Меню
❌
Главная
Форум
Тесты
Задачи
Алгебра
Геометрия
Математические игры
Решение задач
Высшая математика
ГЛАВНОЕ МЕНЮ
1 класс
Сложение и вычитание чисел до 10.
Сравнение чисел до 10
Сложение и вычитание чисел до 20.
Сложение и вычитание чисел до 10 или 20
2 класс
Сложение и вычитание до 100
Деление
Умножение до 5
Таблица умножения
Периметр
3 класс
Сложение, умножение, деление
Периметр
Площадь
4 класс
Сложение, умножение, деление
Сложение и вычитание до 1000
Четырехзначные числа
5 класс
Проценты
Дроби
Наименьшее общее кратное
Эквивалентные дроби
Сложение и вычитание дробей
Умножение и деление дробей
Действия с дробями
Cмешанные числа
Десятичные дроби
6 класс
Правила делимости
Уравнения
Отрицательные числа
Координатная плоскость
Текстовые задачи
7 класс
Уравнения
Свойства треугольников
Упрощение многочленов
Многочлены
Текстовые задачи
Системы
Разложиние на множители
Параметрические линейные уравнения
Арифметические корни
Неравенства с модулем
Уравнения с модулем
Квадратные уравнения
Формулы Виета
Экспоненты
Прогрессии
Арифметические прогрессии
Геометрические прогрессии
Прогрессии
Числовые последовательности
Возвратные уравнения
Логарифмы
Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
Иррациональные уравнения
Иррациональные неравенства
Тригонометрия
Тригонометрия
Тригонометрические уравнения
Задачи на экстремальные значения
Числа
Геометрия
Теорема Пифагора
Теорема Фалеса
Теорема синусов
Теорема косинусов
Показательные неравенства
Показательные уравнения
Задачи на вероятность
Многочлены
Функции
Пределы функций
Пределы функций
Производные
Угловой коэффициент прямой
Матрицы
Комплексные числа
Обратные тригонометрические функции
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия
Уравнения окружности
Конические сечения
Парабола
Эллипс
Полярные координаты
Интегралы
Интегралы
Интегрирование по частям
Главная
Задачи
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения - задачи с решениями
Автор:
Denitsa Dimitrova (Bulgaria)
Задача 1
$\cos(2x)-7\sin x-4=0$
$-\frac{\pi}{6}+2k\pi$
$\frac{7\pi}{6}+2k\pi$
$-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{7\pi}{6}+2k\pi$
$-\frac{\pi}{3}+2k\pi, \frac{3\pi}{6}+2k\pi$
Решение:
$\cos(2x)-7\sin x-4=0$
$1-2\sin^2 x-7\sin x-4=0$
$-2\sin^2 x-7\sin x-3=0$
$2\sin^2 x+7\sin x+3=0$
Пусть $\sin x=y, y\in[1,1]$
$2y^2+7y+3=0$
$D=25$
$y_1=-3\notin [1,1]$
$y_2=-\frac12 \in [1, 1]$
$\sin x=-\frac12$
$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$ и $\sin(-\alpha)= -\sin(\alpha)$
$\Rightarrow \sin(-\frac{\pi}{6})=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12\Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{6}$
$x_1=\alpha+2k\pi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$
$x_2=\pi-\alpha +2k\pi=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$
Ответ: $-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{7\pi}{6}+2k\pi$
Задача 2
$\cos2x-5\cos x+3=0,\ \ x\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
$\frac{1}{2}$
$\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{6}$
Решение:
$\cos2x-5\cos x+3=0$
$2\cos^2x-1-5\cos x+3=0$
$2\cos^2x-5\cos x+2=0$
Пусть $\cos x=y,\ \ y\in[1,1]$
$2y^2-5y+2=0$
$D=9$
$y_1=\frac12\in[1,1]$
$y_2=2\notin[1,1]$
$\cos x=\frac12$
$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$
Ответ: $x=\frac{\pi}{3}$
Задача 3
$\cos 2x-5\sin x-3=0$
$-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{5\pi}{6}+2k\pi$
$\frac{7\pi}{6}+2k\pi$
$\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{5\pi}{6}+2k\pi$
$-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{7\pi}{6}+2k\pi$
Решение:
$\cos 2x-5\sin x-3=0$
$1-2\sin^2x-5\sin x-3=0$
$-2\sin^2x-5\sin x-2=0$
$2\sin^2x+5\sin x+2=0$
Пусть $\sin x=y, y\in[-1,1]$
$2y^2+5y+2=0$
$D=9$
$y_1=-2 \notin [-1,1]$
$y_2=-\frac12 \in [-1,1]$
$\sin x=-\frac12$
$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$, но
$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$
$\Rightarrow \sin(-\frac{\pi}{6})=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12$
$\alpha=-\frac{\pi}{6}$
$x_1=\alpha+2k\pi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$
$x_2=\pi-\alpha+2k\pi=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$
Ответ: $-\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{7\pi}{6}+2k\pi$
Задача 4
$\cos 2x+6\sin x-5=0, x\in(0, \pi]$
$0$
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{2}$
$\pi$
Решение:
$\cos 2x+6\sin x-5=0$
$1-2\sin^2x+6\sin x-5=0$
$-2\sin^2x+6\sin x-4=0$
$2\sin^2x-6\sin x+4=0$
$\sin^2x-3\sin x+2=0$
Пусть $\sin x=y, y\in[-1, 1]$
$y^2-3y+2=0$
$D=1$
$x_1=2\notin[-1,1]$
$x_2=1\in[-1, 1]$
$\sin x=1$
$x=\frac{\pi}{2}$
Задача 5
$5\sin x-2\cos^2x-1=0$
$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
$\frac{\pi}{6}$
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$
Решение:
$5\sin x-2\cos^2x-1=0$
$5\sin x-2(1-\sin^2 x)-1=0$
$5\sin x-2+2\sin^2 x-1=0$
$2\sin^2x+5\sin x-3=0$
Пусть $\sin x=y, y \in [-1, 1]$
$2y^2+5y-3=0$
$D=49$
$x_1=-2\notin [-1, 1]$
$x_2=\frac{1}{2}\in[-1, 1]$
$\sin x=\frac12$
$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$
Задача 6
$3+\cos 2x+3\sqrt{2}\cos x=0$
$x\in(0,\pi)$
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{4}$
$\frac{\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{4}$
Решение:
$3+\cos 2x+3\sqrt{2}\cos x=0$
$3+2\cos^2x-1+3\sqrt{2}\cos x=0$
$2\cos^2x+3\sqrt{2}\cos x+2=0$
Пусть $\cos x=y, \ y\in[-1,1]$
$2y^2+3\sqrt{2}y+2=0$
$D=2$
$x_{1,2}=\frac{-3\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{4}$
$x_1=-\sqrt{2} \notin [-1,1]$
$x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2} \in [-1,1]$
$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x=\frac{3\pi}{4}$
Задача 7
$\cos2x+\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2(x)}}=0$
$2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi$
$\frac{\pi}{2}+2k\pi$
$-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi$
$2k\pi, \pi+2k\pi$
Решение:
ОДЗ:
$\sqrt{1+\ctg^2(x)} \ne 0$ - это всегда правда
$1+\ctg^2(x)\ge0 \Leftrightarrow \ctg^2(x)\ge -1$ - всегда правда
$\cos2x+\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2(x)}}=0$
$\cos2x+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}}=0$
$\cos2x+\frac{1}{\sqrt{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}}}=0$
$\cos2x+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2x}}}=0$
$\cos2x+\frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{\sin^2x}}}=0$
$\cos2x+\frac{\sqrt{\sin^2x}}{\sqrt{1}}=0$
$\cos2x+|\sin x|=0$
Случай 1
$\sin x \ge 0 \Rightarrow x \in [0, \pi]$
$|\sin x| = \sin x$
$\cos2x+\sin x=0$
$1-2\sin^2 x+\sin x=0$
Пусть $\sin x = y\ \ \ y\in[0, 1]$
$1-2y^2+y=0$
$2y^2-y-1=0$
$D=9$
$y_1=1\in [0, \pi]$
$y_2=-\frac{1}{2}\notin [0, \pi]$
$\sin x=1$
$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\in [0, \pi]$
Случай 2
$\sin x < 0 \Rightarrow x \in (\pi, 2\pi)$
$|\sin x| = -\sin x$
$\cos2x-\sin x=0$
$1-2\sin^2 x-\sin x=0$
Пусть $\sin x = y\ \ \ y\in[-1, 0]$
$1-2y^2-y=0$
$2y^2+y-1=0$
$D=9$
$y_1=-1\in [-1, 0]$
$y_2=\frac{1}{2}\notin [-1, 0]$
$\sin x=-1$
$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\in [0, \pi]$
Ответ: $-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi$
Задача 8
$\sin^4x+\cos^4x=\frac{5}{8}, x\in [0, \pi]$
$\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$
$\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$
Решение:
$\sin^4x+\cos^4x=\frac{5}{8}$
$(\sin^2x)^2+\cos^4x=\frac{5}{8}$
$(1-\cos^2x)^2+\cos^4x=\frac{5}{8}$
Пусть $\cos^2 x = y, \ \ y\in[0, 1]$
$(1-y)^2+y^2=\frac{5}{8}$
$1-2y +y^2+y^2=\frac{5}{8}$
$2y^2-2y+1-\frac{5}{8}=0$
$2y^2-2y+\frac{3}{8}=0$
$16y^2-16y+3=0$
$D=64$
$y_1=\frac{3}{4} \in [0, 1]$
$y_2=\frac{1}{4} \in [0, 1]$
Случай 1
$y=\frac{3}{4}$
$\cos^2x=\frac{3}{4}$
$|\cos x|=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, x=\frac{\pi}{6}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}, x = \frac{5\pi}{6}$
Случай 2
$y=\frac{1}{4}$
$\cos^2x=\frac{1}{4}$
$|\cos x|=\frac{1}{2}$
$\cos x=\pm\frac{1}{2}$
$\cos x = \frac{1}{2}, x=\frac{\pi}{3}$
$\cos x = -\frac{1}{2}, x = \frac{2\pi}{3}$
Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$
Задача 9
$\sin^3x-3\sin^2 x+3\sin x=1$
$x\in [0, \pi]$
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$
Решение:
$\sin^3x-3\sin^2 x+3\sin x=1$
Пусть $\sin x = y, y\in[-1,1]$
$y^3-3y^2+3y=1$
$y^3-3y^2+3y-1=0$
$y^3-1-3y^2+3y=0$
$(y^3-1)-3y(y-1)=0$
$(y-1)(y^2+y+1)-3y(y-1)=0$
$(y-1)(y^2+y+1-3y)=0$
$(y-1)(y^2-2y+1)=0$
$(y-1)(y-1)^2=0$
$(y-1)^3=0$
$y-1=0$
$y=1$
$\sin x= 1$
$x=\frac{\pi}{2}$
Задача 10
$(\cos2x-1)\ctg^2x=-3\sin x$
$x\in[0,\pi)$
$\frac{\pi}{6}$
$\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$
$\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$
$\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$
Решение:
$(\cos2x-1)\ctg^2x=-3\sin x$
$(2\cos^2x-1-1)\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=-3\sin x$
$-2(1-\cos^2x)\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=-3\sin x$
$2(1-\cos^2x)\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=3\sin x$
$2\sin^2x\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=3\sin x$
$2\cos^2x=3\sin x$
$2(1-\sin^2x)=3\sin x$
Пусть $\sin x = y, \ \ y \in [-1, 1]$
$2(1-y^2)=3y$
$2-2y^2=3y$
$-2y^2-3y+2=0$
$2y^2+3y-2=0$
$D=25$
$y_1=-2\notin[-1,1]$
$y_2=\frac{1}{2}\in[1,1]$
$\sin x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$
$x_1=\frac{\pi}{6}$
$x_2=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$
Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$
Задача 11
$3\cos16x+8\sin^22x\cdot \cos^22x-5=0$
$x\in[0,\pi]$
$\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{8}$
$\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$
Решение:
$3\cos16x+8\sin^22x\cdot \cos^22x-5=0$
$3\cos16x+2\cdot 2^2\sin^22x\cdot \cos^22x-5=0$
$3\cos16x+2(2\sin2x\cdot \cos2x)^2-5=0$
$3\cos16x+2(\sin4x)^2-5=0$
$3(2\cos^28x-1)+2\sin^24x-5=0$
$6\cos^28x-3+2\sin^24x-5=0$
$6\cos^28x+2\sin^24x-8=0$
$3\cos^28x+\sin^24x-4=0$
$3(\cos8x)^2+\sin^24x-4=0$
$3(2\cos^24x-1)^2+\sin^24x-4=0$
$3(2\cos^24x-1)^2+(1-\cos^24x)-4=0$
Пусть $\cos^24x=y$
$cos4x\in[-1,1]$
но $y\in[0,1]$
$3(2y-1)^2+(1-y)-4=0$
$3(4y^2-4y+1)-y-3=0$
$12y^2-12y+3-y-3=0$
$12y^2-13y=0$
$y(12y-13)=0$
$y_1=0\in[0,1]$
$y_1=\frac{13}{12}\notin[0,1]$
$\cos^24x=0$
$\cos4x=0$
$4x=\frac{\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{8}$
Задача 12
$\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$
$x\in [0,\frac{\pi}{2}]$
$\frac{\pi}{4}$
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{5}$
$\frac{\pi}{8}$
Решение:
$\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$
Предположим, что $\sin x = 0 \Rightarrow \cos x = 1$
$0^2+3\cdot0\cdot 1+2\cdot 1^2=0$
$2=0 \Rightarrow \sin x \ne 0$
$\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0 \ \ \ /\div \sin^2x\ne0$
$\frac{\sin^2x}{\sin^2x}-\frac{3\sin x\cos x}{\sin^2x}+\frac{2\cos^2x}{\sin^2x}=0$
$1-\frac{3\cos x}{\sin x}+2\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2=0$
$1-3\ctg x+2\ctg^2x = 0$
Пусть $\ctg x = y$
$2y^2-3y+1=0$
$D=1$
$y_1=1$
$y_2=\frac{1}{2}$
$\ctg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}$
$\ctg x=\frac{1}{2} \Rightarrow x \ne [0, \frac{\pi}{2}]$
Ответ: $\frac{\pi}{4}$
Задача 13
$\sin^2x-(\sqrt{3}+1)\sin x \cos x +\sqrt{3}\cos^2x=0$
$x \in [0, \pi]$
$\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$
$\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$
Решение:
Предположим, что $\sin x = 0 \Rightarrow \cos x = 1$
$0^2-(\sqrt{3}+1)\cdot0\cdot1+\sqrt{3}\cdot1^2=\sqrt{3}\ne0 \Rightarrow \sin x \ne 0$
$\sin^2x-(\sqrt{3}+1)\sin x \cos x +\sqrt{3}\cos^2x=0 \ \ \ /\div \sin^2x$
$\frac{\sin^2x}{\sin^2x}-\frac{(\sqrt{3}+1)\sin x \cos x}{\sin^2x} +\frac{\sqrt{3}\cos^2x}{\sin^2x}=0$
$1-(\sqrt{3}+1)\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sqrt{3}\cos^2x}{\sin^2x}=0$
$1-(\sqrt{3}+1)\frac{\cos x}{\sin x}+\sqrt{3}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2=0$
$1-(\sqrt{3}+1)\ctg x+\sqrt{3}\ctg^2x=0$
Пусть $\ctg x=y$
$1-(\sqrt{3}+1)y+\sqrt{3}y^2=0$
$\sqrt{3}y^2-(\sqrt{3}+1)y+1=0$
$D=(\sqrt{3}+1)^2-4\sqrt{3}=4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1^2=(\sqrt{3}-1)^2$
$y_{1,2}=\frac{\sqrt{3}+1\pm(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{3}}$
$y_1=1$
$y_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\ctg x = 1$
$x=\frac{\pi}{4}$
$\ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$x=\frac{\pi}{3}$
Ответ: $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$
Задача 14
$\cos x+ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x\in[0,\pi]$
$\frac{\pi}{4}$
$\frac{\pi}{3}$
$\frac{5\pi}{12}$
$\frac{7\pi}{12}$
Решение:
$a = 1$
$b=1$
$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}$
$\cos x+ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \ \ \ /\div \sqrt{2}$
$\frac{\cos x}{\sqrt{2}}+ \frac{\sin x}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$
$\frac{\cos x}{\sqrt{2}}+ \frac{\sin x}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\frac{\cos x \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}+ \frac{\sin x\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{2}\cos x}{2}+ \frac{\sqrt{2}\sin x}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{1}{2}$
$\cos\frac{\pi}{4}\cos x+ \sin\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{1}{2}$
$\cos x\cos\frac{\pi}{4}+ \sin x\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$
$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$
Но $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{7\pi}{12}$
Задача 15
$\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=-\sqrt{3}$
$k\pi$
$\frac{\pi}{6}+k\pi$
$2k\pi, \frac{5\pi}{6}+k\pi$
$k\pi, \frac{5\pi}{6}+k\pi$
Решение:
$a=1$
$b=-\sqrt{3}$
$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$
$\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=-\sqrt{3}$
$\frac{\sin 2x}{2}-\frac{\sqrt{3}\cos 2x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{3}\sin 2x-\sin\frac{\pi}{3}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos 2x\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin (2x-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{3}$
$x=\alpha+2k\pi$
$x=\pi-\alpha+2k\pi$
$2x-\frac{\pi}{3}=\alpha+2k\pi \Rightarrow 2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \Leftrightarrow $
$2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \Leftrightarrow x=k\pi$
$2x-\frac{\pi}{3} = \pi-\alpha +2k\pi \Rightarrow 2x-\frac{\pi}{3}=\pi+\frac{\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow$
$2x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{6}+k\pi$
Ответ:
$x=k\pi$
$x=\frac{5\pi}{6}+k\pi$
Задача 16
$\sin 2x-\cos x=0$
$\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{6}+2k\pi$
$\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi$
$\frac{\pi}{2}+2k\pi$
$\frac{\pi}{6}+2k\pi$
Решение:
$\sin 2x-\cos x=0$
$2\sin x\cos x-\cos x=0$
$\cos x(2\sin x-1)=0$
$\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2}+2k\pi$
$2\sin x-1 = 0$
$2\sin x = 1$
$\sin x = \frac{1}{2}$
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{6}$
$x_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi$
$x_2=\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$
Ответ:
$\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi$
Задача 17
$\sin 3x =\sin x$
$x\in[0,2\pi]$
$\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3}, 2\pi$
$\frac{\pi}{6}, \pi,\frac{7\pi}{6}$
$\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$
$\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \pi,\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$
Решение:
$\sin 3x =2\sin x$
$3\sin x-4\sin^3x =2\sin x$
$\sin x-4\sin^3x =0$
$\sin x(1-4\sin^2x) =0$
$\sin x(1-2\sin x)(1+2\sin x) =0$
1) $\sin x = 0 \Leftrightarrow x=\pi$
2) $1-2\sin x=0$
$2\sin x = 1$
$\sin x = \frac{1}{2}$
$x=\frac{\pi}{6}$
$x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$
3) $1+2\sin x=0$
$2\sin x = -1$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
$x=-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{11\pi}{6}$
$x=\pi-(-\frac{\pi}{6})=\frac{7\pi}{6}$
Ответ: $\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}, \pi,\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$
Задача 18
$\sin x+\sin 3x=\sin 2x+\sin 4x$
$x\in[0,\pi]$
$\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{2}, 2\pi$
$\frac{5\pi}{2},\frac{\pi}{2}$
$\frac{2\pi}{5},\pi$
Решение:
$\sin x+\sin 3x=\sin 2x+\sin 4x$
$\sin 3x+\sin x=\sin 4x+\sin 2x$
$2\sin\frac{ 3x+x}{2}\cdot\cos \frac{3x-x}{2}=2\sin\frac{4x+2x}{2}\cdot\cos \frac{4x-2x}{2}$
$2\sin2x\cdot\cos x=2\sin3x\cdot\cos x$
$\sin2x\cdot\cos x=\sin3x\cdot\cos x$
$\sin2x\cdot\cos x-\sin3x\cdot\cos x=0$
$\cos x(\sin2x-\sin3x)=0$
$-\cos x(\sin3x-\sin2x)=0$
$\cos x(\sin3x-\sin2x)=0$
$\cos x(2\sin\frac{3x-2x}{2}\cdot\cos\frac{3x+2x}{2})=0$
$\cos x(2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{5x}{2})=0$
$\cos x\cdot\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{5x}{2}=0$
$\cos x = 0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$
$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi \Rightarrow x=2\pi \notin [0, \pi]$
$\cos\frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}$
Ответ: $\frac{\pi}{5},\frac{\pi}{2}$
Задача 19
$\cos x + \cos 2x+\cos 3x = 0$
$\frac{\pi}{4}+k\pi, \frac{2\pi}{3}+2k\pi$
$\pm\frac{\pi}{4}+k\pi, \pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
$\pm\frac{\pi}{2}+k\pi, \pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$
$\pm\frac{\pi}{2}+k\pi, \pm\frac{3\pi}{5}+2k\pi$
Решение:
$\cos x + \cos 2x+\cos 3x = 0$
$(\cos 3x + \cos x) + \cos 2x = 0$
$2\cos\frac{3x+x}{2}\cdot \cos\frac{3x-x}{2} + \cos 2x = 0$
$2\cos2x\cdot \cos x + \cos 2x = 0$
$\cos2x(2\cos x + 1) = 0$
1) $\cos 2x = 0$
$2x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi$
$x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi$
2) $2\cos x + 1=0$
$2\cos x=-1$
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$\cos \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$
$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
Ответ: $\pm\frac{\pi}{4}+k\pi, \pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
Задача 20
$\sin 4x+\sin20x-\sin12x=0$
$\pm\frac{k\pi}{6}, \pm\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}$
$\frac{k\pi}{6}, \frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}, \frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{4},\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}$
$\frac{k\pi}{6}, \frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}, \pm\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}$
$\frac{\pi}{6}+2k\pi, \frac{\pi}{12}+2k\pi, \pm\frac{\pi}{24}+2k\pi$
Решение:
$(\sin 4x+\sin20x)-\sin12x=0$
$2\sin\frac{20x+4x}{2}\cos\frac{20x-4x}{2}-\sin12x=0$
$2\sin12x\cos8x-\sin12x=0$
$\sin12x(2\cos8x-1)=0$
$\sin12x=0$
$\sin 0 = 0$
$12x=0+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi}{6}$
$12x=\pi-0+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}$
$2\cos8x-1=0$
$2\cos8x=1$
$\cos8x=\frac{1}{2}$
$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$8x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$
$x=\pm\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}$
Ответ: $\frac{k\pi}{6}, \frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}, \pm\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{4}$
Задача 21
$\sin 3x+\cos(x-\frac{\pi}{6})=2$
$x\in \varnothing$
$\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi$
$\pm\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi$
$\frac{\pi}{2}+2k\pi$
Решение:
$\sin 3x\in[-1, 1]$
$\cos(x-\frac{\pi}{6})\in[-1, 1]\Rightarrow$
$\sin 3x+\cos(x-\frac{\pi}{6})=2$ - Это возможно только тогда, когда
$\sin 3x=1$ и $\cos(x-\frac{\pi}{6})=1$
$\sin 3x=1$
$\sin\frac{\pi}{2}=1$
$3x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi$
$3x=\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi=\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi$
$\cos(x-\frac{\pi}{6})=1$
$\cos 0 = 1$
$x-\frac{\pi}{6}=\pm0+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi$
Ответ: $\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi$
Прислать задачу
Задача:
Решение:
Ответ:
Имя:
Электронная почта:
Правильный:
Неверный:
Неразрешенные задачи:
Электронная почта:
© 2005 - 2024 Копирование запрещено! В случае копирования администрация сайта обратиться в компетентные органы.