Неравенства с модулем - задачи с решениями

Решение:
При [tex]c\gt 0[/tex]: [tex]|A|\leq c \Leftrightarrow -c\leq A\leq c[/tex].
[tex]-3\leq x-1\leq 3 \Leftrightarrow -2\leq x\leq 4[/tex]
Геометрически: расстояние от [tex]x[/tex] до [tex]1[/tex] на числовой прямой не больше [tex]3[/tex].
Ответ: [tex]x\in[-2; 4][/tex].

Решение:
При [tex]c\gt 0[/tex]: [tex]|A|\gt c \Leftrightarrow A\gt c[/tex] или [tex]A\lt -c[/tex].
[tex]2x-1\gt 2 \Rightarrow x\gt \frac{3}{2}[/tex]
[tex]2x-1\lt -2 \Rightarrow x\lt -\frac{1}{2}[/tex]
Ответ: [tex]x\in\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2}; +\infty\right)[/tex].

Решение:
[tex]|4x-20|=4|x-5|[/tex], следовательно [tex]3|x-5|-4|x-5|=-|x-5|\leq -2[/tex].
[tex]|x-5|\geq 2 \Leftrightarrow x-5\leq -2[/tex] или [tex]x-5\geq 2[/tex]
Ответ: [tex]x\in(-\infty; 3]\cup[7; +\infty)[/tex].

Решение:
[tex]x^2+1\gt 0[/tex] при всех [tex]x[/tex], поэтому [tex]\left|x^2+1\right|=x^2+1[/tex].
[tex]x^2+1+2x\lt 4 \Leftrightarrow x^2+2x-3\lt 0 \Leftrightarrow (x+3)(x-1)\lt 0[/tex]
Ответ: [tex]x\in(-3; 1)[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 2[/tex].
[tex]\frac{1}{|x-2|}\lt 3 \Leftrightarrow |x-2|\gt \frac{1}{3}[/tex] (умножили на [tex]|x-2|\gt 0[/tex])
[tex]x-2\gt \frac{1}{3} \Rightarrow x\gt \frac{7}{3}[/tex]; [tex]x-2\lt -\frac{1}{3} \Rightarrow x\lt \frac{5}{3}[/tex]
Ответ: [tex]x\in\left(-\infty; \frac{5}{3}\right)\cup\left(\frac{7}{3}; +\infty\right)[/tex].

Решение:
[tex]\frac{1}{2}|5-x|\lt \frac{3}{2} \Leftrightarrow |x-5|\lt 3 \Leftrightarrow 2\lt x\lt 8[/tex]
Наименьшее целое число в [tex](2; 8)[/tex] — [tex]3[/tex] ([tex]2[/tex] не входит).

Решение:
[tex]|A|\lt B \Leftrightarrow -B\lt A\lt B[/tex] (это учитывает и случай [tex]B\leq 0[/tex], когда решений нет):
[tex]x-4\lt 2x+3\lt 4-x[/tex]
[tex]x-4\lt 2x+3 \Leftrightarrow x\gt -7[/tex]; [tex]2x+3\lt 4-x \Leftrightarrow x\lt \frac{1}{3}[/tex]
Ответ: [tex]x\in\left(-7; \frac{1}{3}\right)[/tex].

Решение:
[tex]-1\lt x^2-3\lt 1 \Leftrightarrow 2\lt x^2\lt 4[/tex]
[tex]x^2\gt 2 \Leftrightarrow |x|\gt\sqrt{2}[/tex]; [tex]x^2\lt 4 \Leftrightarrow |x|\lt 2[/tex]
Ответ: [tex]x\in\left(-2; -\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2}; 2\right)[/tex].
Замечание: [tex]|A|\lt c[/tex] означает систему (оба неравенства выполняются одновременно): [tex]A\gt -c[/tex] и [tex]A\lt c[/tex].

Решение:
Используем то, что [tex]x^2=|x|^2[/tex]. Пусть [tex]t=|x|\geq 0[/tex]:
[tex]t^2-8t+15=(t-3)(t-5)\geq 0 \Leftrightarrow t\leq 3[/tex] или [tex]t\geq 5[/tex]
[tex]|x|\leq 3 \Leftrightarrow -3\leq x\leq 3[/tex]; [tex]|x|\geq 5 \Leftrightarrow x\leq -5[/tex] или [tex]x\geq 5[/tex]
Ответ: [tex]x\in(-\infty; -5]\cup[-3; 3]\cup[5; +\infty)[/tex].

Решение:
Проверим каждое значение:
[tex]x=3:\ |2+9|=11[/tex], [tex]|9+3-4|=8[/tex]; [tex]11\lt 8[/tex] неверно.
[tex]x=4:\ 14\lt 16[/tex]; [tex]x=5:\ 17\lt 26[/tex]; [tex]x=6:\ 20\lt 38[/tex] — верно.
Ответ: [tex]x=3[/tex].