Интегрирование по частям - задачи с решениями

Решение:
Мы должны найти $\int x^{3}\ln $ $x$ $dx$
$u=\ln $ $x,$ $dv=x^{3}dx.$

Тогда $du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}$ и мы применяем

$\int udv=uv-\int vdu=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\frac{1}{4}\int x^{3}dx$

Так $\int x^{3}\ln $ $x$ $dx=\frac{x^{4}}{4}\ln $ $x-\frac{1}{16}x^{4}+C=$
$x^{4}\left( \frac{1}{4}\ln x-\frac{1}{4}\right) +C$

Решение:
Если $u=4x+7,$ $dv=e^{x}dx$ тогда $du=4\qquad v=\int e^{x}dx=e^{x}$

Поэтому $\int udv=uv-\int vdu$ тогда $\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+7\right) e^{x}-4\int e^{x}dx$

$\int (4x+7)e^{x}dx=\left( 4x+7\right) e^{x}-4e^{x}+C=\left(4x+3\right) e^{x}+C$

Решение:
Пусть $u=x\qquad dv=\sin 3x$ $dx$ тогда
$du=dx\qquad v=\int \sin 3x$ $dx$
$v=-\frac{1}{3}\cos 3x$ поэтому $\int udv=uv-\int vdu$ и заменив

$\int x\sin 3x$ $dx=-\frac{1}{3}x\cos 3x-\int -\frac{1}{3}\cos 3xdx=$

$=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{3}\int \cos 3xdx=-\frac{1}{3}x\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x+C$

Решение:
Имея $u=x,$ $dv=\cos 4x\ dx$, получаем
$du=dx\qquad v=\int \cos 4x$ $dx=\frac{1}{4}\sin 4x$
тогда, если мы используем формулу $\int udv=uv-\int vdu$


$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x-\frac{1}{4}\int \sin 4xdx$ тогда

$\int x\cos 4x\ dx=\frac{1}{4}x\sin 4x+\frac{1}{16}\cos 4x+C$

Решение:
$\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=\int \cos ^{2}x\sin x\cos x$ $dx$ и теперь преобразуем
$\cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x$ поэтому $\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=$
$=\int \left( 1-\sin ^{2}x\right) \sin x\cos x$ $dx=\int \left( \sin x-\sin ^{3}x\right) \cos x$ $dx$

и теперь $u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx$ тогда

$\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=\int udu-\int u^{3}du=\frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{4}}{4}+C$

$\int \cos ^{3}x\sin x$ $dx=\frac{\sin ^{2}x}{2}-\frac{\sin ^{4}x}{4}+C$

Решение:
$\int \cos^{3}x\sin^{4}x\ dx=\int \cos^{2}x\sin^{4}x\cos x$ $dx$ преобразуем

$\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$
$\int \cos ^{3}x\sin^{4}x$ $dx=$
$=\int \left( 1-\sin ^{2}x\right) \sin ^{4}x\cos x$ $dx=\int \left( \sin^{4}x-\sin ^{6}x\right) \cos x\ dx$

а теперь $u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx$ тогда
$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x$ $dx=\int u^{4}du-\int u^{6}du=\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}+C$
Таким образом$\int \cos ^{3}x\sin ^{4}x$ $dx=\frac{\sin ^{5}x}{5}-\frac{\sin ^{7}x}{7}+C$

Решение:
$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=\int \sin ^{2}x\sin x\cos ^{2}x\ dx$ и так как
$\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ получаем $\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x\ dx=$
$=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sin x\cos ^{2}xdx=\int \left( \cos^{2}x-\cos ^{4}x\right) \sin xdx$

Теперь используем $u=\cos x\qquad du=-\sin xdx$

$\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x$ $dx=-\int u^{2}du+\int u^{4}du=-\frac{u^{3}}{3}+ \frac{u^{5}}{5}+C$

тогда $\int \sin ^{3}x\cos ^{2}x$ $dx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+\frac{\cos ^{5}x}{5}+C$

Решение:
Преобразуем, $\int \sin ^{3}x\ dx=\int \sin ^{2}x\sin x$ $dx=\int \left( 1-\cos ^{2}x\right) \sin x\ dx$

тогда $\int \sin ^{3}x$ $dx=\int \sin xdx-\int \cos ^{2}x\sin x\ dx$ и
и подставив $u=\cos x\qquad du=-\sin xdx$, получаем

$\int \sin ^{3}x$ $dx=-\cos x+\int u^{2}du=-\cos x+\frac{u^{3}}{3}+C$

Тогда $\int \sin ^{3}x$ $dx=$ $-\cos x+\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$

Решение:
Мы можем сделать следующую подстановку
$u=x\qquad dv=e^{-2x}\ dx$
Так $du=dx\qquad v=\int e^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}$ теперь применим

$\int udv=uv-\int vdu\Rightarrow$
$\int xe^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\int -\frac{1}{2}e^{-2x}dx$

$\int xe^{-2x}$ $dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}dx= -\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x}+C$

Решение:
Перепишим интеграл следующим образом $\int \frac{2x}{e^{x}}\ dx=2\int xe^{-x}dx$

Затем применим метод интегрирования по частям

$\int udv=uv-\int vdu$
$u=x$ $dv=e^{-x}dx\Rightarrow du=dx$
$v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}$ и теперь подставим
$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=2\int xe^{-x}dx=2\left( -xe^{-x}-\int -e^{-x}dx\right) =-2xe^{-x}-2e^{-x}+C$

$\int \frac{2x}{e^{x}}$ $dx=-e^{-x}\left( 2x+2\right) +C$

Решение:
В этом случае мы должны дважды применить метод интегрирования по частям, чтобы уменьшить степень $x$ с $2,1,0$
и упростить интеграл.

$u=x^{2}\qquad dv=e^{x}$ $dx$
тогда $du=2xdx\qquad v=\int e^{x}$ $dx=e^{x}$ и мы заменяем в формуле
$\int udv=uv-\int vdu$
$\int x^{2}e^{x}\ dx=x^{2}e^{x}-2$ $\int xe^{x}dx$
Мы используем интегрирование по частям:
$\int xe^{x}dx$ с
$u=x\qquad dv=e^{x}$ $dx$
$u=dx\qquad v=\int e^{x}$ $dx=e^{x}$

тогда $\int x^{2}e^{x}$ $dx=x^{2}e^{x}-2\left( xe^{x}-\int e^{x}dx\right) =x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C$

Таким образом $\int x^{2}e^{x}$ $dx=e^{x}\left( x^{2}-2x+2\right) +C$

Решение:
Здесь подставим $u=\ln (t+1)\qquad dv=tdt$ таким образом

$du=\frac{1}{t+1}dt\qquad v=\int tdt=\frac{1}{2}t^{2}$ и заменив в формуле

$\int udv=uv-\int vdu$ получим

$\int t\ \ln (t+1)\ dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}$

$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt$ Теперь чтобы решить это,

Подставим $z=t+1$
тогда $t=z-1$ и $dz=dt,$
$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\int \frac{\left(z-1\right)^{2}}{z}dz=\int \frac{z^{2}-2z+1}{z}dz=\int zdz-2\int dz+\int z^{-1}dz=\frac{z^{2}}{2}-2z+\ln (z)$
Так как $z=t+1$

$\int \frac{t^{2}}{t+1}dt=\frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right) +\ln (t+1)$
$\int t\ln (t+1)dt=\frac{1}{2}t^{2}\ln (t+1)-\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right) +\ln (t+1)\right] +C$

$\int t$ $\ln (t+1)\ dt=\ln (t+1)\left[ \frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2}\right]-\frac{1}{2}\left[ \frac{\left( t+1\right) ^{2}}{2}-2\left( t+1\right)\right] +C$

Решение:
В этом случае мы используем $u=\ln (x)\qquad dv=x^{-2}dx$ тогда

$du=\frac{dx}{x}\qquad v=\int x^{-2}dx=-x^{-1}$ и теперь заменив

$\int udv=uv-\int vdu$
$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln (x)}{x}+\int x^{-2}dx$ тогда

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}}dx=-\frac{\ln (x)}{x}-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}\left( \ln x+1\right) +C$

Решение:
Пусть $u=x\qquad dv=\cos x$ $dx$ так $du=dx$ и

$v=\int \cos x\ dx=\sin x$ тогда, если применим формулу

$\int udv=uv-\int vdu$ получаем
$\int x\cos x\ dx=x\sin x-\int \sin xdx$

Таким образом$\int x\cos x$ $dx=x\sin x+\cos x+C$

Решение:
Пусть $u=x\qquad dv=\sin xdx$ тогда $du=dx$ и $v=\int \sin xdx$
$v=-\cos x$, теперь подставим в $\int udv=uv-\int vdu$ таким образом
$\int x\sin x$ $dx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C$

Решение:
Дважды интегрируем по частям.
Положим [tex]u=x^{2}[/tex], [tex]dv=\sin x\,dx[/tex], тогда [tex]du=2x\,dx[/tex], [tex]v=-\cos x[/tex]:
[tex]\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\,dx[/tex]

Теперь положим [tex]u=x[/tex], [tex]dv=\cos x\,dx[/tex], тогда [tex]du=dx[/tex], [tex]v=\sin x[/tex]:
[tex]\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C[/tex]

Следовательно
[tex]\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2\left( x\sin x+\cos x\right) +C[/tex]

Решение:
Положим [tex]I=\int e^{2x}\sin x\,dx[/tex].
Интегрируем по частям, положив [tex]u=\sin x[/tex], [tex]dv=e^{2x}dx[/tex], тогда [tex]du=\cos x\,dx[/tex], [tex]v=\frac{1}{2}e^{2x}[/tex]:
[tex]I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin x-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos x\,dx[/tex]

Снова интегрируем по частям, положив [tex]u=\cos x[/tex], [tex]dv=e^{2x}dx[/tex], тогда [tex]du=-\sin x\,dx[/tex], [tex]v=\frac{1}{2}e^{2x}[/tex]:
[tex]\int e^{2x}\cos x\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos x+\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin x\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}\cos x+\frac{1}{2}I[/tex]

Следовательно [tex]I=\frac{1}{2}e^{2x}\sin x-\frac{1}{4}e^{2x}\cos x-\frac{1}{4}I[/tex], т.е. [tex]\frac{5}{4}I=\frac{1}{4}e^{2x}\left( 2\sin x-\cos x\right)[/tex]

[tex]I=\frac{e^{2x}}{5}\left( 2\sin x-\cos x\right) +C[/tex]

Решение:
Интегрируем по частям, положив [tex]u=\sin 5x[/tex], [tex]dv=e^{-3x}dx[/tex], тогда [tex]du=5\cos 5x\,dx[/tex], [tex]v=-\frac{1}{3}e^{-3x}[/tex]:
[tex]I=-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin 5x+\frac{5}{3}\int e^{-3x}\cos 5x\,dx[/tex]

Снова интегрируем по частям, положив [tex]u=\cos 5x[/tex], [tex]dv=e^{-3x}dx[/tex], тогда [tex]du=-5\sin 5x\,dx[/tex], [tex]v=-\frac{1}{3}e^{-3x}[/tex]:
[tex]\int e^{-3x}\cos 5x\,dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}\cos 5x-\frac{5}{3}\int e^{-3x}\sin 5x\,dx=-\frac{1}{3}e^{-3x}\cos 5x-\frac{5}{3}I[/tex]

Следовательно [tex]I=-\frac{1}{3}e^{-3x}\sin 5x-\frac{5}{9}e^{-3x}\cos 5x-\frac{25}{9}I[/tex], т.е. [tex]\frac{34}{9}I=-\frac{1}{9}e^{-3x}\left( 3\sin 5x+5\cos 5x\right)[/tex]

[tex]I=-\frac{e^{-3x}}{34}\left( 3\sin 5x+5\cos 5x\right) +C[/tex]

Решение:
Если $u=\text{tg }x\Rightarrow du=\sec ^{2}xdx$ и

$\int \sec ^{2}x\text{tg }x\ dx=\int udu$

Поэтому $\int \sec ^{2}x\text{tg }x$ $dx=\frac{u^{2}}{2}+C=\frac{\text{tg}^{2}x}{2}+C$

Решение:
Делаем $\int \text{tg}^{2}x\sec^{2}x\sec^{2}x\ dx$ и так как
$\sec^{2}x=\text{tg}^{2}x+1$
Получаем $\int \text{tg}^{2}x\sec^{4}x\ dx=\ \int \text{tg}^{2}x\left( \text{tg}^{2}x+1\right) \sec ^{2}x\ dx$
$=\int \left( \text{tg}^{4}x+\text{tg}^{2}x\right) \sec ^{2}x$ $dx$
Можем сделать сейчас:
если $u=\text{tg}x\Rightarrow du=\sec^{2}xdx$ то $\int \text{tg}^{2}x\sec^{4}x\ dx=$
$=\int \left( u^{4}+u^{2}\right) du=\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}+C$ тогда
$\int \text{tg}^{2}x\sec^{4}x\ dx=\frac{\text{tg}^{5}x}{5}+\frac{\text{tg}^{3}x}{3}+C$