Тригонометрические выражения и тождества

Задачи на тригонометрические выражения: точные значения, упрощение с помощью формул сложения, двойного угла и преобразования суммы в произведение, значение выражения при известном tg α, условные тождества в треугольнике и доказательство тождеств. Все задачи с подробными решениями.

Задача 1

Докажите, что значение выражения [tex]2\sin ^4\alpha+2\cos^4\alpha+\sin ^2 2\alpha[/tex] не зависит от [tex]\alpha[/tex], и найдите его.

Задача 2

Вычислите [tex](\sin \alpha-\cos\alpha)(\sin \beta-\cos\beta)[/tex], если [tex]\sin (\alpha+\beta)=0{,} 8[/tex] и [tex]\cos(\alpha-\beta)=0{,} 3[/tex].

[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{11}{10}[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]-\frac{11}{10}[/tex]

Задача 3

Углы [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] таковы, что [tex]\cos(A-B)=3\cos(A+B)[/tex] и [tex]\sin A\sin B\ne 0[/tex]. Найдите [tex]\ctg A\cdot \ctg B[/tex].

Задача 4

Найдите значение выражения [tex]\frac{\cos 2\alpha}{1-\sin 2\alpha}[/tex], если [tex]\tg \alpha=\frac{3}{4}[/tex].

Задача 5

Не используя таблиц и калькулятора, вычислите [tex]\tg ^2 15^{\circ}+\ctg ^2 15^{\circ}[/tex].

Задача 6

Упростите выражение [tex]\sin \alpha-2\sin \left(\frac{\alpha}{2}-15^{\circ}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}+15^{\circ}\right)[/tex].

[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[tex]-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]2\sin \alpha-\frac{1}{2}[/tex]

Задача 7

Упростите выражение [tex]\frac{2\sin \alpha-\sin 2\alpha}{2\sin \alpha+\sin 2\alpha}[/tex].

[tex]\tg \frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\ctg ^2\frac{\alpha}{2}[/tex]

[tex]\tg ^2\alpha[/tex]

[tex]\tg ^2\frac{\alpha}{2}[/tex]

Задача 8

Косинусы двух углов треугольника равны [tex]\frac{3}{5}[/tex] и [tex]\frac{5}{13}[/tex]. Найдите синус третьего угла.

[tex]\frac{33}{65}[/tex]

[tex]\frac{56}{65}[/tex]

[tex]\frac{16}{65}[/tex]

[tex]\frac{63}{65}[/tex]

Задача 9

Найдите значение выражения [tex]\cos(x+30^{\circ})\cos(x-30^{\circ})[/tex], если [tex]\cos 2x=-\frac{4}{5}[/tex].

[tex]-\frac{13}{20}[/tex]

[tex]\frac{13}{20}[/tex]

[tex]-\frac{3}{10}[/tex]

[tex]-\frac{3}{20}[/tex]

Задача 10

Вычислите значение выражения [tex]\frac{\ctg 32^{\circ}\tg 77^{\circ}-1}{\tg 58^{\circ}+\ctg 13^{\circ}}[/tex].

Задача 11

Найдите значение выражения [tex]\sin ^4\alpha+\cos^4\alpha[/tex], если [tex]\sin \alpha-\cos\alpha=\frac{1}{2}[/tex].

[tex]\frac{23}{32}[/tex]

[tex]\frac{55}{64}[/tex]

[tex]\frac{1}{4}[/tex]

[tex]\frac{7}{16}[/tex]

Задача 12

Если [tex]\sin \alpha=-0{,} 8[/tex] и [tex]\alpha\in\left(270^{\circ}; 360^{\circ}\right)[/tex], вычислите [tex]\sqrt{5}\sin \frac{\alpha}{2}+3\tg \alpha[/tex].

Задача 13

Найдите [tex]\tg x[/tex], если [tex]\frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=6[/tex].

[tex]\tg x=\sqrt{2}[/tex]

[tex]\tg x=\pm\sqrt{2}[/tex]

[tex]\tg x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]\tg x=\pm\sqrt{3}[/tex]

Правильный:

Неверный:

Неразрешенные задачи:

Лёгкий

Средний

Сложный

Предложите задачу на этой странице

Тригонометрические выражения и тождества - задачи с решениями

Похожие тесты

Алгебра

Геометрия