Задачи с параметрическими линейными уравнениями - задачи с решениями

Решение:
Коэффициент при [tex]x[/tex] равен [tex]1[/tex] и никогда не обращается в нуль, поэтому при любом значении параметра уравнение имеет ровно одно решение.
Вычитаем [tex]a[/tex] из обеих частей:
[tex]x=2a+1-a[/tex]
[tex]x=a+1[/tex]
Значит, при любом действительном [tex]a[/tex] уравнение имеет единственное решение [tex]x=a+1[/tex].

Решение:
Если [tex]x=2[/tex] — решение, то при подстановке должно получиться верное равенство. Подставляем [tex]x=2[/tex] в уравнение:
[tex]a\cdot 2=a+3[/tex]
Теперь у нас обычное линейное уравнение, но неизвестным является параметр [tex]a[/tex]:
[tex]2a-a=3[/tex]
[tex]a=3[/tex]
Проверка: при [tex]a=3[/tex] уравнение имеет вид [tex]3x=6[/tex], его решение действительно [tex]x=2[/tex].
Ответ: [tex]a=3[/tex]

Решение:
Если мы можем разделить на [tex]a[/tex], значит всегда есть решение [tex]x=\frac{1}{a}[/tex]. Давайте проверим случаи, когда мы не можем разделить на [tex]a[/tex], или другими словами, [tex]a=0[/tex]. Мы получаем [tex]0x=1[/tex], что не имеет решения. Поэтому ответ для этой задачи есть [tex]a=0[/tex].

Решение:
Уравнение вида [tex]mx=b[/tex] не имеет решений только тогда, когда коэффициент [tex]m[/tex] равен нулю, а [tex]b[/tex] — нет. Сначала приравняем коэффициент к нулю:
[tex]a^3+1=0[/tex]
[tex]a^3=-1[/tex]
[tex]a=-1[/tex]
Проверим правую часть при [tex]a=-1[/tex]: [tex]109+(-1)=108[/tex], это не нуль. Уравнение принимает вид [tex]0x=108[/tex] и действительно не имеет решений.
Ответ: [tex]a=-1[/tex].

Решение:
Уравнение может не иметь решений только тогда, когда коэффициент при [tex]x[/tex] равен нулю:
[tex]a^2-1=0[/tex], то есть [tex]a=1[/tex] или [tex]a=-1[/tex].
Нужно проверить оба значения, потому что нулевого коэффициента недостаточно — правая часть тоже должна быть отлична от нуля.
При [tex]a=1[/tex]: [tex]0x=2[/tex] — решений нет.
При [tex]a=-1[/tex]: [tex]0x=0[/tex] — решением является любое [tex]x[/tex].
Значит, искомое значение только [tex]a=1[/tex].

Решение:
Здесь неизвестное встречается в обеих частях, поэтому сначала переносим члены с [tex]x[/tex] влево, а остальные вправо:
[tex]ax-2x=a-4[/tex]
[tex](a-2)x=a-4[/tex]
Только теперь можно рассмотреть коэффициент. Он равен нулю при [tex]a=2[/tex], и тогда правая часть равна [tex]2-4=-2[/tex], что не есть нуль.
Уравнение принимает вид [tex]0x=-2[/tex] и не имеет решений.
Ответ: [tex]a=2[/tex]

Решение:
Для любого [tex]x[/tex], значение левой стороны равно нулю. Мы получаем [tex]b-7=0[/tex], или [tex]b=7[/tex]. Таким образом, мы получаем [tex]0x=0[/tex], что имеет бесконечно много решений.

Решение:
Для того, чтобы любое [tex]x[/tex] могло быть решением, уравнение должно иметь вид [tex]0x=0[/tex]. Это означает, что [tex](a-2)=(a-2)^2=0[/tex] или [tex]a=2[/tex].

Решение:
Любое [tex]x[/tex] будет решением, только если уравнение имеет вид [tex]0x=0[/tex]. Значит, и коэффициент, и правая часть должны быть равны нулю:
[tex]a-4=0[/tex] и [tex]a^2-16=0[/tex]
Из первого уравнения [tex]a=4[/tex]. Проверяем во втором: [tex]4^2-16=0[/tex] — выполняется.
При [tex]a=4[/tex] уравнение принимает вид [tex]0x=0[/tex], поэтому любое действительное число является решением.
(При [tex]a\neq 4[/tex] можно разделить на [tex]a-4[/tex] и получить единственное решение [tex]x=a+4[/tex].)
Ответ: [tex]a=4[/tex].

Решение:
Уравнение имеет бесконечно много решений только тогда, когда оно имеет вид [tex]0x=0[/tex]. Значит, и коэффициент, и правая часть должны быть равны нулю.
Из [tex]a+1=0[/tex] получаем [tex]a=-1[/tex]. Проверяем правую часть: [tex](-1)^2-1=0[/tex] — она тоже обращается в нуль.
При [tex]a=-1[/tex] уравнение имеет вид [tex]0x=0[/tex], и решением является любое действительное число.
(При [tex]a\neq -1[/tex] раскладываем [tex]a^2-1=(a-1)(a+1)[/tex] и делим, что даёт единственное решение [tex]x=a-1[/tex].)
Ответ: [tex]a=-1[/tex]

Решение:
Всё зависит от коэффициента [tex]a[/tex].
Первый случай: [tex]a\neq 0[/tex]. Делим обе части на [tex]a[/tex] и получаем единственное решение [tex]x=4[/tex]. Заметим, что это решение не зависит от параметра.
Второй случай: [tex]a=0[/tex]. Уравнение принимает вид [tex]0x=0[/tex], что верно при любом [tex]x[/tex], значит решением является любое действительное число.

Решение:
Разложим правую часть на множители:
[tex](a-3)x=(a-3)(a+3)[/tex]
Всё зависит от коэффициента [tex]a-3[/tex].
Первый случай: [tex]a\neq 3[/tex]. Тогда [tex]a-3\neq 0[/tex] и можно разделить обе части на него, получаем единственное решение [tex]x=a+3[/tex].
Второй случай: [tex]a=3[/tex]. Уравнение принимает вид [tex]0x=0[/tex], что верно при любом [tex]x[/tex], значит решением является любое действительное число.
Обратите внимание: нет такого значения [tex]a[/tex], при котором это уравнение не имеет решений.

Решение:
Правая часть равна [tex]5[/tex] и никогда не обращается в нуль, поэтому уравнение не может иметь вид [tex]0x=0[/tex] — бесконечно много решений здесь невозможны.
Первый случай: [tex]a\neq 1[/tex]. Тогда [tex]a-1\neq 0[/tex] и делим на него: [tex]x=\frac{5}{a-1}[/tex].
Второй случай: [tex]a=1[/tex]. Уравнение принимает вид [tex]0x=5[/tex], что неверно при любом [tex]x[/tex], значит решений нет.

Решение:
Если уравнение не определено, тогда знаменатель должен быть равен нулю. Единственный знаменатель здесь есть [tex]a+5[/tex], и мы получаем [tex]a=-5[/tex]

Решение:
Точка пересечения лежит на первом графике: [tex]x=2 \Rightarrow 3y=-1-2=-3 \Rightarrow y=-1[/tex].
Точка [tex](2; -1)[/tex] лежит и на втором графике:
[tex]-1=7-2a \Rightarrow 2a=8 \Rightarrow a=4[/tex]

Решение:
[tex]10-2x=5a-10x \Rightarrow 8x=5a-10 \Rightarrow x=\frac{5a-10}{8}[/tex]
[tex]\frac{5a-10}{8}\ge 0 \Rightarrow 5a-10\ge 0 \Rightarrow a\ge 2[/tex]

Решение:
Два уравнения равносильны, если множества их решений совпадают.
Второе уравнение имеет единственный корень [tex]x=5[/tex], значит, [tex]x=5[/tex] должно быть единственным корнем и первого:
[tex]5a-2=a \Rightarrow 4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex]
При [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] первое уравнение принимает вид [tex]\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}[/tex], т.е. [tex]x=5[/tex] — единственный корень.

Решение:
[tex]mx-2x=3n-9 \Rightarrow (m-2)x=3n-9[/tex]
Любое [tex]x[/tex] является решением только тогда, когда уравнение принимает вид [tex]0\cdot x=0[/tex]:
[tex]m-2=0[/tex] и [tex]3n-9=0 \Rightarrow m=2; n=3[/tex]