Задачи на арифметические прогрессии - очень сложные задачи с решениями

Решение:
По свойству арифметической прогрессии мы знаем для любого положительного целого [tex]m < k[/tex] справедливо следующее: [tex]\frac{a_{k+m}+a_{k-m}}{2}=a_{\frac{k+m+k-m}{2}}=a_k=0[/tex] . но [tex]S_{2k-1}=a_{k-(k-1)}+a_{k-(k-2)}+...+a_{k+(k-2)}+a_{k+(k-1)}=a_{k-(k-1)}+a_{k + (k-1)} +a_{k-(k-2)}+a_{k+(k-2)}+...+a_k=0+0+...+0=0[/tex]

Решение:
Давайте обозначим начало отсчета чисел на левой стороне от [tex]n[/tex]. Значение левой стороны есть сумма арифметической прогрессии, определенная как [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=3[/tex]. Мы знаем, что для нашего выбранного [tex]n[/tex], [tex]a_n=x[/tex], или [tex]1+(n-1)\cdot 3=x[/tex] и [tex]n=\frac{x+2}{3}[/tex].
[tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n[/tex]. Теперь мы подставляем [tex]n-1[/tex] и [tex]n[/tex] в соответствующие функции x:
[tex]S_n=\frac{2+x-1}{2}\cdot \frac{x+2}{3}=\frac{(x+1)(x+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x+2)}{6}=925[/tex]
[tex]x^2+3x+2=5550[/tex]
[tex]x^2+3x-5548=0[/tex]: [tex]D=9+4\cdot 5548=22201=149^2[/tex]
X очевидно есть положительным, мы не считаем отрицательный корень уравнения и мы имеем
[tex]x=\frac{-3+149}{2}=\frac{146}{2}=73[/tex]

Решение:
Мы знаем, что для любого [tex]k \in [0;99][/tex]: [tex]a_{k+1}=3k+5[/tex] и для любого [tex]l[/tex] в том же интервале, [tex]b_{l+1}=4l+3[/tex]. Мы ищем число совпадений [tex]a_{k+1}=b_{l+1}[/tex] для любого [tex]k,l[/tex] в заданном интервале. Это эквивалентно
[tex]3k+5=4l+3[/tex]
[tex]4l=3k+2[/tex]
[tex]l=\frac{3k+2}{4}[/tex]. Теперь мы имеем [tex]l[/tex] как функцию [tex]k[/tex]. Для заданных значений, [tex]l=\frac{3k+2}{4} \le \frac{3 \cdot 99+2}{4}<75[/tex], поэтому мы не будем выходить из границ для [tex]l[/tex]. По определению, [tex]l[/tex] есть целым, и тогда должно быть [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex]. Тогда мы ищем значения [tex]k[/tex] между 0 и 99, для которых [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex] есть целым. Отсюда следующее должно быть истинным: [tex]3k+2 \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]3k+2-4k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]2-k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]k \equiv 2 (mod 4)[/tex].
Эти числа есть последовательностью [tex]2,6,10,...,98[/tex] и их число равно 25.

Решение:
Давайте обозначим [tex]C=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex]. Прибавляя [tex]1[/tex] к обеим сторонам,мы получаем
[tex]C+1=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}+\frac{a_n+a_{n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex]. Так как [tex]C[/tex] есть постоянным, тогда [tex]C+1[/tex] также есть постоянным. Поэтому, [tex]\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex] не должно зависеть от [tex]n[/tex]. Но
[tex]\frac{S_{2n}}{S_n}=\frac{\frac{2a_1+(2n-1) \cdot d}{2} \cdot 2n}{\frac{2a_1+(n-1) \cdot d}{2}n}=2\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}[/tex].
Давайте обозначим [tex]\frac{C+1}{2}=R[/tex], которое также есть константой. Мы имеем
[tex]\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}=R[/tex]
[tex]2R+(n-1) \cdot d \cdot R=2+(2n-1) \cdot d[/tex]
[tex]2R+n \cdot d \cdot R-d \cdot R=2+2n \cdot d-d[/tex]
[tex]n \cdot d(R-2)=d \cdot R-2R-d+2=R(d-2)-(d-2)=(R-1)(d-2)[/tex]. Это должно быть верным для любого [tex]n[/tex]. Давайте предположим, что обе стороны не равны нулю. Левая сторона изменяется с [tex]n[/tex], когда правая не изменяется, что означает, что они не будут равны в какой-то точке. Поэтому обе стороны должны быть равны нулю. [tex]n[/tex] и [tex]d[/tex] не равны нулю (так как [tex]\{a_n\}[/tex] не является постоянной прогрессией), и тогда, чтобы левая сторона равнялась нулю, [tex]R[/tex] должно быть 2. Это приводит к
[tex]0=1 \cdot (d-2)[/tex], которые означают, что [tex]d[/tex] также должно быть 2. Арифметическая прогрессия теперь определена с [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=2[/tex] и [tex]a_{15}=a_1+14\cdot d=1+14 \cdot 2=29[/tex]

Решение:
Пусть насосов [tex]n[/tex]. Они включаются через равные промежутки и выключаются одновременно, поэтому времена их работы [tex]t_{1}; t_{2}; \ldots; t_{n}=10[/tex] образуют арифметическую прогрессию.
Для заполнения танкера нужно [tex]15n[/tex] насосо-часов (все насосы вместе работали бы [tex]15[/tex] часов), поэтому
[tex]t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n}=\dfrac{n(t_{1}+10)}{2}=15n\Rightarrow t_{1}+10=30\Rightarrow t_{1}=20[/tex]

Решение:
В арифметической прогрессии из [tex]2k-1[/tex] членов средний член равен [tex]a_{k}[/tex], поэтому [tex]S_{2k-1}=(2k-1)a_{k}[/tex].
При [tex]k=17[/tex]: [tex]S_{33}=33a_{17}; T_{33}=33b_{17}[/tex]. Поэтому
[tex]\dfrac{a_{17}}{b_{17}}=\dfrac{S_{33}}{T_{33}}=\dfrac{3\cdot 33+5}{4\cdot 33-1}=\dfrac{104}{131}[/tex]

Решение:
Вторая прогрессия даёт [tex]S_{n}=2a_{n}-a_{1}[/tex]. Тогда неравенство принимает вид
[tex](2a_{n}-a_{1})^{2}+7a_{1}^{2}\lt 4a_{n}^{2}\iff 2a_{1}^{2}\lt a_{1}a_{n}[/tex]
Значит, [tex]a_{1}\ne 0; \dfrac{a_{n}}{a_{1}}\gt 2[/tex].
Из формулы суммы: [tex]\dfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=2a_{n}-a_{1}\iff a_{n}(4-n)=a_{1}(n+2)[/tex].
При [tex]n=4[/tex] получаем [tex]a_{1}=0[/tex], что невозможно. Иначе
[tex]\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=\dfrac{n+2}{4-n}\gt 2\iff 2\lt n\lt 4[/tex]
Значит, [tex]n=3[/tex] (например, [tex]1; 3; 5[/tex]).

Решение:
[tex]S_{5}-S_{6}=-a_{6}\ge 6\Rightarrow a_{6}\le -6[/tex]
[tex]S_{5}-S_{4}=a_{5}\ge 6[/tex]
Следовательно, [tex]d=a_{6}-a_{5}\le -12[/tex].
Так как [tex]a_{k+6}=a_{k}+6d[/tex], сумма следующих шести членов отличается от [tex]S_{6}[/tex] на [tex]36|d|[/tex]: [tex]36|d|\le 450\Rightarrow |d|\le 12{,} 5[/tex].
Значит, [tex]d=-12; a_{5}=6; a_{6}=-6[/tex], и
[tex]a_{1}=a_{5}-4d=6+48=54[/tex]

Решение:
Пусть [tex]a=a_{1}[/tex]. Тогда [tex]a+7d=a^{3}\Rightarrow 7d=a(a-1)(a+1)[/tex]; так как [tex]d\ne 0[/tex], [tex]a\notin\{-1; 0; 1\}[/tex].
Так как [tex]a^{2}[/tex] — член прогрессии, [tex]a^{2}=a+kd[/tex] при некотором целом [tex]k\ge 1[/tex]. Тогда
[tex]a(a-1)=\dfrac{k\,a(a-1)(a+1)}{7}\Rightarrow k(a+1)=7[/tex]
Так как [tex]a[/tex] целое и [tex]k\ge 1[/tex], [tex]a+1\in\{1; 7\}[/tex]; поскольку [tex]a\ne 0[/tex], [tex]a=6[/tex].
[tex]d=\dfrac{6\cdot 5\cdot 7}{7}=30[/tex]
Проверка: [tex]a^{2}=36=a_{2}; a^{4}=1296=6+43\cdot 30=a_{44}[/tex].

Решение:
Пусть стороны равны [tex]a-1; a; a+1[/tex]. Неравенство треугольника [tex](a-1)+a\gt a+1[/tex] даёт [tex]a\gt 2[/tex].
По теореме косинусов [tex]\cos\gamma=\dfrac{(a-1)^{2}+a^{2}-(a+1)^{2}}{2a(a-1)}=\dfrac{a-4}{2(a-1)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2(a-1)}[/tex].
При [tex]a\gt 2[/tex] это непрерывная возрастающая функция, которая стремится к [tex]-1[/tex] при [tex]a\to 2[/tex] и к [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] при [tex]a\to\infty[/tex], не достигая этих значений.
[tex]-1\lt\cos\gamma\lt\dfrac{1}{2}\iff 60^{\circ}\lt\gamma\lt 180^{\circ}[/tex]

Решение:
Запишем элементы в порядке возрастания: [tex]a; a+d; \ldots; a+7d[/tex], где [tex]a\ge 1; d\ge 1; a+7d\le 2008[/tex].
При фиксированном [tex]d[/tex] есть [tex]2008-7d[/tex] вариантов для [tex]a[/tex]; это число положительно при [tex]1\le d\le 286[/tex].
[tex]\sum_{d=1}^{286}(2008-7d)=286\cdot 2008-7\cdot \dfrac{286\cdot 287}{2}=574288-287287=287001[/tex]

Решение:
[tex]S_{2026}=1013(a_{1}+a_{2026})=2026\Rightarrow a_{1}+a_{2026}=2[/tex]
Если [tex]d=0[/tex], все члены равны [tex]1[/tex] и вторая сумма положительна, поэтому [tex]d\ne 0[/tex].
Так как [tex]\dfrac{1}{a_{i}a_{i+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_{i}}-\dfrac{1}{a_{i+1}}\right)[/tex], сумма сворачивается:
[tex]\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_{1}}-\dfrac{1}{a_{2026}}\right)=\dfrac{a_{2026}-a_{1}}{d\,a_{1}a_{2026}}=\dfrac{2025}{a_{1}a_{2026}}=-2025[/tex]
Значит, [tex]a_{1}a_{2026}=-1[/tex], и [tex]a_{1}[/tex], [tex]a_{2026}[/tex] — корни уравнения [tex]t^{2}-2t-1=0[/tex]:
[tex]a_{1}=1\pm\sqrt{2}[/tex]

Решение:
Положим [tex]t=4^{2x-x^{2}-2}[/tex]; тогда [tex]16^{2x-x^{2}-2}=t^{2}[/tex].
Так как [tex]2x-x^{2}-2=-(x-1)^{2}-1\le -1[/tex], [tex]t[/tex] принимает в точности значения из [tex]\left(0; \dfrac{1}{4}\right][/tex].
Условие: [tex]2at=3+t^{2}\iff a=f(t)=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{3}{t}\right)[/tex].
Функция [tex]f[/tex] убывает при [tex]0\lt t\le\sqrt{3}[/tex], поэтому на [tex]\left(0; \dfrac{1}{4}\right][/tex] она принимает все значения [tex]a\ge f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{49}{8}[/tex].

Решение:
Для любых чисел [tex](x_{1}+\ldots+x_{m})^{2}-(x_{1}^{2}+\ldots+x_{m}^{2})=2\sum_{i\lt j}x_{i}x_{j}[/tex].
Вычёркивание [tex]a_{n}[/tex] убирает произведения [tex]a_{n}a_{i}[/tex], поэтому разность уменьшается на [tex]2a_{n}S_{n-1}=1440\iff a_{n}S_{n-1}=720[/tex].
Члены — возрастающие натуральные числа, поэтому [tex]a_{k}\ge k\Rightarrow n\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}\le 720\Rightarrow n\le 11[/tex].
При [tex]n=11[/tex] нужно [tex](a_{1}+10d)(2a_{1}+9d)=144[/tex], а при [tex]n=10[/tex] – [tex](a_{1}+9d)(a_{1}+4d)=80[/tex]; перебор немногих возможных [tex]a_{1}\ge 1; d\ge 1[/tex] решений не даёт.
При [tex]n=9[/tex] нужно [tex](a_{1}+8d)(2a_{1}+7d)=180[/tex], что выполнено для [tex]a_{1}=4; d=1[/tex]: прогрессия [tex]4; 5; \ldots; 12[/tex]. Значит, максимум равен [tex]9[/tex].

Решение:
Положим [tex]t=x^{4}[/tex]: [tex]t^{2}+at+a^{4}=0[/tex].
Четыре действительных корня будут, если есть два различных положительных корня [tex]0\lt t_{1}\lt t_{2}[/tex]; тогда действительные корни: [tex]-q; -p; p; q[/tex], где [tex]p=\sqrt[4]{t_{1}}; q=\sqrt[4]{t_{2}}[/tex].
Они образуют арифметическую прогрессию, когда [tex]q-p=2p\iff q=3p\iff t_{2}=81t_{1}[/tex].
По теореме Виета [tex]t_{1}t_{2}=81t_{1}^{2}=a^{4}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{a^{2}}{9}; t_{2}=9a^{2}[/tex].
Кроме того, [tex]t_{1}+t_{2}=\dfrac{82a^{2}}{9}=-a\Rightarrow a=-\dfrac{9}{82}[/tex] (так как [tex]a\ne 0[/tex]).

Решение:
Нужно [tex]x\ge 0[/tex], а при [tex]x=0[/tex] получаем [tex]d=0[/tex], поэтому [tex]x\gt 0[/tex].
Положим [tex]x=t^{12}; t\gt 0[/tex]; числа равны [tex]t^{6}; t^{4}; t^{3}[/tex].
Условие: [tex]2t^{4}=t^{6}+t^{3}\iff t^{3}-2t+1=0\iff (t-1)(t^{2}+t-1)=0[/tex].
Корень [tex]t=1[/tex] даёт [tex]d=0[/tex], поэтому [tex]t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex].
[tex]t^{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}; t^{4}=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]x=\left(t^{4}\right)^{3}=161-72\sqrt{5}[/tex]

Решение:
Разделим на [tex]d^{2}[/tex] и положим [tex]y=\dfrac{a_{1}}{d}[/tex]; тогда [tex]\dfrac{a_{k}}{d}=y+k-1[/tex], и условие принимает вид квадратного уравнения
[tex](n-2)y^{2}+(n-1)(n-4)y+\dfrac{(n-1)(2n^{2}-13n+12)}{6}=0[/tex]
Его дискриминант равен [tex]D=-\dfrac{n(n-1)(n^{2}-7n+4)}{3}[/tex], поэтому действительное [tex]y[/tex] существует лишь при [tex]n^{2}-7n+4\le 0[/tex], т.е. [tex]n\le\dfrac{7+\sqrt{33}}{2}\lt 7[/tex].
Свободный член не равен [tex]0[/tex] ни при каком натуральном [tex]n[/tex], поэтому [tex]y\ne 0[/tex] и [tex]a_{1}\ne 0[/tex]. Значит, [tex]n\in\{3; 4; 5; 6\}[/tex]; например, при [tex]n=3[/tex] подходит прогрессия [tex]3; 4; 5[/tex].