Задачи с тригонометрическими функциями - сложные задачи с решениями

Решение:
Из условия [tex]x+y+z=\pi[/tex] следует, что [tex]{\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}}={\frac{\pi}{2}}-{\frac{z}{2}}; {\frac{z}{2}}={\frac{\pi}{2}}-({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})[/tex]. Из того, что [tex]ctg\alpha={\frac{1}{tg\alpha}}[/tex], следует, что [tex]ctg\alpha={\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}[/tex]. Поэтому [tex]ctg{\frac{x}{2}}+ctg{\frac{y}{2}}+ctg{\frac{z}{2}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}+cos{\frac{y}{2}}sin{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{sin({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}=cos{\frac{z}{2}}\cdot{\frac{sin{\frac{z}{2}}+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos{\frac{x}{2}}cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}=ctg{\frac{x}{2}}ctg{\frac{y}{2}}ctg{\frac{z}{2}}[/tex].