Неравенства с модулем - очень сложные задачи с решениями

Решение:
[tex]|A|\gt B \Leftrightarrow A\gt B[/tex] или [tex]A\lt -B[/tex] (это верно при любом знаке [tex]B[/tex]):
[tex]x^2-x-6\gt x+3 \Leftrightarrow x^2-2x-9\gt 0 \Leftrightarrow x\lt 1-\sqrt{10}[/tex] или [tex]x\gt 1+\sqrt{10}[/tex]
[tex]x^2-x-6\lt -x-3 \Leftrightarrow x^2-3\lt 0 \Leftrightarrow -\sqrt{3}\lt x\lt \sqrt{3}[/tex]
Ответ — объединение двух множеств ([tex]1-\sqrt{10}\approx -2{,} 16\lt -\sqrt{3}\approx -1{,} 73[/tex]):
Ответ: [tex]x\in\left(-\infty; 1-\sqrt{10}\right)\cup\left(-\sqrt{3}; \sqrt{3}\right)\cup\left(1+\sqrt{10}; +\infty\right)[/tex].
Проверка: [tex]x=-2[/tex] не является решением ([tex]0\gt 1[/tex] неверно), а [tex]x=0[/tex] — решение ([tex]6\gt 3[/tex]).

Решение:
Обе части неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат:
[tex]\left(x^2-8x+15\right)^2-\left(15-x^2\right)^2\leq 0[/tex]
[tex]\left(x^2-8x+15-15+x^2\right)\left(x^2-8x+15+15-x^2\right)\leq 0 \Leftrightarrow \left(2x^2-8x\right)(30-8x)\leq 0[/tex]
[tex]4x(x-4)(15-4x)\leq 0 \Leftrightarrow x(x-4)(4x-15)\geq 0[/tex]
Нули множителей: [tex]0; \frac{15}{4}; 4[/tex]. Знаки слева направо: [tex]-; +; -; +[/tex].
Ответ: [tex]x\in\left[0; \frac{15}{4}\right]\cup[4; +\infty)[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]|x|\neq 1[/tex], т.е. [tex]x\neq\pm 1[/tex].
Числитель неотрицателен. Дробь [tex]\leq 0[/tex] в двух случаях.
Если числитель равен [tex]0[/tex]: [tex]|2-x|=3 \Leftrightarrow x=-1[/tex] или [tex]x=5[/tex]. Значение [tex]x=-1[/tex] не входит в ОДЗ, а [tex]x=5[/tex] — решение.
Если числитель положителен, знаменатель должен быть отрицательным: [tex]|x|-1\lt 0 \Leftrightarrow -1\lt x\lt 1[/tex] (на этом промежутке числитель действительно положителен).
Ответ: [tex]x\in(-1; 1)\cup\{5\}[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 3[/tex].
[tex]x\lt 0:\ \frac{x^2+x-12}{x-3}=\frac{(x+4)(x-3)}{x-3}=x+4\geq 2x \Leftrightarrow x\leq 4[/tex] — верно для всех [tex]x[/tex] из этого промежутка.
[tex]x\geq 0:\ \frac{x^2-x-12}{x-3}-2x=\frac{x^2-x-12-2x^2+6x}{x-3}=\frac{-x^2+5x-12}{x-3}\geq 0[/tex]
[tex]-x^2+5x-12\lt 0[/tex] при всех [tex]x[/tex] [tex](D=25-48\lt 0)[/tex], поэтому нужно [tex]x-3\lt 0[/tex], т.е. [tex]0\leq x\lt 3[/tex].
Ответ: [tex]x\in(-\infty; 3)[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\neq 0[/tex]. Умножим обе части на [tex]3|x|\gt 0[/tex]:
[tex]9\leq |x|(x+6)[/tex]
[tex]x\gt 0:\ x^2+6x-9\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -3+3\sqrt{2}[/tex] (другой корень [tex]-3-3\sqrt{2}[/tex] отрицателен)
[tex]x\lt 0:\ 9\leq -x(x+6) \Leftrightarrow x^2+6x+9\leq 0 \Leftrightarrow (x+3)^2\leq 0 \Leftrightarrow x=-3[/tex]
Ответ: [tex]x\in\{-3\}\cup\left[3\sqrt{2}-3; +\infty\right)[/tex].

Решение:
Отсутствие решений на [tex][-3; 0][/tex] означает, что для всех [tex]x\in[-3; 0][/tex] выполняется противоположное неравенство:
[tex]-6\leq x^2+4x-a\leq 6 \Leftrightarrow a-6\leq x^2+4x\leq a+6[/tex] (для всех [tex]x\in[-3; 0][/tex])
Значит, все значения [tex]x^2+4x[/tex] на [tex][-3; 0][/tex] должны лежать в [tex][a-6; a+6][/tex].
[tex]x^2+4x=(x+2)^2-4[/tex]: наименьшее значение равно [tex]-4[/tex] (при [tex]x=-2[/tex]), наибольшее — [tex]0[/tex] (при [tex]x=0[/tex]; при [tex]x=-3[/tex] значение равно [tex]-3[/tex]).
Следовательно, [tex]a-6\leq -4[/tex] и [tex]0\leq a+6[/tex], т.е. [tex]-6\leq a\leq 2[/tex].
Ответ: [tex]a\in[-6; 2][/tex].