Задачи с тригонометрическими функциями - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Из условия [tex]x+y+z=\pi[/tex] следует, что [tex]{\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}}={\frac{\pi}{2}}-{\frac{z}{2}}; {\frac{z}{2}}={\frac{\pi}{2}}-({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})[/tex]. Из того, что [tex]ctg\alpha={\frac{1}{tg\alpha}}[/tex], следует, что [tex]ctg\alpha={\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}[/tex]. Поэтому [tex]ctg{\frac{x}{2}}+ctg{\frac{y}{2}}+ctg{\frac{z}{2}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}+cos{\frac{y}{2}}sin{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{sin({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}=cos{\frac{z}{2}}\cdot{\frac{sin{\frac{z}{2}}+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos{\frac{x}{2}}cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}=ctg{\frac{x}{2}}ctg{\frac{y}{2}}ctg{\frac{z}{2}}[/tex].

Решение:
[tex]5\cos A + 12\sin A + 12 = 13\left(\frac{5}{13}\cos A + \frac{12}{13}\sin A\right) + 12[/tex]
Так как [tex]\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1[/tex], существует угол [tex]B[/tex], для которого [tex]\sin B = \frac{5}{13}[/tex] и [tex]\cos B = \frac{12}{13}[/tex]. Тогда
[tex]5\cos A + 12\sin A + 12 = 13(\sin B\cos A + \cos B\,\sin A) + 12 = 13\sin(A+B) + 12[/tex]
Поскольку [tex]-1 \le \sin(A+B) \le 1[/tex], наибольшее значение равно [tex]13 \cdot 1 + 12 = 25[/tex]

Решение:
[tex]5\cos A + 12\sin A + 12 = 13\left(\frac{5}{13}\cos A + \frac{12}{13}\sin A\right) + 12[/tex]
Так как [tex]\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1[/tex], существует угол [tex]B[/tex], для которого [tex]\sin B = \frac{5}{13}[/tex] и [tex]\cos B = \frac{12}{13}[/tex]. Тогда
[tex]5\cos A + 12\sin A + 12 = 13(\sin B\cos A + \cos B\,\sin A) + 12 = 13\sin(A+B) + 12[/tex]
Поскольку [tex]-1 \le \sin(A+B) \le 1[/tex], наименьшее значение равно [tex]13 \cdot (-1) + 12 = -1[/tex]

Решение:
Из условия
[tex]\sin A=1-\sin ^2 A=\cos^2 A\;\Rightarrow\;\cos^4 A=\sin ^2 A\;\Rightarrow\;\cos^2 A+\cos^4 A=\sin A+\sin ^2 A=1[/tex]
Данное выражение — полный куб:
[tex]\cos^{12}A+3\cos^{10}A+3\cos^8 A+\cos^6 A=\left(\cos^4 A+\cos^2 A\right)^3=1^3=1[/tex]

Решение:
Так как [tex]\frac{7\pi}{16}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{16}[/tex] и [tex]\frac{5\pi}{16}=\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{16}[/tex], то [tex]\sin \frac{7\pi}{16}=\cos\frac{\pi}{16}[/tex] и [tex]\sin \frac{5\pi}{16}=\cos\frac{3\pi}{16}[/tex]. При любом [tex]t[/tex]:
[tex]\sin ^4 t+\cos^4 t=1-2\sin ^2 t\cos^2 t=1-\frac{1}{2}\sin ^2 2t[/tex]
Значит, сумма равна
[tex]2-\frac{1}{2}\left(\sin ^2\frac{\pi}{8}+\sin ^2\frac{3\pi}{8}\right)=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
так как [tex]\sin \frac{3\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{8}[/tex] и скобка равна [tex]1[/tex].

Решение:
Пусть [tex]s=\sin x\in\left[-1; 1\right][/tex]. Используя [tex]\sin 3x=3s-4s^3[/tex] и [tex]\cos 2x=1-2s^2[/tex]:
[tex]f=-4s^3-8s^2+11s-3=-(2s-1)^2(s+3)[/tex]
При [tex]s\ge-1[/tex] имеем [tex](2s-1)^2\ge 0[/tex] и [tex]s+3\gt 0[/tex], поэтому [tex]f\le 0[/tex]. Равенство достигается при [tex]s=\frac{1}{2}[/tex], например при [tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]. Значит, наибольшее значение равно [tex]0[/tex].

Решение:
Пусть [tex]c=\cos x\in\left[-1; 1\right][/tex]. Тогда
[tex]\sin ^2 x-2\cos x-1=-c^2-2c=1-(c+1)^2[/tex]
что принимает все значения из [tex]\left[-3; 1\right][/tex]. Нужно [tex]ku\le 3[/tex] для любого [tex]u\in\left[-3; 1\right][/tex]. Так как [tex]ku[/tex] линейно по [tex]u[/tex], достаточно проверить концы: [tex]u=1[/tex] даёт [tex]k\le 3[/tex], а [tex]u=-3[/tex] даёт [tex]-3k\le 3[/tex], т.е. [tex]k\ge-1[/tex]. Значит, [tex]k\in\left[-1; 3\right][/tex].

Решение:
Число [tex]m[/tex] является значением [tex]y[/tex] тогда и только тогда, когда уравнение [tex]m(3+\sin x)=\sqrt{3}\cos x+1[/tex] имеет решение, т.е.
[tex]\sqrt{3}\cos x-m\sin x=3m-1[/tex]
Уравнение вида [tex]a\cos x+b\sin x=c[/tex] имеет решение тогда и только тогда, когда [tex]c^2\le a^2+b^2[/tex]. Поэтому
[tex](3m-1)^2\le 3+m^2\iff 8m^2-6m-2\le 0\iff(4m+1)(m-1)\le 0[/tex]
Отсюда [tex]m\in\left[-\frac{1}{4}; 1\right][/tex].

Решение:
По теореме Виета [tex]\tg \alpha+\tg \beta=-p[/tex] и [tex]\tg \alpha\tg \beta=q[/tex]. Если [tex]q=1[/tex], то [tex]\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta(1-\tg \alpha\tg \beta)=0[/tex] и выражение равно [tex]\sin ^2(\alpha+\beta)=1=q[/tex]. Если [tex]q\ne 1[/tex], положим
[tex]t=\tg (\alpha+\beta)=\frac{-p}{1-q}=\frac{p}{q-1}[/tex]
Так как [tex]\cos^2(\alpha+\beta)=\frac{1}{1+t^2}[/tex], выражение равно [tex]\frac{t^2+pt+q}{1+t^2}[/tex]. Подставим [tex]t[/tex] и умножим числитель и знаменатель на [tex](q-1)^2[/tex]:
[tex]\frac{p^2+p^2(q-1)+q(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2}=\frac{q\left(p^2+(q-1)^2\right)}{p^2+(q-1)^2}=q[/tex]

Решение:
Так как [tex]|\sin x|\le 1[/tex], любой корень удовлетворяет условию [tex]|x|\le 13[/tex]. Обе части — нечётные функции, поэтому корни симметричны относительно [tex]0[/tex], и [tex]x=0[/tex] — корень. Пусть [tex]x\gt 0[/tex] и [tex]h(x)=\sin x-\frac{x}{13}[/tex].
На [tex]\left[0; \pi\right][/tex] функция [tex]h[/tex] выпукла вверх, [tex]h(0)=0[/tex], [tex]h'(0)=\frac{12}{13}\gt 0[/tex] и [tex]h(\pi)\lt 0[/tex], поэтому на [tex]\left(0; \pi\right)[/tex] ровно один корень. На [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex] и [tex]\left[3\pi; 4\pi\right][/tex] имеем [tex]\sin x\le 0\lt\frac{x}{13}[/tex], поэтому корней нет. На [tex]\left[2\pi; 3\pi\right][/tex] функция [tex]h[/tex] выпукла вверх, отрицательна на обоих концах и [tex]h\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1-\frac{5\pi}{26}\gt 0[/tex], поэтому там ровно два корня. На [tex]\left(4\pi; 13\right][/tex]:
[tex]\sin x\le\sin (13-4\pi)\lt\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\lt\frac{4\pi}{13}\lt\frac{x}{13}[/tex]
поэтому корней там нет. Итак, [tex]3[/tex] положительных корня, [tex]3[/tex] отрицательных и [tex]x=0[/tex]: всего [tex]7[/tex] решений.