Задачи на прогрессии - нормальные задачи с решениями

Решение:
Так как [tex]a,b,c[/tex] образуют арифметическую прогресию, [tex]c=b+d=a+2d[/tex] и [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=9[/tex], итак [tex]a+d=b=3[/tex] и [tex]a+c=6 => c=6-a[/tex]. Так как [tex]a+1,b+1,c+3[/tex] образуют геометрическую прогрессию, мы имеем [tex](b+1)^2=(a+1)(c+3)[/tex], или [tex]16=(a+1)(6-a+3)=(a+1)(9-a)[/tex]
[tex]16=9a+9-a^2-a[/tex]
[tex]a^2-8a+7=0[/tex], поэтому [tex]a=7[/tex] или [tex]a=1[/tex]. Но если [tex]a=7[/tex], [tex]c=6-a=6-7=-1<0[/tex]. Поэтому [tex]a=1[/tex] и [tex]c=6-a=6-1=5[/tex].

Решение:
Согласно свойств арифметической и геометрической прогрессии мы имеем [tex]2a=3+b[/tex] и [tex](a-6)^2=3b[/tex]. Мы подставляем [tex]b=2a-3[/tex] в последние уравнение что-бы получить
[tex]a^2-12a+36=6a-9[/tex]
[tex]a^2-18a+45=0[/tex]
Решения этого квадратного уравнения есть [tex]a=3[/tex] и [tex]a=15[/tex]. Но если [tex]a=3[/tex], арифметической прогрессии становится [tex]3,3,b[/tex], это означает, что [tex]b=3[/tex], что противоречит тому факту что [tex]b>3[/tex]. Поэтому единственным решением остается [tex]a=15[/tex].

Решение:
[tex]\{a_n\}[/tex] имеет 9 членов и по формуле для суммы арифметической прогрессии, мы имеем [tex]S_a=\frac{a_1+a_9}{2}.9=369[/tex], поэтому [tex]a_1+a_9=82[/tex], или [tex]a_9=81[/tex]. Это означает, что [tex]b_9=81[/tex]. Так как [tex]b_9=b_1.q^8[/tex], или [tex]81=3^4=q^8[/tex], мы имеем [tex]q^2=3[/tex].
[tex]b_7=b_1.q^6=1.(q^2)^3=3^3=27[/tex]

Решение:
Мы знаем что [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] и [tex]a^2=bc=\frac{a+c}{2}.c[/tex]
[tex]2a^2=c(a+c)=ac+c^2[/tex]. Мы разделим уравнение [tex]a^2[/tex]:
[tex]2=\frac{c}{a}+(\frac{c}{a})^2[/tex], или
[tex](\frac{c}{a})^2-\frac{c}{a}-2=0[/tex]. Но [tex]\frac{c}{a}=q[/tex] (два последовательных члена геометрической прогрессии). Итак
[tex]q^2-q-2=0[/tex] с арифметическими корнями [tex]q_1=-1[/tex] и [tex]q_2=-2[/tex]. Но [tex]q=-1[/tex] означает [tex]b=q^2c=1.c=c[/tex], которое противоречит что [tex]b \ne c[/tex]. Поэтому [tex]q=-2[/tex].

Решение:
Обозначим [tex]b=a+d, c=a+2d[/tex]. Так как [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=21[/tex], мы можем сделать вывод [tex]b=a+d=7[/tex]. Геометрическая прогрессия становится [tex]a+2, 10, c+9[/tex] и арифметическая прогрессия становится [tex]a,7,c[/tex]. Это значит,что [tex]a+c=14[/tex] и [tex](a+2)(c+9)=100[/tex]. Подставляя [tex]a[/tex] для [tex]14-c[/tex], мы получаем
[tex](16-c)(9+c)=100[/tex]
[tex]144-9c+16c-c^2=100[/tex]
[tex]c^2-7c+44=0[/tex], что дает [tex]c_1=-4[/tex] и [tex]c_2=11[/tex], но [tex]c>0[/tex] и единственным ответом остаётся [tex]c=11[/tex].

Решение:
Мы можем обозначить [tex]b=a+3d[/tex], [tex]c=a+7d[/tex], где [tex]d[/tex] есть разницей геометрической прогрессией. По свойству среднего значения геометрической прогрессии мы имеем
[tex](a+3d)^2=a(a+7d)[/tex]
[tex]a^2+6ad+9d^2=a^2=7ad[/tex]
[tex]ad=9d^2[/tex]. Так как арифметическая прогрессия не является постоянной, [tex]d \ne 0[/tex]. Ме делим ее, чтоьы получить
[tex]a=9d[/tex]. Тогда [tex]b=9d+3d=12d[/tex] и[tex]c=9d+7d=16d[/tex]. Но, так как [tex]a,b,c,64[/tex] есть геометрической прогрессией,
[tex]\frac{64}{c}=\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\frac{64}{16d}=\frac{12d}{9d}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]d=\frac{64.3}{16.4}=3[/tex], соответственно [tex]a=27[/tex], [tex]b=36[/tex] и [tex]c=48[/tex] и ответ есть [tex]a+b-c=36+27-48=15[/tex]