Задачи с параметрическими линейными уравнениями - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Чтобы уравнение имело все [tex]x \in R[/tex] как решения, оно должно иметь вид [tex]0x=0[/tex]. Это означает, что
[tex]\begin{array}{|l}a^2-7a+10=0 \\ a^2-8a+15=0\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a^2-5a-2a+10=0 \\ a^2-5a-3a+15=0 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(a-5)(a-2)=0 \\ (a-5)(a-3)=0\end{array}[/tex]
Общее решение для обеих уравнений есть [tex]a=5[/tex], что также и есть решением задачи.

Решение:
Прежде чем говорить о случаях, нужно привести уравнение к виду [tex]mx=b[/tex]. Умножим обе части на [tex]4[/tex]:
[tex](ax-3)-2(x-a)=4[/tex]
[tex]ax-3-2x+2a=4[/tex]
Оставляем члены с [tex]x[/tex] слева, остальные переносим вправо:
[tex](a-2)x=7-2a[/tex]
Дальше разбор обычный. Коэффициент равен нулю при [tex]a=2[/tex], и тогда правая часть равна [tex]7-4=3[/tex], что не есть нуль. Уравнение принимает вид [tex]0x=3[/tex] и не имеет решений.
(При [tex]a\neq 2[/tex] есть ровно одно решение, [tex]x=\frac{7-2a}{a-2}[/tex].)
Ответ: [tex]a=2[/tex]

Решение:
Раскроем скобки в обеих частях:
[tex]ax-a=2ax+6-x[/tex]
Переносим все члены с [tex]x[/tex] влево, а остальные вправо:
[tex]ax-2ax+x=a+6[/tex]
[tex](1-a)x=a+6[/tex]
Здесь важно не ошибиться со знаком — коэффициент равен [tex]1-a[/tex], а не [tex]a-1[/tex].
Он обращается в нуль при [tex]a=1[/tex], и тогда правая часть равна [tex]1+6=7[/tex], что не есть нуль. Уравнение принимает вид [tex]0x=7[/tex] и не имеет решений.
Ответ: [tex]a=1[/tex]

Решение:
Разложим обе части на множители:
[tex](a-1)(a+1)x=a(a+1)[/tex]
Коэффициент обращается в нуль при двух значениях, [tex]a=1[/tex] и [tex]a=-1[/tex], и ведут они себя по-разному, поэтому нужны три случая.
Случай 1: [tex]a\neq 1[/tex] и [tex]a\neq -1[/tex]. Сокращаем [tex]a+1[/tex] и делим на [tex]a-1[/tex]: [tex]x=\frac{a}{a-1}[/tex].
Случай 2: [tex]a=-1[/tex]. Обе части обращаются в нуль, уравнение имеет вид [tex]0x=0[/tex], и решением является любое действительное число.
Случай 3: [tex]a=1[/tex]. Левая часть равна нулю, а правая равна [tex]1+1=2[/tex], то есть уравнение [tex]0x=2[/tex] не имеет решений.
В этом и смысл задачи: два корня коэффициента дают разные ответы, и без подстановки не угадать, какой именно.

Решение:
Разложим обе части на множители:
[tex]a(a-2)(a+2)x=a(a-2)[/tex]
Коэффициент обращается в нуль при трёх значениях: [tex]a=0[/tex], [tex]a=2[/tex] и [tex]a=-2[/tex]. Каждое нужно проверить отдельно в правой части.
[tex]a=0[/tex]: правая часть равна [tex]0[/tex], уравнение [tex]0x=0[/tex] — бесконечно много решений.
[tex]a=2[/tex]: правая часть равна [tex]4-4=0[/tex], уравнение [tex]0x=0[/tex] — бесконечно много решений.
[tex]a=-2[/tex]: правая часть равна [tex]4+4=8[/tex], уравнение [tex]0x=8[/tex] — решений нет, поэтому это значение не принадлежит [tex]A[/tex].
Значит [tex]A=\{0, 2\}[/tex], и сумма его элементов равна [tex]0+2=2[/tex].
Ответ: [tex]2[/tex]

Решение:
Давайте сначала рассмотрим свойства [tex]A[/tex]. Если множество имеет один нулевой элемент тогда произведение всех элементов равно нулю, так как любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Проверим, принадлежит ли [tex]a=0[/tex] к этому множеству. Подставляя это в уравнение, мы получаем [tex]0x=10[/tex], что не имеет решения. Поэтому, [tex]a=0[/tex] принадлежит множеству [tex]A[/tex] и произведение его элементов равно нулю.

Решение:
Для начала мы определим множество [tex]A[/tex].
[tex]3<2a<15[/tex] эквивалентно
[tex]\begin{array}{|l}2a>3 \\ 2a<15\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a>\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \\ a < \frac{15}{2}=7\frac{1}{2} \end{array}[/tex]
Тогда, все числа [tex]a_1,a_2,\dots,a_n[/tex] есть целыми (все из них - натуральные числа) между [tex]1\frac{1}{2}[/tex] и [tex]7 \frac{1}{2}[/tex]. Эти числа - [tex]2,3,4,5,6,7[/tex] и соответственно [tex]a_1=2,a_2=3,a_3=4,a_4=5,a_5=6,a_6=7[/tex].
Мы также найдем явную формулу для решения уравнения.
[tex](a-1)(a+1)x=(a+1)^2[/tex]. Obviously [tex]a \ne -1[/tex], разделим на [tex]a+1[/tex] и получим
[tex](a-1)x=a+1[/tex]. Так как каждое [tex]a \ge 2[/tex], [tex]a-1 \ne 0[/tex] решениями есть
[tex]x=\frac{a+1}{a-1}[/tex]. Мы заменяем каждое [tex]a[/tex]: [tex]x_1=\frac{a_1+1}{a_1-1}=\frac{2+1}{2-1}=3[/tex]
[tex]x_2=\frac{a_2+1}{a_2-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex]x_3=\frac{a_3+1}{a_3-1}=\frac{4+1}{4-1}=\frac{5}{3}[/tex]
[tex]x_4=\frac{a_4+1}{a_4-1}=\frac{5+1}{5-1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]x_5=\frac{a_5+1}{a_5-1}=\frac{6+1}{6-1}=\frac{7}{5}[/tex]
[tex]x_6=\frac{a_6+1}{a_6-1}=\frac{7+1}{7-1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}[/tex]. Потом умножаем их:
[tex]x_1x_2x_3x_4x_5x_6=3.2.\frac{5}{3}.\frac{3}{2}.\frac{7}{5}.\frac{4}{3}=\frac{3.2.5.3.7.4}{3.2.5.3}=7.4=28[/tex]

Решение:
Коэффициент при [tex]x[/tex] равен [tex]3[/tex] и никогда не обращается в нуль, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение:
[tex]x=\frac{a+6}{3}[/tex]
Вместо того чтобы искать значения [tex]a[/tex] напрямую, проще обратить задачу: сначала выберем решение. По условию [tex]x[/tex] может быть любым из [tex]1, 2, 3, \ldots, 10[/tex].
Из [tex]3x=a+6[/tex] выразим параметр: [tex]a=3x-6[/tex]. Каждый из десяти выборов [tex]x[/tex] даёт ровно одно значение [tex]a[/tex], а разные [tex]x[/tex] дают разные [tex]a[/tex]:
[tex]x=1\Rightarrow a=-3,\quad x=2\Rightarrow a=0,\quad \ldots,\quad x=10\Rightarrow a=24[/tex]
Значит, таких значений параметра ровно десять.
Ответ: [tex]10[/tex]

Решение:
[tex]x^2-4=0 \Rightarrow x=2[/tex] или [tex]x=-2[/tex]
[tex]m^2x-m^2=4mx-8m+16 \Rightarrow (m^2-4m)x=m^2-8m+16=(m-4)^2[/tex]
Линейное уравнение с двумя различными корнями имеет бесконечно много корней, поэтому оно должно иметь вид [tex]0\cdot x=0[/tex]:
[tex]m(m-4)=0[/tex] и [tex](m-4)^2=0 \Rightarrow m=4[/tex]
Ответ: [tex]m=4[/tex]

Решение:
[tex]2x+3=5-2x \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2x+3=-(5-2x)=2x-5 \Rightarrow 3=-5[/tex] — невозможно.
Значит, уравнение [tex]|2x+3|=|5-2x|[/tex] имеет единственный корень [tex]x=\frac{1}{2}[/tex].
[tex](a^2-25)x=-5-a \Rightarrow (a-5)(a+5)x=-(a+5)[/tex]
[tex]a=-5[/tex]: [tex]0\cdot x=0[/tex] – любое [tex]x[/tex] является корнем, уравнения не равносильны.
[tex]a=5[/tex]: [tex]0\cdot x=-10[/tex] – корней нет, уравнения не равносильны.
[tex]a\neq\pm 5[/tex]: [tex]x=-\frac{1}{a-5}[/tex], и нужно [tex]-\frac{1}{a-5}=\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]a-5=-2 \Rightarrow a=3[/tex]

Решение:
[tex]a=1[/tex]: оба уравнения имеют вид [tex]0\cdot x=0[/tex] – любое [tex]x[/tex] является корнем обоих, значит, они равносильны.
[tex]a=-1[/tex]: первое — [tex]0\cdot x=2[/tex] (корней нет), второе — [tex]2x=0[/tex] ([tex]x=0[/tex]) – не равносильны.
[tex]a\neq\pm 1[/tex]: корни равны [tex]x=\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{1+a}[/tex] и [tex]x=\frac{(1-a)(1+a)}{1-a}=1+a[/tex]. Они должны совпадать:
[tex]\frac{1}{1+a}=1+a \Rightarrow (1+a)^2=1[/tex]
[tex]1+a=1 \Rightarrow a=0[/tex]; [tex]1+a=-1 \Rightarrow a=-2[/tex]
Ответ: [tex]a\in\{-2; 0; 1\}[/tex]

Решение:
Первое уравнение: [tex]4x^2-9-4x^2-16x-16=7 \Rightarrow -16x=32 \Rightarrow x=-2[/tex]
Второе уравнение: [tex]|5+2a|(x+3)=1[/tex]
Если [tex]|5+2a|=0[/tex], оно принимает вид [tex]0=1[/tex] – корней нет. Иначе [tex]x=\frac{1}{|5+2a|}-3[/tex], и нужно:
[tex]\frac{1}{|5+2a|}-3=-2 \Rightarrow |5+2a|=1[/tex]
[tex]5+2a=1 \Rightarrow a=-2[/tex]; [tex]5+2a=-1 \Rightarrow a=-3[/tex]
Ответ: [tex]a\in\{-3; -2\}[/tex]

Решение:
[tex]a^2x-4x+8a=4a-8 \Rightarrow (a^2-4)x=-4a-8 \Rightarrow (a-2)(a+2)x=-4(a+2)[/tex]
[tex]a=-2[/tex]: [tex]0\cdot x=0[/tex], любое [tex]x[/tex] — корень, в том числе целые отрицательные (например, [tex]x=-1[/tex]).
[tex]a=2[/tex]: [tex]0\cdot x=-16[/tex] – корней нет.
[tex]a\neq\pm 2[/tex]: [tex]x=-\frac{4}{a-2}[/tex]. Это целое отрицательное число, если [tex]a-2[/tex] — положительный делитель числа [tex]4[/tex]:
[tex]a-2\in\{1; 2; 4\} \Rightarrow a\in\{3; 4; 6\}[/tex]
Ответ: [tex]a\in\{-2; 3; 4; 6\}[/tex]