Системы линейных уравнений - задачи с решениями

Решение:
Мы должны заменить х на 0, а у $\frac{5}{2}$.
Если мы получим правильные уравнения, то точка является решением.

$5(0) +2(\frac{5}{2}) = 0 + 5 = 5 \neq 1$

Точка не удовлетворяет первому уравнению, поэтому она не является решением.

Решение:
Заменим x на 1, а y на 3 в каждом уравнении.
$2(1) -3 =2 -3 = -1$
$3(1) +3 =3 +3 =6$
Точка $(1; 3)$ удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому является решением.

Решение:
Две прямые представляют данную систему уравнений.
Отметим также, что существует точка пересечения обеих прямых. Это точка
(2; 3), то есть x = 2, y = 3. Он принадлежит к каждой из прямых и удовлетворяет обоим уравнениям.
Следовательно, точка (2; 3) является единственным решением.

Ответ: система имеет единственное решение.

Решение:
Обе прямые совпадают. У них есть бесконечное число общих точек, которые являются решениями обоих уравнений.

Ответ: Система имеет бесконечное количество решений.

Решение:
Прямые параллельны. У них нет общих точек.
Следовательно, нет точек (x; y), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Ответ: система не имеет решения

Решение:
Каждая система уравнений имеет 3 возможных типа решений:
I) имеет единственное решение (прямые пересекаются в одной точке.)
II) имеет бесконечное колличество решений (прямые совпадают)
III) не имеет решения (прямые параллельны и не имеют общих точек.)
Посмотрите на прикрепленное изображение.

Система из двух линейных уравнений никогда не может иметь двух решений. Если у нее два решения, то она имеет тип II.

Если мы умножим первое уравнение на (-3), то мы получим второе уравнение. Таким образом, уравнения эквивалентны, и система имеет бесконечное число решений.

Точки с координатами (1; 3) и (-1; -1), удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, это правильный вариант.

Решение:
Когда система уравнений имеет бесконечное число решений, это не значит, что любая точка на плоскости является решением, мы можем проверить этот факт, взяв случайную точку $ (2, 1) $, которая не удовлетворяет ни одно из уравнений. Поэтому она не может быть решением системы уравнений.
Теперь давайте проверим, что предыдущая система уравнений имеет бесконечное число решений, заметим, что если мы умножим первое уравнение на 3, мы получим второе уравнение.

$(3) \ast (x +2y =1)$ $ \Longrightarrow 3x +6y =3$
Таким образом, оба уравнения эквивалентны. Мы решаем одно из них.
$x +2y =1 \Longrightarrow x =1 -2y$
Можно утверждать, что точки плоскости, удовлетворяющие этому соотношению, являются решениями системы (если мы проверяем второе уравнением, то результат такой же). Все точки $(\mathbf{x} ,\mathbf{y}) =(1 -2\mathbf{y} ,\mathbf{y})$ являются решениями
Заменив $y$ реальным значением, мы получаем соответствующее значение $x$. Мы можем заменить $y$ бесконечным количесвтом чисел, чтобы получить значение $x$.
Пример
$y =1 \Longrightarrow x = -1$ Таким образом, точка $(-1; 1)$ является решением системы уравнений.
$y =2 \Longrightarrow x = -3$ Таким образом, точка $(-3; 2)$ является решением системы уравнений.
Очевидно, что система имеет бесконечное число решений, однако это не означает, что любая произвольная точка, такая как точка $(2; 1)$, является решением системы.

Решение:
Мы решаем оба уравнения для "y = " ( or x = )
$y =4 -4x$ $3x -2 = -\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow y =4 -6x$ Давайте построим прямую $\mathbf{y} =4 -4x$ выбрав несколько произвольных значений для х:
$x = -1 \Longrightarrow y = 8$
$x = 1 \Longrightarrow y = 0$
Имея эти две точки, мы рисуем синюю прямую.

Мы должны построить график второго уравнения $y =4 -6x$:
$x = -1 \Longrightarrow y =10$
$x =1 \Longrightarrow y = -2$

На изображении это прямая красного цвета.
Отметим, что точка пересечения обеих прямых это $(0; 4)$. Эта точка является решением системы линейных уравнений.

Решение:
Красные и синие прямые проходят через две точки, которые выделены на изображении.
Эти точки должны удовлетворять каждому уравнению в системе. Давайте рассмотрим вариант В)
Первое уравнение справедливо, когда мы заменяем x и y точками $(- 2; 0) $ и $(10; 8) $, поэтому уравнение $6\mathbf{y} -4\mathbf{x} =8$ представляет собой красную прямую на изображении.
Аналогично, второе уравнение выполняется путем подстановки точек $(6; 0) $ и $ (10; 8) $, поэтому уравнение представляет синюю прямую на изображении.
Остальные вырианты A, C, D не удовлетворяют точкам на графике.

Решение:
Мы получаем переменную $\mathbf{y}$ в первом уравнении.
$ -5y =10x$ $ \Longrightarrow y = -2x$ теперь подставим ее во второе уравнение.
$21x -7( -2x) =28$
Мы можем получить значение $x$
$21x +14x =28$ $ \Longrightarrow 35x =28$ $ \Longrightarrow x =\frac{28}{35} =\frac{4}{5}$
Чтобы найти значение у, мы используем любое из предыдущих уравнений.
$y = -2x$
$ \Longrightarrow y = -2(\frac{4}{5}) = -\frac{8}{5}$
Ответ $(\frac{4}{5} , -\frac{8}{5})$

Решение:
Давайте возьмем первое уравнение и выразим значение x через y.
$x +y =3$ $ \Longrightarrow x =3 -y$

Полученное значение подставляется в другое уравнение.
$2x -y =0$ $ \Longrightarrow 2(3 -y) -y =0$ $ \Longrightarrow 6 -2y -y =0$

$6 -3y =0$ $ \Longrightarrow 6 =3y$ $ \Longrightarrow y =2$
Давайте вернемся к первому уравнению, чтобы найти х.
$x =3 -y$ $ \Longrightarrow x =3 -2 =1$
Ответ: $x =1\qquad y =2 $

Решение:
Сначала мы решим каждое уравнение для "x ="
$5x -\frac{1}{2}y = -1$
$ \Longrightarrow 5x = -1 +\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$

$3x -2y =1$ $ \Longrightarrow 3x =1 +2y$ $ \Longrightarrow x =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Получаем

$ -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y =\frac{1}{3} +\frac{2}{3}y$
Мы можем найти значение y
$\frac{1}{10}y -\frac{2}{3}y =\frac{1}{3} +\frac{1}{5}$ $ \Longrightarrow -\frac{17}{30}y =\frac{8}{15}$

$y = -\frac{16}{17}$
Мы можем найти x.
$x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}y$ $ \Longrightarrow x = -\frac{1}{5} +\frac{1}{10}( -\frac{16}{17})$

$x = -\frac{1}{5} -\frac{16}{170} = -\frac{1}{5} -\frac{8}{85} = -\frac{25}{85} = -\frac{5}{17}$
Таким образом, решение системы уравнений:
$x = -\frac{5}{17}\qquad y = -\frac{16}{17}$

Решение:
Чтобы сложить уравнения и одно из двух неизвестных исчезло, коэффициенты этого неизвестного должны быть одинаковыми, но с противоположным знаком.
Для этого мы умножим первое уравнение на $-\frac{1}{2}$, а второе уравнение на $\frac{1}{3}$

$\begin{array}{c} -\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x +\frac{1}{5}y =\frac{2}{7}) \\ \frac{1}{3}(\frac{1}{2}x +\frac{1}{10}y =\frac{3}{7})\end{array}$

$ \Longrightarrow \begin{array}{c} -\frac{1}{6}x -\frac{1}{10}y = -\frac{1}{7} \\ \frac{1}{6}x +\frac{1}{30}y =\frac{1}{7}\end{array}$
Это позволяет нам сложить два уравнения и исключить переменную x.
$ -\frac{1}{10}y +\frac{1}{30}y =0$
$ \Longrightarrow \frac{ -2}{30}y =0$
$ \Longrightarrow y =0$
и подставив это значение в первое уравнение, мы имеем
$\frac{1}{3}x =\frac{2}{7}$
$ \Longrightarrow x =\frac{6}{7}$

Ответ:
$x =\frac{6}{7}\qquad y =0 $

Решение:
Мы решаем оба уравнения для "y = ".

$5x +1 =\frac{1}{2}y$ $ \Longrightarrow y =10x +2$
$3x -1 =2y$ $ \Longrightarrow y =\frac{3x -1}{2}$
Сопоставим оба выражения
$10x +2 =\frac{3x -1}{2}$ and find x
$20x +4 =3x -1$ $ \Longrightarrow 17x = -5$ $ \Longrightarrow x =\frac{ -5}{17}$ and we find y. $y =10(\frac{ -5}{17}) +2 =\frac{-50}{17} +2 =\frac{ -16}{17}$
Ответ:
$x =\frac{ -5}{17}$ $y =\frac{-16}{17}$

Решение:
Умножим первое уравнение на -3, а второе на 2.
$\begin{array}{c} -6x -9y =3 \\ 6x +8y =0\end{array}$
Сложим оба уравнения.

$ -6x -9y +6x +8y =3 +0$ $ \Longrightarrow -y =3$ $ \Longrightarrow y = -3$
Подставим это значение в первое уравнение.
$2x +3( -3) = -1$ $ \Longrightarrow 2x =9 -1$ $ \Longrightarrow x =4$
Таким образом, решение системы x = 4, y = -3

Решение:
Пусть числа, которые мы ищем, будут x и y.

$\begin{array}{c}2(x +y) =32 \\ x -y =0\end{array}$

Мы решим их методом подстановки.
Из второго уравнения получаем $\mathbf{x} =\mathbf{y}$
Теперь подставим в первое уравнение.
$2(x +x) =32 \Longrightarrow 4x =32$ $ \Longrightarrow x =8$
Возвращаясь ко второму уравнению, мы имеем $\mathbf{x} =\mathbf{y} =8$

Решение:
Пусть числа будут х, у.
$\begin{array}{c}x +y =0 \\ x +123 =2y\end{array}$
Из первого уравнения получаем
$x = -y$
Теперь подставим во второе уравнение $ -y +123 =2y$ $ \Longrightarrow 123 =3y$ $\Longrightarrow y =\frac{123}{3} =41$
и помня, что $x = -y$ мы получаем $x = -41$
Два числа,
которые мы ищем: $\begin{array}{c}x = -41 \\ y =41\end{array}$

Решение:
Пусть S будет количеством свиней, а I - количеством индеек.
$\begin{array}{c}S + I =58 \\ 4S +2I =168\end{array}$
Мы будем использовать метод исключения для решения, умножив первое уравнение на (-2).
$\begin{array}{c} -2S -2I = -116 \\ 4S +2I =168\end{array}$
Сложим оба уравнения и получим
$2S =52$ $ \Longrightarrow S =26$
тогда
$S + I =58$ $ \Longrightarrow 26 +I =58$ $ \Longrightarrow I =32$

Свиней 26, а индеек 32.

Решение:
Обозначим через
J: деньги Джона.
Q: деньги Питера.

Интерпретируя данные задачи, мы получаем следующие уравнения:

$\begin{array}{c}J =2P \\ J -6 =P +6\end{array}$
что представляет собой систему из двух линейных уравнений с двумя переменными.
Подставим J во второе уравнение.
$J -6 =P +6$ $ \Longrightarrow 2P -6 =P +6$ $ \Longrightarrow 2P -P =6 +6$ $ \Longrightarrow P =12$ и теперь подставим в первое уравнение
$J =2P =24$
Таким образом, мы приходим к выводу, что у Джона \$24 а у Питера \$12.