Задачи на арифметические прогрессии - задачи с решениями

Решение:
Разность арифметической прогрессии равен -5.

Решение:
Числа не образуют арифметической прогрессии.
Еслт бы они образовывали, то это были бы числа 2, 6, 10, 14, 18.

Решение:
Как мы знаем, натуральные числа образовывают арифметическую прогрессию с [tex]a_1=1[/tex] и [tex]d=1[/tex]. Поэтому [tex]S_{10}=\frac{2a_1+(10-1).d}{2}.10=\frac{2+9}{2}.10=11\cdot 5=55[/tex]

Решение:
5 5 последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с разницей 1.
n = 5,
S(5) = 100,
d = 1
Пусть первое число будет [tex]a[/tex]

$S(n) = \frac{n}{2}(2a+d(n-1))$

$100 = \frac{5}{2} (2a + 1\cdot 4)$
$100 \cdot \frac{2}{5} = 2a +4$
$40 = 2a + 4$
$2a = 36$
$a = 18$
Первое число - 18, а остальные числа 18, 19, 20, 21, 22.

Решение:
Так как [tex]{a_n}[/tex] есть арифметической прогрессией, разница между любыми двумя последовательными членами одна и та же и она равна [tex]d=a_2-a_1=7-4=3[/tex]. Формула для n-го члена есть [tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex], подставляя n=11 мы получаем [tex]a_{11}=4+(11-1)\cdot 3=34[/tex]

Решение:
[tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot d[/tex] => [tex]a_1=a_n-(n-1)\cdot d[/tex]. Подставляем n=3 и получаем [tex]a_1=43-2\cdot 12=43-24=19[/tex].

Решение:
[tex]a_{19}=a_1+(19-1)\cdot d=a_1+18\cdot d[/tex]. Так как [tex]a_n[/tex] есть арифметической прогрессией, [tex]d=a_{n+1}-a_n=a_2-a_1=8-15=-7[/tex]. Подставляем значение d и [tex]a_1[/tex] и получаем [tex]a_{19}=15-18\cdot 7=-111[/tex]

Решение:
[tex]a_n=a_1+(n-1).d=1+(n-1).1=n[/tex], тогда [tex]a_{1083}=1083[/tex]

Решение:
[tex]d=a_2-a_1=5-(-11)=16[/tex]

Решение:
[tex]a_5=a_1+4d[/tex], [tex]a_2=a_1+d[/tex]. Вычитая последнее из первого, мы получим [tex]a_5-a_2=a_1+4d-a_1-d=3d[/tex], и тогда [tex]3d=18-9=9[/tex], что означает, что [tex]d=3[/tex]

Решение:
Есть формула для вычисления суммы первых n элементов: [tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}.n[/tex]. Для n=10 мы получаем [tex]S_{10}=\frac{2\cdot 15+9\cdot 3}{2}\cdot 10=\frac{30+27}{2}\cdot 10=57\cdot 5=285[/tex]

Решение:
Знаменатель геометрической прогрессии равен -2.

Решение:
Сумма которую мы ищем есть [tex]a_2+a_4+a_6+a_8+a_10+a_{12}=[/tex]
[tex]=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)+(a_1+9d)+(a_1+11d)=[/tex]
[tex]=6\cdot a_1+(1+3+5+7+9+11)d=6a_1+36d=[/tex]
[tex]=6\cdot 7+36\cdot 4=42+144=186[/tex]