Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Деление
Умножение до 5
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Периметр
Площадь
4 класс
Сложение, умножение, деление
Сложение и вычитание до 1000
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Уравнения
Отрицательные числа
Текстовые задачи
Координатная плоскость
7 класс
Уравнения
Упрощение многочленов
Свойства треугольников
Многочлены
Текстовые задачи
Системы
Разложиние на множители
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Конические сечения
Уравнения окружности
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Уравнения окружности
Уравнения окружности - задачи с решениями
Задача 1
Где находится центр и каков радиус окружности
$x^{2}+(y-3)^{2}=49$?
Начертите график.
$O:(0,-3)\qquad r=49$
$O:(3,0)\qquad r=49$
$O:(-3,0)\qquad r=7$
$O:(0,3)\qquad r=7$
Решение:
Ответ: центр находится в $(0,3)\qquad r=7$
Каноническое уравнение окружности
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр $О:(h, k)$ и радиус $r$
Дано $x^{2}+(y-3)^{2}=49,$
$O:(0,3)\qquad r=7$
Задача 2
Где находится центр и каков радиус окружности
$(x+2)^{2}+y^{2}=36$?
$O(-2,0)\qquad r=6$
$O(2,0)\qquad r=\sqrt{6}$
$O(0,-2)\qquad r=\sqrt{6}$
$O(0,2)\qquad r=6$
Решение:
Каноническое уравнение окружности
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр находится в $(h,k)$ и $r$ ее радиус.
Наше уравнение
$(x+2)^{2}+y^{2}=36$
Центр находится в $(-2,0)$ и радиус равен 6.
Задача 3
Преобразуйте в сумму квадратов, чтобы определить центр и радиус окружности
$2x^{2}+2y^{2}+4x+16y+1=0$.
$O(-1,-4)$ и $r=\sqrt{\frac{33}{2}}$
$O(1,4)$ и $r=\sqrt{\frac{33}{2}}$
$O(4,1)$ и $r=17$
$O(4,-1)$ и $r=17$
Решение:
Ответ: $O(-1,-4)$ и $r=\sqrt{\frac{33}{2}}$
$2x^{2}+2y^{2}+4x+16y+1=0\Longrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+8y+\frac{1}{2}=0$ тогда
$\left( x+1\right)^{2}+\left( y+4\right)^{2}-1-16+\frac{1}{2}=0\Longrightarrow \left( x+1\right) ^{2}+\left( y+4\right) ^{2}=\frac{33}{2}$
Таким образом, видно что центр находится в $(-1,-4)$ а радиус равен $\sqrt{\frac{33}{2}}$
Задача 4
Что из перечисленного является уравнением окружности с центром в $(2,3)$ и радиусом $4$? Начертите график.
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4$
$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4$
Решение:
Ответ: $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Каноническое уравнение окружности
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр находится в $(h,k)$ и $r$ ее радиус.
Поэтому уравнение это $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Задача 5
Что из перечисленного является уравнением окружности с центром в $(-1, 4)$ и радиусом $4$? Начертите график.
$(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4$
$(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=4$
$(x+1)^{2}+(y+4)^{2}=4$
$(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=4$
Решение:
Каноническое уравнение окружности
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, где центр находится в $(h,k)$ и $r$ ее радиус
Поэтому $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=2^{2}\Longrightarrow (x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4$
Задача 6
Центр и радиус окружности
$x^{2}+y^{2}-4x+2y=0$ это:
$O(-2,-1)$, $r=\sqrt{5}$
$O(-2,1)$, $r=5$
$O(2,1)$, $r=5$
$O(2,-1)$, $r=\sqrt{5}$
Решение:
Преобразуем в сумму квадратов, так
$x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\Longrightarrow \left( x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}-4-1=0$
Тогда $\left(x-2\right)^{2}+\left( y+1\right)^{2}=5$
Видим, что центр находится в
$(2,-1)$ и радиус равен $r=\sqrt{5}$.
Задача 7
Каково уравнение окружности с центром в точке $(0,0)$, которая проходит через точку $(-1,-2)$?
$x^{2}-y^{2}=\sqrt{5}$
$x^{2}+y^{2}=\sqrt{5}$
$x^{2}-y^{2}=5$
$x^{2}+y^{2}=5$
Решение:
Каноническое уравнение окружности это
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$
Центр находится в точке $(0,0)$ и $r$ ее радиус.
Тогда $x^{2}+y^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
Известно, что окружность проходит через $(-1,-2)$, поэтому
$r=\sqrt{\left( -1\right)^{2}+\left(-2\right) ^{2}}=\sqrt{5}$
Тогда уравнение это $x^{2}+y^{2}=5$
Задача 8
Каково уравнение окружности с центром в точке $(4,-5)$, которая проходит через точку $(7,-3)$?
$(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=13$
$(x+4)^{2}+(y+5)^{2}=13$
$(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=13$
$(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=13$
Решение:
Каноническое уравнение окружности это
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},$ где центр находится в точке $(4,-5)$ и $r$ ее радиус.
Поэтому $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{(x-4)^{2}+(y+5)^{2}}$ Так как окружность проходит через точку $(7,-3)$ тогда
$r=\sqrt{\left( 3\right)^{2}+\left( 2\right)^{2}}=\sqrt{13}$
Тогда уравнение это $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=13$
Задача 9
Окружность с центром в точке $(5,6)$ касается оси
x
.
Каково уравнение окружности?
$(x+5)^{2}+(y+6)^{2}=6$
$(x+5)^{2}+(y-6)^{2}=36$
$(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$
$(x-5)^{2}+(y+6)^{2}=6$
Решение:
Ответ: $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$
Так как окружность касается оси x, $r=\left\vert y_{c}\right\vert$ где центр это $(x_{c},y_{c})$
Поэтому $y_{c}=6$ и уравнение это $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$
Задача 10
Окружность с центром в точке $(-4,3)$ касается оси
y
.
Каково уравнение окружности?
$(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=4$
$(x+4)^{2}+(y+3)^{2}=16$
$(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16$
$(x-4)^{2}+(y+3)^{2}=4$
Решение:
Так как окружность касается оси y, то $r=\left\vert x_{c}\right\vert$, где центр в точке $(x_{c},y_{c})$
Поэтому $x_{c}=-4$ и уравнение это $(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Задача 11
Найдите уравнение окружности с центром в точке $O(-2,3)$ и радиусом $r=4$. Какая из данных точек принадлежит окружности?
$(2,3)$
$(-4,3)$
$(1,5)$
Ни одна из них
Решение:
Ответ: $(2,3)$
$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Проверим, какая из точек удовлетворяет этому уравнению.
$A(2,3):(2+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 16=16$ тогда $A(2,3)\in C$
$B(-4,3):(-4+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 4\neq 16$ тогда $B(-4,3)\notin C$
$D(1,5):(1+2)^{2}+(5-3)^{2}=16\Longrightarrow 9+4=13\neq 16$ тогда $D(1,5)\notin C$
Задача 12
Какая из следующих прямых является касательной к окружности $x^{2}+y^{2}-4x-21=0$ в точке \displaystyle $T(5,4)$?
$4y-3x-31=0$
$4x+3y-31=0$
$4y+3x-31=0$
$4y+3x+31=0$
Решение:
Ответ: $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ где $D=-4\qquad E=0\qquad F=-21$
Уравнение касательной в точке $\left( x_{t},y_{t}\right)=(5,4)$
$y-y_{t}=\left( \frac{-2x_{t}-D}{2y_{t}+E}\right) (x-x_{t})$
$y-4=\left( \frac{-10+4}{8+0}\right) (x-5)\Longrightarrow y-4=\frac{-3}{4}(x-5)$
$4y+3x-31=0$
Задача 13
Каково уравнение окружности с центром в точке $O(2,-1)$ которая касается прямой $r:y=x+2$?
Начертите график.
$(x+2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{25}{2}$
$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{25}{2}$
$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{25}{2}$
$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{25}{2}$
Решение:
Ответ: $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{9}{5}$
Известно, что радиус $r$ это расстояние между $O:(h,k)$ и прямой $y-x-2=0$
Поэтому, $O:(2,-1)$ $r=d(O,L)=\frac{\left\vert -2-1-2\right\vert }{\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$ тогда уравнение окружности это
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{25}{2}$
Задача 14
Каково уравнение окружности, которая концентрична с $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=5$ и касается прямой $2x-y+2=0$?
$(x+2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{49}{5}$
$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{49}{5}$
$(x+2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{7}{5}$
$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{49}{5}$
Решение:
Уравнение концентрической окружности $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=r^{2}$
Известно, что радиус $r$ это расстояние между центром $O:(h,k)$ и прямой
Поэтому, $O:(2,-1)$ $r=d(C,L)=\frac{\left\vert 2\times 2+1+2\right\vert }{\sqrt{2^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7}{5}\sqrt{5}$
Тогда уравнение окружности это $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{49}{5}$
Задача 15
Какая из следующих прямых касается окружности
$(x-2)^{2}+y^{2}=25$?
$L1:3x+4y-6=0$
$L2:3x+4y-31=0$
$L3:3x+4y-60=0$
$L4: 2x+y+25=0$
Решение:
Ответ: L2: $3x+4y-31=0$
Прямая является касательной к окружности, если имеет с ней одну общую точку.
Для этих прямых получаем $y=\frac{C-3x}{4}$, заменим $y$ в уравнении окружности, получаем $(x-2)^{2}+\left( \frac{C-3x}{4}\right)^{2}=25$
и теперь решим уравнение,
$x^{2}-4x+4+\frac{C^{2}-6Cx+9x^{2}}{16}=25\Longrightarrow 16x^{2}-64x+64+C^{2}-6Cx+9x^{2}=400$
Тогда $25x^{2}-(64+6C)x+\left( 64+C^{2}-400\right) =0$
$x=\frac{(64+6C)\pm \sqrt{(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) }}{50}$
Так как $x$ может принимать только одно значение (точка касания),
тогда $(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) =0$ У нас есть три варианта $C=6,31,60$
значение $C$ которое удовлетворяет предыдущее выражение это $C=31$, потому что
$(64+6\cdot 31)^{2}-100\left( 64+31^{2}-400\right) =250^{2}-62500=0$
Поэтому L2: $3x+4y-31=0$ это прямая, которая касается окружности.
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
Об авторе
© 2005 - 2024 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.