Уравнения окружности - задачи с решениями

Решение:
Ответ: центр находится в $(0,3)\qquad r=7$

Каноническое уравнение окружности

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр $О:(h, k)$ и радиус $r$

Дано $x^{2}+(y-3)^{2}=49,$

$O:(0,3)\qquad r=7$

Решение:
Каноническое уравнение окружности
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр находится в $(h,k)$ и $r$ ее радиус.

Наше уравнение
$(x+2)^{2}+y^{2}=36$

Центр находится в $(-2,0)$ и радиус равен 6.

Решение:
Ответ: $O(-1,-4)$ и $r=\sqrt{\frac{33}{2}}$

$2x^{2}+2y^{2}+4x+16y+1=0\Longrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+8y+\frac{1}{2}=0$ тогда

$\left( x+1\right)^{2}+\left( y+4\right)^{2}-1-16+\frac{1}{2}=0\Longrightarrow \left( x+1\right) ^{2}+\left( y+4\right) ^{2}=\frac{33}{2}$

Таким образом, видно что центр находится в $(-1,-4)$ а радиус равен $\sqrt{\frac{33}{2}}$

Решение:
Ответ: $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

Каноническое уравнение окружности
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр находится в $(h,k)$ и $r$ ее радиус.

Поэтому уравнение это $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

Решение:
Каноническое уравнение окружности

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр находится в $(h,k)$ и $r$ ее радиус

Поэтому $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=2^{2}\Longrightarrow (x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4$

Решение:
Преобразуем в сумму квадратов, так
$x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\Longrightarrow \left( x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}-4-1=0$
Тогда $\left(x-2\right)^{2}+\left( y+1\right)^{2}=5$
Видим, что центр находится в
$(2,-1)$ и радиус равен $r=\sqrt{5}$.

Решение:
Каноническое уравнение окружности это
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

Центр находится в точке $(0,0)$ и $r$ ее радиус.

Тогда $x^{2}+y^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
Известно, что окружность проходит через $(-1,-2)$, поэтому
$r=\sqrt{\left( -1\right)^{2}+\left(-2\right) ^{2}}=\sqrt{5}$

Тогда уравнение это $x^{2}+y^{2}=5$

Решение:
Каноническое уравнение окружности это

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},$ где центр находится в точке $(4,-5)$ и $r$ ее радиус.

Поэтому $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{(x-4)^{2}+(y+5)^{2}}$ Так как окружность проходит через точку $(7,-3)$ тогда
$r=\sqrt{\left( 3\right)^{2}+\left( 2\right)^{2}}=\sqrt{13}$

Тогда уравнение это $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=13$

Решение:
Ответ: $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$

Так как окружность касается оси x, $r=\left\vert y_{c}\right\vert$ где центр это $(x_{c},y_{c})$

Поэтому $y_{c}=6$ и уравнение это $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$.

Решение:
Так как окружность касается оси y, то $r=\left\vert x_{c}\right\vert$, где центр в точке $(x_{c},y_{c})$.

Поэтому $x_{c}=-4$ и уравнение это $(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16$.

Решение:
Ответ: $(2,3)$

$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Проверим, какая из точек удовлетворяет этому уравнению.

$A(2,3):(2+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 16=16$ тогда $A(2,3)\in C$

$B(-4,3):(-4+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 4\neq 16$ тогда $B(-4,3)\notin C$

$D(1,5):(1+2)^{2}+(5-3)^{2}=16\Longrightarrow 9+4=13\neq 16$ тогда $D(1,5)\notin C$

Решение:
Ответ: $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ где $D=-4\qquad E=0\qquad F=-21$

Уравнение касательной в точке $\left( x_{t},y_{t}\right)=(5,4)$

$y-y_{t}=\left( \frac{-2x_{t}-D}{2y_{t}+E}\right) (x-x_{t})$

$y-4=\left( \frac{-10+4}{8+0}\right) (x-5)\Longrightarrow y-4=\frac{-3}{4}(x-5)$

$4y+3x-31=0$

Решение:
Ответ: $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{9}{5}$

Известно, что радиус $r$ это расстояние между $O:(h,k)$ и прямой $y-x-2=0$

Поэтому, $O:(2,-1)$ $r=d(O,L)=\frac{\left\vert -2-1-2\right\vert }{\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$ тогда уравнение окружности это

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{25}{2}$

Решение:
Уравнение концентрической окружности $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=r^{2}$

Известно, что радиус $r$ это расстояние между центром $O:(h,k)$ и прямой
Поэтому, $O:(2,-1)$ $r=d(C,L)=\frac{\left\vert 2\times 2+1+2\right\vert }{\sqrt{2^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7}{5}\sqrt{5}$

Тогда уравнение окружности это $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{49}{5}$

Решение:
Ответ: L2: $3x+4y-31=0$

Прямая является касательной к окружности, если имеет с ней одну общую точку.

Для этих прямых получаем $y=\frac{C-3x}{4}$, заменим $y$ в уравнении окружности, получаем $(x-2)^{2}+\left( \frac{C-3x}{4}\right)^{2}=25$

и теперь решим уравнение,

$x^{2}-4x+4+\frac{C^{2}-6Cx+9x^{2}}{16}=25\Longrightarrow 16x^{2}-64x+64+C^{2}-6Cx+9x^{2}=400$

Тогда $25x^{2}-(64+6C)x+\left( 64+C^{2}-400\right) =0$

$x=\frac{(64+6C)\pm \sqrt{(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) }}{50}$

Так как $x$ может принимать только одно значение (точка касания),
тогда $(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) =0$

У нас есть три варианта $C=6,31,60$
значение $C$ которое удовлетворяет предыдущее выражение это $C=31$, потому что
$(64+6\cdot 31)^{2}-100\left( 64+31^{2}-400\right) =250^{2}-62500=0$

Поэтому L2: $3x+4y-31=0$ это прямая, которая касается окружности.