Задачи с параметрическими линейными уравнениями - сложные задачи с решениями

Решение:
Уравнение типа [tex]mx=b[/tex] может не иметь решений только если [tex]m=0[/tex]. В нашем случае, это [tex]a-2=0[/tex] или [tex]a=2[/tex]. Заменяя [tex]a=2[/tex] в уравнении, мы получим [tex]0x=5[/tex], что не имеет решений.

Решение:
Коэффициент должен быть равен нулю: [tex]a^2-9=0[/tex], то есть [tex]a=3[/tex] или [tex]a=-3[/tex]. Оба значения нужно проверить в правой части.
При [tex]a=3[/tex]: [tex]9-6-3=0[/tex], уравнение имеет вид [tex]0x=0[/tex] — решением является любое [tex]x[/tex].
При [tex]a=-3[/tex]: [tex]9+6-3=12[/tex], уравнение имеет вид [tex]0x=12[/tex] — решений нет вовсе.
Только один из двух корней даёт бесконечно много решений.
Ответ: [tex]a=3[/tex]

Решение:
Пока коэффициент отличен от нуля, на него можно разделить и получить ровно одно решение. Поэтому уравнение не имеет ровно одного решения именно тогда, когда коэффициент обращается в нуль:
[tex]a^2-5a+6=0[/tex]
[tex](a-2)(a-3)=0[/tex]
то есть [tex]a=2[/tex] или [tex]a=3[/tex].
Заметьте, что в задаче не спрашивается, какой именно случай — подходят оба. Всё же полезно посмотреть: при [tex]a=2[/tex] получаем [tex]0x=0[/tex] (бесконечно много решений), а при [tex]a=3[/tex] получаем [tex]0x=1[/tex] (решений нет). Ни то, ни другое не является «ровно одним».
Искомая сумма равна [tex]2+3=5[/tex].

Решение:
Параметр стоит в знаменателе, поэтому сначала [tex]a\neq 0[/tex]. Умножим обе части на [tex]2a[/tex]:
[tex]a(x-a)+2(x-2)=4a[/tex]
[tex]ax-a^2+2x-4=4a[/tex]
Соберём слагаемые с [tex]x[/tex] слева, остальные справа:
[tex](a+2)x=a^2+4a+4[/tex]
[tex](a+2)x=(a+2)^2[/tex]
Уравнение имеет бесконечно много решений, когда оно имеет вид [tex]0x=0[/tex], то есть когда [tex]a+2=0[/tex], или [tex]a=-2[/tex]. Это значение допустимо, так как [tex]-2\neq 0[/tex].
(При любом другом [tex]a\neq 0[/tex] уравнение имеет единственное решение [tex]x=a+2[/tex].)
Ответ: [tex]a=-2[/tex].

Решение:
Сначала соберём члены с [tex]x[/tex] слева, а остальные справа:
[tex]ax-3x=a-2[/tex]
[tex](a-3)x=a-2[/tex]
Первый случай: [tex]a\neq 3[/tex]. Делим на [tex]a-3[/tex] и получаем единственное решение [tex]x=\frac{a-2}{a-3}[/tex].
Второй случай: [tex]a=3[/tex]. Уравнение принимает вид [tex]0x=1[/tex], что неверно при любом [tex]x[/tex], значит решений нет.

Решение:
Разложим левую часть на множители:
[tex]a(a^2+a+1)x=186(a^2+a+1)[/tex]
Выражение [tex]a^2+a+1[/tex] никогда не равно нулю при действительном [tex]a[/tex] — его дискриминант [tex]1-4=-3[/tex] отрицателен — поэтому можно разделить обе части на него:
[tex]ax=186[/tex]
Теперь всё зависит от [tex]a[/tex].
Если [tex]a\neq 0[/tex], делим на [tex]a[/tex] и получаем единственное решение [tex]x=\frac{186}{a}[/tex].
Если [tex]a=0[/tex], уравнение принимает вид [tex]0x=186[/tex] и не имеет решений.

Решение:
Соблазнительно сразу сократить одно [tex]a[/tex] в обеих частях, но это допустимо только при [tex]a\neq 0[/tex] — а случай [tex]a=0[/tex] как раз самый интересный.
Первый случай: [tex]a\neq 0[/tex]. Тогда [tex]a^2\neq 0[/tex] и делим: [tex]x=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}[/tex].
Второй случай: [tex]a=0[/tex]. Уравнение принимает вид [tex]0x=0[/tex], что верно при любом [tex]x[/tex], значит решением является любое действительное число.
Обратите внимание на отличие от [tex]ax=1[/tex]: здесь правая часть обращается в нуль вместе с коэффициентом, поэтому получаем бесконечно много решений, а не ни одного.

Решение:
При [tex]a=0[/tex] уравнение имеет вид [tex]0x=12[/tex] и не имеет решений вовсе, поэтому [tex]a=0[/tex] не считается.
При [tex]a\neq 0[/tex] решение равно [tex]x=\frac{12}{a}[/tex], и оно целое ровно тогда, когда [tex]a[/tex] — делитель числа [tex]12[/tex].
Положительные делители [tex]12[/tex] — это [tex]1, 2, 3, 4, 6, 12[/tex], их шесть. Не забудьте отрицательные: [tex]-1, -2, -3, -4, -6, -12[/tex] тоже подходят, ведь деление на отрицательное число всё равно даёт целое.
Всего [tex]6+6=12[/tex] значений.
Ответ: [tex]12[/tex]

Решение:
Первое уравнение: [tex]7x-17=3x-15 \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]
Второе уравнение: [tex]bx-2b=3x+3b-2b+1 \Rightarrow (b-3)x=3b+1[/tex]
Оно должно иметь единственный корень [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] (поэтому [tex]b\neq 3[/tex]):
[tex]\frac{b-3}{2}=3b+1 \Rightarrow b-3=6b+2 \Rightarrow b=-1[/tex]

Решение:
[tex]ax-bx=a^2-b^2 \Rightarrow (a-b)x=(a-b)(a+b)[/tex]
Если [tex]a\neq b[/tex], делим на [tex]a-b[/tex]: [tex]x=a+b[/tex].
Если [tex]a=b[/tex], уравнение принимает вид [tex]0\cdot x=0[/tex] и любое [tex]x[/tex] является решением.

Решение:
[tex]x^2-ax-2ax-a=x^2+ax-x-a-5[/tex]
[tex]-3ax-ax+x=-5 \Rightarrow (1-4a)x=-5[/tex]
При [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] корней нет. При [tex]a\neq\frac{1}{4}[/tex]:
[tex]x=\frac{-5}{1-4a}=\frac{5}{4a-1}>0 \Rightarrow 4a-1>0 \Rightarrow a>\frac{1}{4}[/tex]

Решение:
[tex]x-m+2=3[/tex] или [tex]x-m+2=-3[/tex]
[tex]x_1=m+1[/tex], [tex]x_2=m-5[/tex]
[tex]x_1+x_2=2m-4\ge 0 \Rightarrow m\ge 2[/tex]

Решение:
[tex]m^2x^2-4mx+4-2(m-1)x-9x^2+6=0[/tex]
[tex](m^2-9)x^2+(2-6m)x+10=0[/tex]
Уравнение первой степени, если коэффициент при [tex]x^2[/tex] равен [tex]0[/tex], а коэффициент при [tex]x[/tex] не равен [tex]0[/tex]:
[tex]m^2-9=0 \Rightarrow m=\pm 3[/tex]
[tex]m=3[/tex]: [tex]2-6m=-16\neq 0[/tex]; [tex]m=-3[/tex]: [tex]2-6m=20\neq 0[/tex]

Решение:
[tex]x=1[/tex]: [tex]|2+a|=|2-a|[/tex]
Модули двух чисел равны, если числа равны или противоположны:
[tex]2+a=2-a \Rightarrow a=0[/tex]
[tex]2+a=-(2-a)=a-2 \Rightarrow 2=-2[/tex] — невозможно.
[tex]a=0[/tex]: [tex]|2x|=|3x-1|[/tex]
[tex]2x=3x-1 \Rightarrow x=1[/tex]
[tex]2x=-(3x-1) \Rightarrow 5x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{5}[/tex]