Квадратные неравенства - задачи с решениями

Решение:
$x^{2}+2x-15>0$
Разложите левую часть на множители: $\left( x+5\right) \left(x-3\right) >0$

Корни равны $x=-5\qquad x=3$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-5\right) & -5 & \left( -5,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x+5\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 8 & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -8 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+5\right) \left( x-3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Решение: $x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( 3,+\infty \right)$

Решение:
$x^{2}-2x-3\leq 0$

$\left( x+1\right) \left(x-3\right) \leq 0$

Корни равны $x=-1\qquad x=3$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-1\right) & -1 & \left( -1,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -4 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+1\right) \left( x-3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left[ -1,3\right]$

Решение:
$3x^{2}-x-2\leq 0$

Корни квадратного уравнения равны:
$x=\frac{1\pm \sqrt{1-4\left( 3\right) \left( -2\right) }}{6}=\frac{1\pm \sqrt{25}}{6}$

$x=\frac{1\pm 5}{6}$

$x=1\qquad x=-\frac{2}{3}$

тогда
$3x^{2}-x-2=3\left( x-1\right) \left( x+\frac{2}{3}\right) \leq 0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-\frac{2}{3}\right) & -\frac{2}{3} & \left( -\frac{2}{3},1\right) & 1 & \left( 1,+\infty \right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -\frac{5}{3} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+\frac{2}{3}\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{1}{3} & \left( +\right) \\ 3\left( x-1\right) \left( x+\frac{2}{3}\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left[ -\frac{2}{3},1\right] $

Решение:
$x^{2}-8x+12=\left( x-2\right) \left( x-6\right) <0$

$x=2$
$x=6$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,2\right) & 2 & \left( 2,6\right) & 6 & \left( 6,+\infty \right) \\ \left( x-2\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x-6\right) & \left( -\right) & -4 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x-2\right) \left( x-6\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left( 2,6\right) $

Решение:
Нужно решить $x^{2}-5x=0$

$x^{2}-5x=x\left( x-5\right)$
Итак, корни уравнения равны:
$x=0\qquad x=5$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,0\right) & 0 & \left( 0,5\right) & 5 & \left( 5,+\infty \right) \\ x & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 5 & \left( +\right) \\ \left( x-5\right) & \left( -\right) & -5 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ x\left( x-5\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left( -\infty ,0\right] \cup \left[ 5,+\infty \right) $

Решение:
Нужно найти нули выражения $3x^{2}-27=0$

$3x^{2}-27=3\left( x-3\right) \left( x+3\right)$
Итак, корни равны:
$x=-3\qquad x=3$

Рассмотрим $3x^{2}-27<0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -6 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 6 & \left( +\right) \\ 3\left( x-3\right) \left( x+3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left( -3,3\right) $

Решение:
$9x>2x^{2}-18\Longrightarrow 2x^{2}-9x-18<0$

Корни равны:
$x=\frac{9\pm \sqrt{81-4\left( 2\right) \left( -18\right) }}{4}=\frac{9\pm \sqrt{225}}{4}=$ $\frac{9\pm 15}{4}$

$x=6\qquad x=-\frac{3}{2}$
Левую часть можно записать как произведение двух линейных множителей:
$2\left( x-6\right) \left( x+\frac{3}{2}\right)$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-\frac{3}{2}\right) & -\frac{3}{2} & \left( -\frac{3}{2}% ,6\right) & 6 & \left( 6,+\infty \right) \\ \left( x-6\right) & \left( -\right) & -\frac{15}{2} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+\frac{3}{2}\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{% 15}{2} & \left( +\right) \\ 2\left( x-6\right) \left( x+\frac{3}{2}\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left( -\frac{3}{2},6\right) $

Решение:
Решим уравнение
$9x^{2}+30x+25=0$

$x=\frac{-30\pm \sqrt{900-4\left( 9\right) \left( 25\right) }}{18}=\frac{-30\pm \sqrt{900-900}}{18}=-\frac{5}{3}$ тогда
$9x^{2}+30x+25=9\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}$

Но $\left( x+\frac{5}{3}\right) ^{2}>0$ при всех $x\neq -\frac{5}{3}$
Ответ: $x\in \left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right) \cup \left( -\frac{5}{3},+\infty \right)$

Решение:
Корни уравнения
$4x^{2}-4x+1=0$

равны $x=\frac{4\pm \sqrt{16-4(4)1}}{8}=\frac{1}{2}$

$4x^{2}-4x+1=4\left( x-\frac{1}{2}\right)^{2}<0$

Квадратное неравенство $4x^{2}-4x+1<0$ не имеет действительных решений, так как

$\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}\geq 0$ при всех $x\in \mathbb{R}$

Ответ: $x\in \varnothing$

Решение:
$x^{2}+6x\leq -9\Longrightarrow x^{2}+6x+9\leq 0$
Тогда $\left( x+3\right)^{2}\leq 0$

Так как $\left( x+3\right) ^{2}=0$ только если $x+3=0\Longrightarrow x=-3$ — решение.

Решение:
Найдём корни уравнения

$\left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) =0$

$x=-1\qquad x=-2\qquad x=-3$

Получаем следующую таблицу:

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,-2\right) & -2 & \left( -2,-1\right) & -1 & \left( -1,\infty \right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+2\right) & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 2 & (+) \\ \left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

и так как $-\left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) <0\Longrightarrow \left( x+1\right) \left( x+2\right) \left( x+3\right) >0$

Ответ: $x\in \left( -3,-2\right) \cup \left( -1,\infty \right)$

Решение:
$-2\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) \leq 0$

Найдём корни уравнения

$\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) =0$

$x=-\frac{1}{2}\qquad x=1\qquad x=3$

Получаем следующую таблицу

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-\frac{1}{2}\right) & -\frac{1}{2} & \left( -\frac{1}{2},1\right) & 1 & \left( 1,3\right) & 3 & \left( 3,\infty \right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -\frac{3}{2} & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) \\ \left( x+\frac{1}{2}\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & \frac{3}{2} & \left( +\right) & \frac{7}{2} & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -\frac{7}{2} & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & (+) \\ \left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Так как $-2\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) \leq 0$ когда $\left( x-1\right) \left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) \geq 0$

Ответ: $x\in \left[ -\frac{1}{2},1\right] \cup \left[ 3,+\infty \right) $

Решение:
$\left( x^{2}-1\right) \left( x^{2}-4\right) =0\Longrightarrow \left( x-1\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right) \left( x+2\right) =0$

Корни равны $x=1\qquad x=-1\qquad x=2\qquad x=-2$

Тогда таблица знаков имеет вид

$\begin{array}{cccccccccc} & \left( -\infty ,-2\right) & -2 & \left( -2,-1\right) & -1 & \left( -1,1\right) & 1 & \left( 1,2\right) & 2 & \left( 2,+\infty \right) \\ \left( x-1\right) & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) \\ \left( x+1\right) & \left( -\right) & -1 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) \\ \left( x-2\right) & \left( -\right) & -4 & \left( -\right) & -3 & \left( -\right) & -1 & (-) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+2\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 3 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x-1\right) \left( x+1\right) \left( x-2\right) \left( x+2\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Итак, $\left( x^{2}-1\right) \left( x^{2}-4\right) \leq 0$ когда $x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] $

Решение:
Найдём нули выражения $\left( x-1\right) ^{2}\left( x+3\right) \left(x+5\right) =0$

Это $x=1\qquad x=-3\qquad x=-5$
Таблица знаков имеет вид

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-5\right) & -5 & \left( -5,-3\right) & -3 & \left( -3,1\right) & 1 & \left( 1,+\infty \right) \\ \left( x-1\right) ^{2} & \left( +\right) & 36 & \left( +\right) & 16 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & -2 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 4 & \left( +\right) \\ \left( x+5\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 2 & \left( +\right) & 6 & \left( +\right) \\ \left( x-1\right) ^{2}\left( x+3\right) \left( x+5\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( -3,1\right) \cup \left( 1,+\infty \right) $

Решение:
Найдём нули выражения
$\left( x+3\right) ^{2}\left( x+4\right) \left( x-5\right) ^{3}=0$

Это $x=-3\qquad x=-4\qquad x=5$

Таблица знаков имеет вид

$\begin{array}{cccccccc} & \left( -\infty ,-4\right) & -4 & \left( -4,-3\right) & -3 & \left( -3,5\right) & 5 & \left( 5,+\infty \right) \\ \left( x+3\right) ^{2} & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 0 & \left( +\right) & 64 & \left( +\right) \\ \left( x+4\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 1 & \left( +\right) & 9 & \left( +\right) \\ \left( x-5\right) ^{3} & \left( -\right) & -729 & \left( -\right) & -512 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) ^{2}\left( x+4\right) \left( x-5\right) ^{3} & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Ответ: $x\in \left( -\infty ,-4\right) \cup \left( 5,+\infty \right) $

Решение:
$7x^{2}-3>60\Longrightarrow 7x^{2}-63>0\Longrightarrow 7\left( x-3\right) \left( x+3\right) >0$

Получаем следующую таблицу

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-3\right) & -3 & \left( -3,3\right) & 3 & \left( 3,+\infty \right) \\ \left( x-3\right) & \left( -\right) & -6 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+3\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 6 & \left( +\right) \\ \left( x-3\right) \left( x+3\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Решение неравенства: $x\in \left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 3,+\infty \right) $

Но так как $x>0$ тогда $x\in \left( 3,+\infty \right)$
Итак, $x>3$ — ответ задачи.

Решение:
$d=\frac{1}{2}\left( n-1\right) n-n$

$d>35\qquad \frac{1}{2}\left(n-1\right) n-n>35$

$n^{2}-n-2n>70\qquad n^{2}-3n>70\qquad n^{2}-3n-70>0$

$\left( n-10\right) \left( n+7\right) >0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-7\right) & -7 & \left( -7,10\right) & 10 & \left( 10,+\infty \right) \\ \left( n-10\right) & \left( -\right) & -17 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( n+7\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 17 & \left( +\right) \\ \left( n-10\right) \left( n+7\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Решение неравенства: $n\in \left( -\infty ,-7\right) \cup \left( 10,+\infty \right)$

Так как $n$ должно быть больше $0$ тогда $n>10$.

Решение:
$t=\frac{n(n+1)}{2}\qquad t<5050$

$\frac{n(n+1)}{2}<5050$

$n^{2}+n<10100$
значит $n^{2}+n-10100<0\Longrightarrow \left( n+101\right) \left( n-100\right) <0$

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-101\right) & -101 & \left( -101,100\right) & 100 & \left( 100,+\infty \right) \\ \left( n+101\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 201 & \left( +\right) \\ \left( n-100\right) & \left( -\right) & -201 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( n+101\right) \left( n-100\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array}$

Решение неравенства: $n\in \left( -101,100\right)$

но так как $n\geq 1$ получаем, что $n\in \left[ 1,100\right) $
значит $1\leq n< 100$

Решение:
$A=xy$
где $x=$ — ширина, а $y=$ — длина сада.

Так как $x=2y\Longrightarrow y=\frac{1}{2}x$
значит $A=xy=\frac{1}{2}x^{2}>98$
Тогда $x^{2}-196>0$
$\left( x-14\right) \left( x+14\right) >0$

Найдём решение, анализируя следующую таблицу

$\begin{array}{cccccc} & \left( -\infty ,-14\right) & -14 & \left( -14,14\right) & 14 & \left( 14,+\infty \right) \\ \left( x-14\right) & \left( -\right) & -28 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \\ \left( x+14\right) & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) & 28 & \left( +\right) \\ \left( x-14\right) \left( x+14\right) & \left( +\right) & 0 & \left( -\right) & 0 & \left( +\right) \end{array} $

Решение неравенства: $x\in \left( -\infty ,-14\right) \cup \left( 14,+\infty \right) $

Так как $x>0$ получаем, что $x\in \left( 14,+\infty \right) $ значит
$x>14$ метров