Пусть [tex]\{a_n\}[/tex] есть не постоянной арифметической прогрессией. [tex]a_1=1[/tex] и следующее должно быть верным: для любого [tex]n \ge 1[/tex], значение [tex]\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex] остается постоянным (не зависит от [tex]n[/tex]). Найдите [tex]a_{15}[/tex]
Решение:
Давайте обозначим [tex]C=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex]. Прибавляя [tex]1[/tex] к обеим сторонам,мы получаем
[tex]C+1=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}+\frac{a_n+a_{n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex]. Так как [tex]C[/tex] есть постоянным, тогда [tex]C+1[/tex] также есть постоянным. Поэтому, [tex]\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex] не должно зависеть от n. Но
[tex]\frac{S_{2n}}{S_n}=\frac{\frac{2a_1+(2n-1).d}{2}.2n}{\frac{2a_1+(n-1).d}{2}n}=2\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}[/tex].
Давайте обозначим [tex]\frac{C+1}{2}=R[/tex], которое также есть константой. Мы имеем
[tex]\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}=R[/tex]
[tex]2R+(n-1).d.R=2+(2n-1).d[/tex]
[tex]2R+n.d.R-d.R=2+2n.d-d[/tex]
[tex]n.d(R-2)=d.R-2R-d+2=R(d-2)-(d-2)=(R-1)(d-2)[/tex]. Это должно быть верным для любого n. Давайте предположим, что обе стороны не равны нулю. Левая сторона изменяется с [tex]n[/tex], когда правая не изменяется, что означает, что они не будут равны в какой-то точке. Поэтому обе стороны должны быть равны нулю. [tex]n[/tex] и [tex]d[/tex] не равны нулю (так как [tex]\{a_n\}[/tex] не является постоянной прогрессией), и тогда, чтобы левая сторона равнялась нулю, R должно быть 2. Это приводит к
[tex]0=1.(d-2)[/tex], которые означают, что [tex]d[/tex] также должно быть 2. Арифметическая прогрессия теперь определена с [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=2[/tex] и [tex]a_{15}=a_1+14\cdot d=1+14 \cdot 2=29[/tex]