Задача 1
Даны положительные числа [tex]a,b,c[/tex], которые образуют арифметическую прогрессию в заданном порядке. Мы знаем что [tex]a+b+c=9[/tex]. Числа [tex]a+1, b+1, c+3[/tex] образуют геометрическую прогрессию в заданном порядке. Найдите c.
Решение:
Так как [tex]a,b,c[/tex] образуют арифметическую прогресию, [tex]c=b+d=a+2d[/tex] и [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=9[/tex], итак [tex]a+d=b=3[/tex] и [tex]a+c=6 => c=6-a[/tex]. Так как [tex]a+1,b+1,c+3[/tex] образуют геометрическую прогрессию, мы имеем [tex](b+1)^2=(a+1)(c+3)[/tex], или [tex]16=(a+1)(6-a+3)=(a+1)(9-a)[/tex]
[tex]16=9a+9-a^2-a[/tex]
[tex]a^2-8a+7=0[/tex], поэтому [tex]a=7[/tex] или [tex]a=1[/tex]. Но если [tex]a=7[/tex], [tex]c=6-a=6-7=-1<0[/tex]. Поэтому [tex]a=1[/tex] и [tex]c=6-a=6-1=5[/tex].
Задача 2
Между числом 3 и числом [tex]b>3[/tex] лежит число [tex]a[/tex], такое что [tex]3,a,b[/tex] образуют арифметическую прогрессию. Числа [tex]3,a-6,b[/tex] образуют геометрическую прогрессию. Найдите a.
Задача 3
Арифметическая прогрессия [tex]\{a_n\}[/tex]имеет 9 элементов. [tex]a_1=1[/tex] и [tex]S_a=369[/tex] (сумма всех его элементов равна 369 ). Геометрическая прогрессия [tex]\{b_n\}[/tex] также имеет 9 элементов. [tex]a_1=b_1[/tex] и [tex]a_9=b_9[/tex]. Определите значение [tex]b_7[/tex].
Задача 4
Числа [tex]a,b,c[/tex] все разные, и образуют арифметическую прогрессию в указанном порядке. Числа [tex]b,a,c[/tex] образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (предположим что [tex]|q| > 1[/tex]).
Задача 5
Позитивные чила [tex]a,b,c[/tex] образуют арифметическую прогрессию, и [tex]a+b+c=21[/tex]. Если числа [tex]a+2, b+3, c+9[/tex] образуют геометрическую прогрессию, найдите c.
Решение:
Обозначим [tex]b=a+d, c=a+2d[/tex]. Так как [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=21[/tex], мы можем сделать вывод [tex]b=a+d=7[/tex]. Геометрическая прогрессия становится [tex]a+2, 10, c+9[/tex] и арифметическая прогрессия становится [tex]a,7,c[/tex]. Это значит,что [tex]a+c=14[/tex] и [tex](a+2)(c+9)=100[/tex]. Подставляя [tex]a[/tex] для [tex]14-c[/tex], мы получаем
[tex](16-c)(9+c)=100[/tex]
[tex]144-9c+16c-c^2=100[/tex]
[tex]c^2-7c+44=0[/tex], что дает [tex]c_1=-4[/tex] и [tex]c_2=11[/tex], но [tex]c>0[/tex] и единственным ответом остаётся [tex]c=11[/tex].
Задача 6
Числа [tex]a,b,c,64[/tex] образуют геометрическую прогрессию. [tex]a,b,c[/tex] также, соответственно, первый, четвёртый и восьмой член непостоянной арифметической прогрессии. Определите значение [tex]a+b-c[/tex].
Решение:
Мы можем обозначить [tex]b=a+3d[/tex], [tex]c=a+7d[/tex], где [tex]d[/tex] есть разницей геометрической прогрессией. По свойству среднего значения геометрической прогрессии мы имеем
[tex](a+3d)^2=a(a+7d)[/tex]
[tex]a^2+6ad+9d^2=a^2=7ad[/tex]
[tex]ad=9d^2[/tex]. Так как арифметическая прогрессия не является постоянной, [tex]d \ne 0[/tex]. Ме делим ее, чтоьы получить
[tex]a=9d[/tex]. Тогда [tex]b=9d+3d=12d[/tex] и[tex]c=9d+7d=16d[/tex]. Но, так как [tex]a,b,c,64[/tex] есть геометрической прогрессией,
[tex]\frac{64}{c}=\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\frac{64}{16d}=\frac{12d}{9d}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]d=\frac{64.3}{16.4}=3[/tex], соответственно [tex]a=27[/tex], [tex]b=36[/tex] и [tex]c=48[/tex] и ответ есть [tex]a+b-c=36+27-48=15[/tex]