Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Умножение до 5
Деление
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Площадь
Периметр
4 класс
Сложение и вычитание до 1000
Сложение, умножение, деление
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Уравнения
Отрицательные числа
Текстовые задачи
Координатная плоскость
7 класс
Уравнения
Упрощение многочленов
Свойства треугольников
Многочлены
Разложиние на множители
Текстовые задачи
Системы
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Уравнения окружности
Конические сечения
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Интегрирование по частям
Интегрирование по частям - задачи с решениями
Автор:
Prof. Hernando Guzman Jaimes (University of Zulia - Maracaibo, Venezuela)
Задача 1
Вычислите интеграл $\int x^{3}\ln\ x\ dx$ методом интегрирования по частям.
Пусть
$u=\ln x,$
$dv=x^{3}dx.$
$\int x^{3}\ln $ $x$ $dx=\frac{x^{3}}{4}\left( \frac{1}{4}\ln x+\frac{1}{4} \right) +C$
$\int x^{3}\ln $ $x$ $dx=x^{2}\left( \frac{1}{4}\ln x-\frac{1}{4} \right) +C$
$\int x^{3}\ln $ $x$ $dx=\frac{x^{3}}{4}\left( \frac{1}{4}\ln x-\frac{1}{4} \right) +C$
$\int x^{3}\ln $ $x$ $dx=\frac{x^{4}}{4}\left( \frac{1}{4}\ln x-\frac{1}{4} \right) +C$
Решение:
Мы должны найти $\int x^{3}\ln $ $x$ $dx$
$u=\ln $ $x,$ $dv=x^{3}dx.$
Тогда $du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}$ и мы применяем
$\int udv=uv-\int vdu=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\frac{1}{4}\int x^{3}dx$
Так $\int x^{3}\ln $ $x$ $dx=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\frac{1}{16}x^{4}+C=$
$x^{4}\left( \frac{1}{4}\ln x-\frac{1}{4}\right) +C$
Задача 2
Пусть $u=4x+7,$ $dv=e^{x}dx$
Вычислите $\int (4x+7)e^{x}dx$ методом интегрирования по частям.
$\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x-3\right) e^{x}+C$
$\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+3\right) e^{2x}+C$
$\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+3\right) e^{x}+C$
$\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x^{2}+3\right) e^{x}+C$
Решение:
Если $u=4x+7,$ $dv=e^{x}dx$ тогда $du=4\qquad v=\int e^{x}dx=e^{x}$
Поэтому $\int udv=uv-\int vdu$ тогда $\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+7\right) e^{x}-4\int e^{x}dx$
$\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+7\right) e^{x}-4e^{x}+C=\left(4x+3\right) e^{x}+C$
Задача 3
Вычислите $\int x\sin 3x$ $dx$ методом интегрирования по частям.
Учтите, что $u=x,$
$dv=\sin 3x$ $dx$.
$\int x\sin 3x\ dx =-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9} \sin 3x+C$
$\int x\sin 3x\ dx =-\frac{1}{3}x\sin 3x+\frac{1}{9} \cos 3x+C$
$\int x\sin 3x\ dx =-\frac{1}{3}x\sin 3x+\frac{1}{9} \sin 3x+C$
$\int x\sin 3x\ dx =-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9} \cos 3x+C$
Решение:
Пусть $u=x\qquad dv=\sin 3x$ $dx$ тогда
$du=dx\qquad v=\int \sin 3x$ $dx$
$v=-\frac{1}{3}\cos 3x$ поэтому $\int udv=uv-\int vdu$ и заменив
$\int x\sin 3x$ $dx=-\frac{1}{3}x\cos 3x-\int -\frac{1}{3}\cos 3xdx=$
$=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{3}\int \cos 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x+C$
Задача 4
Вычислите $\int x\cos 4x\ dx$, методом интегрирования по частям.
Учтите, что$ u=x,$
$dv=\cos 4x$ $dx.$
$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x+\frac{1}{16}\cos x+C$
$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin x+\frac{1}{16}\cos 4x+C$
$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x+\frac{1}{16}\cos 4x+C$
$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin x+\frac{1}{16}\cos x+C$
Решение:
Имея $u=x,$ $dv=\cos 4x\ dx$, получаем
$du=dx\qquad v=\int \cos 4x$ $dx=\frac{1}{4}\sin 4x$
тогда, если мы используем формулу $\int udv=uv-\int vdu$
$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x-\frac{1}{4}\int \sin 4xdx$ тогда
$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x+\frac{1}{16}\cos 4x+C$
Задача 5
Вычислить следующий неопределенный интеграл.
$\int \cos ^{3}x\sin x\ dx$.
$\int \cos ^{3}x\sin x\ dx=\frac{\sin ^{4}x}{2}-\frac{\sin ^{2}x}{4}+C$
$\int \cos ^{3}x\sin x\ dx=\frac{\sin ^{2}x}{2}-\frac{\sin ^{4}x}{4}+C$
$\int \cos ^{3}x\sin x\ dx=\frac{\cos ^{2}x}{2}-\frac{\sin ^{4}x}{4}+C$
$\int \cos ^{3}x\sin x\ dx=\frac{\sin ^{2}x}{2}-\frac{\cos ^{4}x}{4}+C$
Решение:
$\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=\int \cos ^{2}x\sin x\cos x$ $dx$ и теперь преобразуем
$\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$ поэтому $\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=$
$=\int \left( 1-\sin ^{2}x\right) \sin x\cos x$ $dx=\int \left( \sin x-\sin ^{3}x\right) \cos x$ $dx$
и теперь $u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx$ тогда
$\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=\int udu-\int u^{3}du=\frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{4}}{4}+C$
$\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=\frac{\sin ^{2}x}{2}-\frac{\sin ^{4}x}{4}+C$
Задача 6
Вычислить следующий неопределенный интеграл:
$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x\ dx$
$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x\ dx=\frac{\sin ^{5}x}{5}-\frac{\cos ^{7}x}{7}+C$
$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x\ dx=\frac{\cos ^{5}x}{5}-\frac{\sin ^{7}x}{7}+C$
$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x\ dx=\frac{\sin ^{7}x}{5}-\frac{\sin ^{5}x}{7}+C$
$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x\ dx=\frac{\sin ^{5}x}{5}-\frac{\sin ^{7}x}{7}+C$
Решение:
$\int \cos^{3}x\sin^{4}x\ dx=\int \cos^{2}x\sin^{4}x\cos x$ $dx$ преобразуем
$\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$
$\int \cos ^{3}x\sin^{4}x$ $dx=$
$=\int \left( 1-\sin ^{2}x\right) \sin ^{4}x\cos x$ $dx=\int \left( \sin^{4}x-\sin ^{6}x\right) \cos x\ dx$
а теперь $u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx$ тогда
$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x$ $dx=\int u^{4}du-\int u^{6}du=\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C$
Таким образом$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x$ $dx=\frac{\sin ^{5}x}{5}-\frac{\sin ^{7}x}{7}+C$
Задача 7
Вычислите следующий интеграл
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx$
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+\frac{\cos ^{5}x}{5}+C$
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=-\frac{\sin ^{3}x}{3}+\frac{\cos ^{5}x}{5}+C$
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+\frac{\sin ^{5}x}{5}+C$
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=-\frac{\sin ^{3}x}{3}+\frac{\sin ^{5}x}{5}+C$
Решение:
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=\int \sin ^{2}x\sin x\cos ^{2}x\ dx$ и так как
$\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ получаем $\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=$
$=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sin x\cos ^{2}xdx=\int \left( \cos^{2}x-\cos ^{4}x\right) \sin xdx$
Теперь используем $u=\cos x\qquad du=-\sin xdx$
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x$ $dx=-\int u^{2}du+\int u^{4}du=-\frac{u^{3}}{3}+ \frac{u^{5}}{5}+C$
тогда $\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x$ $dx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+\frac{\cos ^{5}x}{5}+C$
Задача 8
$\int \sin^{3}x\ dx=$
$\int \sin ^{3}x\ dx=-\cos x+\frac{\cos ^{2}x}{2}+C$
$\int \sin ^{3}x\ dx=-\cos x+\frac{\sin ^{3}x}{3}+C$
$\int \sin ^{3}x\ dx=-\cos x+\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$
$\int \sin ^{3}x\ dx=-\sin x+\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$
Решение:
Преобразуем, $\int \sin ^{3}x\ dx=\int \sin ^{2}x\sin x$ $dx=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sin x\ dx$
тогда $\int \sin ^{3}x$ $dx=\int \sin xdx-\int \cos ^{2}x\sin x\ dx$ и
и подставив $u=\cos x\qquad du=-\sin xdx$, получаем
$\int \sin ^{3}x$ $dx=-\cos x+\int u^{2}du=-\cos x+\frac{u^{3}}{3}+C$
Тогда $\int \sin ^{3}x$ $dx=$ $-\cos x+\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$
Задача 9
Найдите решение интеграла
$\int xe^{-2x}dx$
используя интегрирования по частям.
$\int xe^{-2x}\ dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{4}e^{-3x}+C$
$\int xe^{-2x}\ dx=\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{4}e^{-2x}+C$
$\int xe^{-2x}\ dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C$
$\int xe^{-2x}\ dx=-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x}+C$
Решение:
Мы можем сделать следующую подстановку
$u=x\qquad dv=e^{-2x}\ dx$
Так $du=dx\qquad v=\int e^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}$ теперь применим
$\int udv=uv-\int vdu\Rightarrow$
$\int xe^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\int -\frac{1}{2}e^{-2x}dx$
$\int xe^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}dx= -\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C$
Задача 10
$\int \frac{2x}{e^{x}}\ dx =$
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=e^{-x}\left( 2x-2\right) +C$
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=-e^{-x}\left( 2x^{2}+2\right) +C$
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=e^{x}\left( 2x+2\right) +C$
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=-e^{-x}\left( 2x+2\right) +C$
Решение:
Перепишим интеграл следующим образом $\int \frac{2x}{e^{x}}\ dx=2\int xe^{-x}dx$
Затем применим метод интегрирования по частям
$\int udv=uv-\int vdu$
$u=x$ $dv=e^{-x}dx\Rightarrow du=dx$
$v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}$ и теперь подставим
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=2\int xe^{-x}dx=2\left( -xe^{-x}-\int -e^{-x}dx\right) =-2xe^{-x}-2e^{-x}+C$
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=-e^{-x}\left( 2x+2\right) +C$
Задача 11
$\int x^{2}e^{x}\ dx = $
$\int x^{2}e^{x}$ $dx=e^{x}\left( x^{2}+2x+2\right) +C$
$\int x^{2}e^{x}$ $dx=e^{x}\left( x^{2}-2x+2\right) +C$
$\int x^{2}e^{x}$ $dx=e^{x}x^{2}+C$
$\int x^{2}e^{x}$ $dx=e^{x}x^{3}+C$
Решение:
В этом случае мы должны дважды применить метод интегрирования по частям, чтобы уменьшить степень $x$ с $2,1,0$
и упростить интеграл.
$u=x^{2}\qquad dv=e^{x}$ $dx$
тогда $du=2xdx\qquad v=\int e^{x}$ $dx=e^{x}$ и мы заменяем в формуле
$\int udv=uv-\int vdu$
$\int x^{2}e^{x}\ dx=x^{2}e^{x}-2$ $\int xe^{x}dx$
Мы используем интегрирование по частям:
$\int xe^{x}dx$ с
$u=x\qquad dv=e^{x}$ $dx$
$u=dx\qquad v=\int e^{x}$ $dx=e^{x}$
тогда $\int x^{2}e^{x}$ $dx=x^{2}e^{x}-2\left( xe^{x}-\int e^{x}dx\right) =x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C$
Таким образом $\int x^{2}e^{x}$ $dx=e^{x}\left( x^{2}-2x+2\right) +C$
Задача 12
$\int t$ $\ln (t+1)$ $dt=$
$\ln (t+1)\left( \frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}\right) +C$
$-\frac{1}{2}\left( \frac{\left(t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right) \right) +C$
$\ln (t+1)\left( \frac{1}{2}t^{2}\right)-\frac{1}{2}+C$
$\ln(t+1)\left(\frac12t^2-\frac12\right)-\frac12\left(\frac{(t+1)^2}{2}-2(t+1)\right)+C$
Решение:
Здесь подставим $u=\ln (t+1)\qquad dv=tdt$ таким образом
$du=\frac{1}{t+1}dt\qquad v=\int tdt=\frac{1}{2}t^{2}$ и заменив в формуле
$\int udv=uv-\int vdu$ получим
$\int t\ \ln (t+1)\ dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}$
$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt$ Теперь чтобы решить это,
Подставим $z=t+1$
тогда $t=z-1$ и $dz=dt,$
$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\int \frac{\left(z-1\right)^{2}}{z}dz=\int \frac{z^{2}-2z+1}{z}dz=\int zdz-2\int dz+\int z^{-1}dz=\frac{z^{2}}{2}-2z+\ln (z)$
Так как $z=t+1$
$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right) +\ln (t+1)$
$\int t\ln (t+1)dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right) +\ln (t+1)\right] +C$
$\int t$ $\ln (t+1)\ dt=\ln (t+1)\left[ \frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}\right]-\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right)\right] +C$
Задача 13
$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx= $
$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=\frac{1}{x^{2}}\left( \ln x+1\right) +C$
$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}\left( \ln x+1\right) +C$
$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=\frac{1}{x}\left( \ln x-1\right) +C$
Ничто из перечисленного.
Решение:
В этом случае мы используем $u=\ln (x)\qquad dv=x^{-2}dx$ тогда
$du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{-2}dx=-x^{-1}$ и теперь заменив
$\int udv=uv-\int vdu$
$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln (x)}{x}+\int x^{-2}dx$ тогда
$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln (x)}{x}-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}\left( \ln x+1\right) +C$
Задача 14
Вычислите интеграл методом интегрирования по частям.
$\int x\cos x$ $dx$
$\int x\cos x\ dx=x\sin x+\cos x+C$
$\int x\cos x\ dx=x\sin x-\cos x+C$
$\int x\cos x\ dx=x\sin x+x\cos x+C$
$\int x\cos x\ dx=x\cos x+\sin x+C$
Решение:
Пусть $u=x\qquad dv=\cos x$ $dx$ так $du=dx$ и
$v=\int \cos x\ dx=\sin x$ тогда, если применим формулу
$\int udv=uv-\int vdu$ получаем
$\int x\cos x\ dx=x\sin x-\int \sin xdx$
Таким образом$\int x\cos x$ $dx=x\sin x+\cos x+C$
Задача 15
Оцените интеграл $\int x\sin x\ dx$, используя метод интегрирования по частям.
$\int x\sin x\ dx=-x\cos x+\sin x+C$
$\int x\sin x\ dx=-x\sin x+\cos x+C$
$\int x\sin x\ dx=x\cos x-\sin x+C$
$\int x\sin x\ dx=-x^{2}+\cos x+\sin x+C$
Решение:
Пусть $u=x\qquad dv=\sin xdx$ тогда $du=dx$ и $v=\int \sin xdx$
$v=-\cos x$, теперь подставим в $\int udv=uv-\int vdu$ таким образом
$\int x\sin x$ $dx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C$
Задача 16
$\int x^{2}\sin x$ $dx=$
$x^{2}\cos x+2\left( x\sin x+\cos x\right) +C$
$-x\sin x-2\left( x\sin x+\cos x\right) +C$
$-x^{2}\cos x-2\left( x\sin x+\cos x\right) +C$
$-x^{2}\cos x-2\left( x\cos x+\sin x\right) +C$
Решение:
В этом случае мы должны дважды применить метод интегрирования по частям,
чтобы уменьшить степень $x$ с $2,1,0$
и упростить интеграл, поэтому мы делаем,
$u=x^{2}\qquad dv=\sin x\ dx$
тогда $du=2xdx\qquad v=-\cos x$
$\int udv=uv-\int vdu$
$\int x^{2}\sin x$ $dx=-x^{2}\cos x-2\int x\cos xdx$
Теперь применим интегрирование по частям к интегралу
$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx$
Пусть $u=x\qquad dv=\cos xdx$ и $du=dx\qquad v=\sin x$
Так $\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x$ тогда $\int x^{2}\sin x\ dx=$
$=-x^{2}\cos x-2\left( x\sin x+\cos x\right) +C$
Задача 17
Определите решение интеграла
$\int e^{2x}\sin x\ dx=$
$-\frac{1}{3}e^{2x}\sin x+C$
$-\frac{1}{3}e^{2x}\cos x+C$
$\frac{1}{3}e^{3x}\cos x+C$
$-\frac{1}{3}e^{3x}\text{tg }x+C$
Решение:
Вот как мы можем найти рекурсивное решение, если $I=\int e^{2x}\sin x\ dx$
и применим интегрирование по частям, то $u=e^{2x},dv=\sin x\ dx$
$du=2e^{2x}dx\qquad v=-\cos x$
Так $\int udv=uv-\int vdu\Longrightarrow \int e^{2x}\sin x\ dx=-e^{2x}\cos x+2\int \cos xe^{2x}dx$
Теперь снова применим интегрирование по частям,
так $u=e^{2x},dv=\cos x\ dx$
Тогда $du=2e^{2x}dx\qquad v=\sin x$ и заменив в интеграле
$I=\int e^{2x}\sin x\ dx=-e^{2x}\cos x+2\int \cos xe^{2x}dx$
теперь применим интегрирование по частям,
$u=e^{2x}\qquad dv=\sin xdx$
$du=2e^{2x}dx\qquad v=-\cos x$
так, $I=\int e^{2x}\sin x\ dx=-e^{2x}\cos x+2\int -e^{2x}\cos xdx$
$=-e^{2x}\cos x-2\int e^{2x}\cos xdx=-e^{2x}\cos x-2I$ тогда
$3I=-e^{2x}\cos x+C\Rightarrow I=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos x+C$
Таким образом $I=\int e^{2x}\sin x\ dx=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos x+C$
Задача 18
$I=\int e^{-3x}\sin 5x\ dx = $
$I=\frac{225}{226}\left( -\frac{1}{5}e^{3x}\sin 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sin 5x\right) +C$
$I=\frac{225}{226}\left( -\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\cos 5x\right) +C$
$I=\frac{225}{226}\left( -\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sin 5x\right) +C$
$I=\frac{225}{226}-\frac{1}{5}e^{-3x}\text{tg }5x+C$
Решение:
$\int e^{-3x}\sin 5x$ $dx\qquad $ в данном случае делаем
$u=e^{-3x}\qquad dv=\sin 5x\ dx$
$du=-\frac{1}{3}e^{-3x}dx\qquad v=-\frac{1}{5}\cos 5x$
Так как$I=\int e^{-3x}\sin 5x\ dx$
$I=uv-vdu=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{15}\int e^{-3x}\cos 5xdx$
Снова применяем интегрирование по частям к этому интегралу, то есть
$u=e^{-3x}\qquad dv=\cos 5x$ $dx\Longrightarrow du=-\frac{1}{3}e^{-3x}dx\qquad v=\frac{1}{5}\sin 5x$
Тогда $I=uv-vdu=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{15}\int e^{-3x}\cos 5xdx$
Поэтому $I=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{15}\left[ \frac{1}{5}e^{-3x}\sin 5x+\frac{1}{15}\int e^{-3x}\sin 5xdx\right] $
$I+\frac{1}{225}I=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sin 5x$
и теперь
$\frac{226}{225}I=-\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sin 5x$ поэтому
$I=\frac{225}{226}\left( -\frac{1}{5}e^{-3x}\cos 5x-\frac{1}{75}e^{-3x}\sin 5x\right) +C$
Задача 19
Определите решение следующего интеграла
$\int \sec ^{2}x\text{tg }x\ dx$
$\int \sec ^{2}x\text{tg }x\ dx=\frac{\text{tg}^{2}x}{2}+C$
$\int \sec ^{2}x\text{tg }x\ dx=\frac{\sec ^{2}x}{2}+C$
$\int \sec ^{2}x\text{tg }x\ dx=\frac{\csc ^{2}x}{2}+C$
$\int \sec ^{2}x\text{tg }x\ dx=\frac{\sin ^{2}x}{2}+C$
Решение:
Если $u=\text{tg }x\Rightarrow du=\sec ^{2}xdx$ и
$\int \sec ^{2}x\text{tg }x\ dx=\int udu$
Поэтому $\int \sec ^{2}x\text{tg }x$ $dx=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{\text{tg}^{2}x}{2}+C$
Задача 20
Решите следующий нтеграл от тригонометрической функции
$\int \text{tg}^{2}x\sec ^{4}x\ dx=$
$\int \text{tg}^{2}x\sec ^{4}x\ dx=\frac{\text{tg} 2x}{5}+\frac{\text{tg}^{4}x}{3}+C$
$\int \text{tg}^{2}x\sec ^{4}x\ dx=\frac{\sec ^{5}x}{5}+\frac{\sec^{3}x}{3}+C$
$\int \text{tg}^{2}x\sec ^{4}x\ dx=\frac{\cos ^{5}x}{5}+\frac{\cos^{3}x}{3}+C$
$\int \text{tg}^{2}x\sec ^{4}x\ dx=\frac{\text{tg}^{5}x}{5}+\frac{\text{tg}^{3}x}{3}+C$
Решение:
Делаем $\int \text{tg}^{2}x\sec^{2}x\sec^{2}x\ dx$ и так как
$\sec^{2}x=\text{tg}^{2}x+1$
Получаем $\int \text{tg}^{2}x\sec^{4}x\ dx=\ \int \text{tg}^{2}x\left( \text{tg}^{2}x+1\right) \sec ^{2}x\ dx$
$=\int \left( \text{tg}^{4}x+\text{tg}^{2}x\right) \sec ^{2}x$ $dx$
Можем сделать сейчас:
если $u=\text{tg}x\Rightarrow du=\sec^{2}xdx$ то $\int \text{tg}^{2}x\sec^{4}x\ dx=$
$=\int \left( u^{4}+u^{2}\right) du=\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}+C$ тогда
$\int \text{tg}^{2}x\sec^{4}x\ dx=\frac{\text{tg}^{5}x}{5}+\frac{\text{tg}^{3}x}{3}+C$
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
© 2005 - 2024 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.