}{10},\frac{3}{10}\right)$

$\left( -\frac{11}{10},\frac{3}{10}\right)$

$\left( -70, 30\right)$

$\left( -7, 3\right)$

Задача 4

Пусть [tex]z=(-2,3)[/tex] и [tex]w=(4,-1)[/tex] — комплексные числа, записанные как упорядоченные пары [tex](a,b)=a+bi[/tex].
Найдите [tex]x=z^{2}-w^{2}[/tex].

$(20,-4)$

$(-20,-4)$

$(10,-4)$

$(-10,-4)$

Задача 5

Пусть [tex]z=(2,4)[/tex] и [tex]w=(4,-1)[/tex] — комплексные числа, записанные как упорядоченные пары [tex](a,b)=a+bi[/tex].
Вычислите [tex]\overline{z-w}-\overline{z+w}[/tex].

$(8,-2)$

$(-8,-2)$

$(-8,2)$

$(-2,-5)$

Задача 6

Пусть [tex]z=(3,-4)[/tex] и [tex]\rho=|z|[/tex] — модуль числа [tex]z[/tex].
Вычислите [tex]x=\rho\overline{z}+\frac{10}{\rho}z[/tex].

$(7,6)$

$(23,2)$

$(21,12)$

$(19,20)$

Задача 7

Найдите квадратные корни из [tex]z=(3,4)[/tex].

$\left( 2,1\right)$

$\left(-2,-1\right)$

$\left(1,1\right)$, $\left(-1,-1\right)$

$\left( 2,1\right)$, $\left(-2,-1\right)$

Задача 8

Пусть [tex]z=(4,-3)[/tex]. Верно ли следующее утверждение?
[tex]\operatorname{Re}\left(z\overline{z}\right)=|z|^{2}[/tex]

Верно

Неверно

Задача 9

Пусть [tex]z=(4,-3)[/tex]. Верно ли следующее утверждение?
[tex]z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)[/tex]

Верно

Неверно

Задача 10

Вычислите [tex]i^{761}[/tex].

-1

-i

Задача 11

Вычислите [tex]\frac{(2-3i)-(3+2i)}{(3+2i)-(2+i)}[/tex].

$3-2i$

$3+2i$

$-3+2i$

$-3-2i$

Задача 12

Вычислите [tex]\frac{i^{326}-1}{i^{545}+1}[/tex].

$1-i$

$1+i$

$-1+i$

$-1-i$

Задача 13

Запишите число, сопряжённое к [tex]z=4+4i[/tex], в алгебраической и в тригонометрической форме.

$\overline{z}=4\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$\overline{z}=4\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$\overline{z}=4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$\overline{z}=4\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

Задача 14

Перемножьте комплексные числа [tex](5+2i)(2-3i)[/tex].

$10-6i$

$11-15i$

$16-11i$

$12-12i$

Задача 15

Разделите комплексные числа [tex]\frac{3-2i}{5+2i}[/tex].

$\frac{16}{29}i$

$\frac{3}{5}-i$

$\frac{11}{29}-\frac{16}{29}i$

$\frac{11}{29}i$

Задача 16

Пусть [tex]z=2+5i[/tex] и [tex]w=3+2i[/tex]. Вычислите [tex]\left(z\overline{w}\right)^{2}[/tex] и найдите сопряжённое ему число.

$135+352i$

$135-352i$

$16-11i$

$377-352i$

Задача 17

Пусть [tex]z=3+i[/tex], [tex]t=1+i[/tex], [tex]w=2-3i[/tex] и [tex]s=-1+2i[/tex]. Вычислите [tex]|3zt-2ws|[/tex].

$\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}$

Задача 18

Какова тригонометрическая форма комплексного числа [tex]z=-1+\sqrt{3}i[/tex]?

$z=\sqrt{3} \angle 120^{\circ}$

$z=-1\angle 120^{\circ}$

$z=2\angle 120^{\circ}$

$z=\frac{-1}{\sqrt{3}}\angle 120^{\circ}$

Задача 19

Вычислите [tex](5+2i)+(-8+3i)-(4-2i)[/tex] и запишите результат в тригонометрической форме.

$7\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$7\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$7\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

$\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

Задача 20

Найдите расстояние между комплексными числами [tex]z=2-3i[/tex] и [tex]w=-3+2i[/tex].

$5\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{5}$

$3\sqrt{2}$

Задача 21

Найдите середину отрезка с концами [tex]z=6-3i[/tex] и [tex]w=2+5i[/tex].

8+8i

4+i

4+2i

Задача 22

Пусть [tex]s[/tex] — сумма, а [tex]r[/tex] — разность [tex]z-w[/tex] комплексных чисел [tex]z=2+3i[/tex] и [tex]w=1-4i[/tex]. Найдите середину отрезка с концами [tex]s[/tex] и [tex]r[/tex].

$4+6i$

$2-3i$

$2+3i$

$3+2i$

Задача 23

Пусть [tex]z=2-i[/tex] и [tex]w=-3+2i[/tex]. Найдите середину отрезка с концами [tex]2z[/tex] и [tex]\overline{w}[/tex].

$-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$

$\frac{1}{2}+2i$

$-\frac{1}{2}-2i$

$\frac{1}{2}-2i$

Задача 24

Найдите расстояние между [tex]z=-1+i[/tex] и [tex]w=2+3i[/tex].

$\sqrt{5}$

$\sqrt{13}$

$13$

$5$

Задача 25

Пусть [tex]z=2-i[/tex], [tex]w=5+i[/tex] и [tex]t=-3+2i[/tex]. Вычислите [tex]\frac{2z}{w-t}[/tex].

$34-12i$

$\frac{34}{65}-\frac{12}{65}i$

$\frac{34}{65}+\frac{12}{65}i$

$\frac{12}{65}-\frac{34}{65}i$

Задача 26

Пусть [tex]z=2-i[/tex], [tex]w=5+i[/tex] и [tex]t=-3+2i[/tex]. Вычислите [tex]\overline{wt-3z}[/tex].

$23+10i$

$-23+10i$

$23-10i$

$-23-10i$

Правильный:

Неверный:

Неразрешенные задачи:

Предложите задачу на этой странице