Окружность - хорды и касательные - задачи с решениями

Решение:
Пусть [tex]M[/tex] — основание перпендикуляра из [tex]O[/tex] на хорду: [tex]OM \perp AB[/tex]. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому [tex]AM=\frac{AB}{2}=8[/tex].
Из прямоугольного [tex]\triangle OAM[/tex]: [tex]OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{100-64}=6[/tex].

Решение:
Пусть [tex]AM=3k;\ BM=2k[/tex]. По теореме о пересекающихся хордах [tex]AM \cdot BM=CM \cdot DM[/tex], поэтому [tex]6k^2=96[/tex] и [tex]k=4[/tex].
Следовательно, [tex]AB=5k=20[/tex].

Решение:
[tex]BA=BD+DA=26[/tex]. По теореме о касательной и секущей [tex]BC^2=BD \cdot BA=8 \cdot 26=208[/tex], поэтому [tex]BC=\sqrt{208}=4\sqrt{13}[/tex].

Решение:
Расстояние между центрами [tex]O_1O_2=50+32=82[/tex]. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной; прямая через центр меньшей окружности, параллельная касательной, даёт прямоугольный треугольник с гипотенузой [tex]O_1O_2[/tex] и катетом, равным разности радиусов, поэтому [tex]T_1T_2=\sqrt{O_1O_2^2-(50-32)^2}=\sqrt{82^2-18^2}=\sqrt{6400}=80[/tex].

Решение:
Линия центров — серединный перпендикуляр к общей хорде, а половина хорды равна [tex]\frac{24}{2}=12[/tex]. Расстояния от центров до хорды равны [tex]d_1=\sqrt{13^2-12^2}=5[/tex] и [tex]d_2=\sqrt{15^2-12^2}=9[/tex].
Центры лежат по разные стороны от хорды, поэтому [tex]O_1O_2=5+9=14[/tex].

Решение:
Пусть [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] — основания перпендикуляров из [tex]O[/tex]: [tex]OM \perp AB;\ ON \perp CD[/tex], и [tex]OM=ON[/tex]. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому [tex]AM=\frac{AB}{2};\ CN=\frac{CD}{2}[/tex].
У прямоугольных треугольников [tex]OA=OC[/tex] (радиусы) и [tex]OM=ON[/tex], поэтому [tex]\triangle OAM \cong \triangle OCN[/tex] и [tex]AM=CN[/tex].
Следовательно, [tex]AB=CD[/tex].

Решение:
Угол, опирающийся на диаметр [tex]AB[/tex], прямой: [tex]\angle AMB=90^\circ[/tex], поэтому [tex]BM \perp AM[/tex].
Так как [tex]AM \parallel BN[/tex], то и [tex]BM \perp BN[/tex], т.е. [tex]\angle MBN=90^\circ[/tex].
Значит, вписанный угол [tex]\angle MBN=90^\circ[/tex] опирается на хорду [tex]MN[/tex], поэтому [tex]MN[/tex] — диаметр.

Решение:
[tex]O_1A=O_1B[/tex] (радиусы [tex]k_1[/tex]), поэтому [tex]O_1[/tex] лежит на серединном перпендикуляре к [tex]AB[/tex].
Аналогично [tex]O_2A=O_2B[/tex], поэтому и [tex]O_2[/tex] лежит на нём.
Через две различные точки проходит одна прямая, поэтому [tex]O_1O_2[/tex] — серединный перпендикуляр к [tex]AB[/tex].

Решение:
Пусть [tex]R=5k;\ r=3k[/tex]. При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов: [tex]O_1O_2=R-r=2k[/tex].
Значит, [tex]2k=14[/tex], [tex]k=7[/tex] и [tex]R=35;\ r=21[/tex].

Решение:
Диаметр равен [tex]8+3=11[/tex], поэтому [tex]R=\frac{11}{2}[/tex].
Хорда пересекает диаметр в точке [tex]M[/tex], находящейся на расстоянии [tex]3[/tex] от одного его конца, поэтому [tex]OM=R-3=\frac{5}{2}[/tex].

Решение:
[tex]r_1+r_2=5+3=8[/tex], поэтому [tex]O_1O_2=r_1+r_2[/tex]: окружности касаются внешним образом.
У двух окружностей, касающихся внешним образом, две общие внешние касательные и одна общая касательная в точке касания — всего [tex]3[/tex].

Решение:
Опустим перпендикуляры [tex]AA_1 \perp a;\ BB_1 \perp a;\ OO_1 \perp a[/tex]. Тогда [tex]AA_1B_1B[/tex] — прямоугольная трапеция, а [tex]OO_1[/tex] — её средняя линия, так как [tex]O[/tex] — середина [tex]AB[/tex].
Следовательно, [tex]OO_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}=\frac{3+11}{2}=7[/tex].

Решение:
Так как [tex]AM \perp MB[/tex], [tex]AB[/tex] — диаметр и [tex]O[/tex] — его середина. Пусть [tex]K[/tex] и [tex]L[/tex] — середины [tex]AM[/tex] и [tex]MB[/tex]; [tex]OK;\ OL[/tex] — средние линии [tex]\triangle AMB[/tex], поэтому [tex]OK \parallel MB;\ OL \parallel AM[/tex], и они перпендикулярны хордам.
Следовательно, [tex]OK=\frac{MB}{2}=2;\ OL=\frac{AM}{2}=\frac{3}{2}[/tex].

Решение:
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Для хорды [tex]BC[/tex]: [tex]\angle PBC=\angle BAC=60^\circ[/tex] и [tex]\angle PCB=\angle BAC=60^\circ[/tex].
Тогда [tex]\angle BPC=60^\circ[/tex], поэтому все углы [tex]\triangle BPC[/tex] равны и он равносторонний.

Решение:
Симметрия относительно линии центров [tex]O_1O_2[/tex] меняет местами две общие внешние касательные, поэтому меняет местами точки касания на каждой окружности. Значит, [tex]O_1O_2[/tex] — серединный перпендикуляр к соединяющим их отрезкам: [tex]T_1T_1' \perp O_1O_2[/tex] и [tex]T_2T_2' \perp O_1O_2[/tex].
Поэтому [tex]T_1T_1' \parallel T_2T_2'[/tex], а так как радиусы различны, эти отрезки имеют разную длину; следовательно, [tex]T_1T_1'T_2'T_2[/tex] — трапеция (равнобедренная, так как [tex]T_1T_2=T_1'T_2'[/tex]).

Решение:
Пусть [tex]H[/tex] — основание перпендикуляра из [tex]O[/tex] на [tex]l[/tex]: [tex]OH \perp l[/tex]. Перпендикуляр из центра делит пополам каждую хорду на [tex]l[/tex], поэтому [tex]HA=HB[/tex] и [tex]HC=HD[/tex].
Следовательно, [tex]AC=HA-HC=HB-HD=BD[/tex].

Решение:
Сравним радиус с расстоянием [tex]d=8[/tex] от центра до прямой. При [tex]R=6 \lt d[/tex] прямая не пересекает окружность: [tex]0[/tex] общих точек; при [tex]R=8=d[/tex] она касательная: [tex]1[/tex] общая точка; при [tex]R=10 \gt d[/tex] она секущая: [tex]2[/tex] общие точки.

Решение:
Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: [tex]OA \perp CA[/tex], поэтому [tex]CA=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}[/tex]. Отрезки касательных из одной точки равны: [tex]CA=CB[/tex].
Кроме того, [tex]\sin\angle OCA=\frac{OA}{OC}=\frac{1}{2}[/tex], поэтому [tex]\angle OCA=30^\circ;\ \angle ACB=60^\circ[/tex]; равнобедренный треугольник с таким углом при вершине равносторонний: [tex]AB=CA=CB=2\sqrt{3}[/tex].

Решение:
За один час конец стрелки описывает полную окружность радиуса [tex]10[/tex] см: [tex]C=2\pi r=2\pi \cdot 10=20\pi[/tex] см.
За [tex]10[/tex] часов: [tex]10 \cdot 20\pi=200\pi[/tex] см.

Решение:
Так как [tex]AO \lt 6[/tex], точка [tex]A[/tex] лежит внутри [tex]k(O;6)[/tex], поэтому касание внутреннее и расстояние между центрами равно разности радиусов.
Если [tex]k'(A;r)[/tex] внутри [tex]k(O;6)[/tex]: [tex]r=6-3=3[/tex]. Если [tex]k(O;6)[/tex] внутри [tex]k'(A;r)[/tex]: [tex]r=6+3=9[/tex].

Решение:
Пусть [tex]K;\ L[/tex] — основания перпендикуляров из [tex]O[/tex]: [tex]OK \perp AB;\ OL \perp CD[/tex]. Равные хорды равноудалены от центра, поэтому [tex]OK=OL[/tex].
Прямоугольные треугольники с общей гипотенузой [tex]MO[/tex] и катетами [tex]OK=OL[/tex] равны: [tex]\triangle OKM \cong \triangle OLM[/tex], поэтому [tex]\angle OMK=\angle OML[/tex].