Задачи на прогрессии - сложные задачи с решениями

Решение:
Так как [tex]a,b,c[/tex] образуют арифметическую прогресию, [tex]c=b+d=a+2d[/tex] и [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=9[/tex], итак [tex]a+d=b=3[/tex] и [tex]a+c=6 => c=6-a[/tex]. Так как [tex]a+1,b+1,c+3[/tex] образуют геометрическую прогрессию, мы имеем [tex](b+1)^2=(a+1)(c+3)[/tex], или [tex]16=(a+1)(6-a+3)=(a+1)(9-a)[/tex]
[tex]16=9a+9-a^2-a[/tex]
[tex]a^2-8a+7=0[/tex], поэтому [tex]a=7[/tex] или [tex]a=1[/tex]. Но если [tex]a=7[/tex], [tex]c=6-a=6-7=-1<0[/tex]. Поэтому [tex]a=1[/tex] и [tex]c=6-a=6-1=5[/tex].

Решение:
Согласно свойств арифметической и геометрической прогрессии мы имеем [tex]2a=3+b[/tex] и [tex](a-6)^2=3b[/tex]. Мы подставляем [tex]b=2a-3[/tex] в последние уравнение что-бы получить
[tex]a^2-12a+36=6a-9[/tex]
[tex]a^2-18a+45=0[/tex]
Решения этого квадратного уравнения есть [tex]a=3[/tex] и [tex]a=15[/tex]. Но если [tex]a=3[/tex], арифметической прогрессии становится [tex]3,3,b[/tex], это означает, что [tex]b=3[/tex], что противоречит тому факту что [tex]b>3[/tex]. Поэтому единственным решением остается [tex]a=15[/tex].

Решение:
[tex]\{a_n\}[/tex] имеет 9 членов и по формуле для суммы арифметической прогрессии, мы имеем [tex]S_a=\frac{a_1+a_9}{2} \cdot 9=369[/tex], поэтому [tex]a_1+a_9=82[/tex], или [tex]a_9=81[/tex]. Это означает, что [tex]b_9=81[/tex]. Так как [tex]b_9=b_1 \cdot q^8[/tex], или [tex]81=3^4=q^8[/tex], мы имеем [tex]q^2=3[/tex].
[tex]b_7=b_1 \cdot q^6=1 \cdot (q^2)^3=3^3=27[/tex]

Решение:
Мы знаем что [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] и [tex]a^2=bc=\frac{a+c}{2} \cdot c[/tex]
[tex]2a^2=c(a+c)=ac+c^2[/tex]. Мы разделим уравнение [tex]a^2[/tex]:
[tex]2=\frac{c}{a}+(\frac{c}{a})^2[/tex], или
[tex](\frac{c}{a})^2-\frac{c}{a}-2=0[/tex]. Но [tex]\frac{c}{a}=q[/tex] (два последовательных члена геометрической прогрессии). Итак
[tex]q^2-q-2=0[/tex] с арифметическими корнями [tex]q_1=-1[/tex] и [tex]q_2=-2[/tex]. Но [tex]q=-1[/tex] означает [tex]b=q^2c=1 \cdot c=c[/tex], которое противоречит что [tex]b \ne c[/tex]. Поэтому [tex]q=-2[/tex].

Решение:
Обозначим [tex]b=a+d, c=a+2d[/tex]. Так как [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=21[/tex], мы можем сделать вывод [tex]b=a+d=7[/tex]. Геометрическая прогрессия становится [tex]a+2, 10, c+9[/tex] и арифметическая прогрессия становится [tex]a,7,c[/tex]. Это значит,что [tex]a+c=14[/tex] и [tex](a+2)(c+9)=100[/tex]. Подставляя [tex]a[/tex] для [tex]14-c[/tex], мы получаем
[tex](16-c)(9+c)=100[/tex]
[tex]144-9c+16c-c^2=100[/tex]
[tex]c^2-7c+44=0[/tex], что дает [tex]c_1=-4[/tex] и [tex]c_2=11[/tex], но [tex]c>0[/tex] и единственным ответом остаётся [tex]c=11[/tex].

Решение:
Мы можем обозначить [tex]b=a+3d[/tex], [tex]c=a+7d[/tex], где [tex]d[/tex] есть разницей геометрической прогрессией. По свойству среднего значения геометрической прогрессии мы имеем
[tex](a+3d)^2=a(a+7d)[/tex]
[tex]a^2+6ad+9d^2=a^2=7ad[/tex]
[tex]ad=9d^2[/tex]. Так как арифметическая прогрессия не является постоянной, [tex]d \ne 0[/tex]. Ме делим ее, чтоьы получить
[tex]a=9d[/tex]. Тогда [tex]b=9d+3d=12d[/tex] и[tex]c=9d+7d=16d[/tex]. Но, так как [tex]a,b,c,64[/tex] есть геометрической прогрессией,
[tex]\frac{64}{c}=\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\frac{64}{16d}=\frac{12d}{9d}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]d=\frac{64 \cdot 3}{16 \cdot 4}=3[/tex], соответственно [tex]a=27[/tex], [tex]b=36[/tex] и [tex]c=48[/tex] и ответ есть [tex]a+b-c=36+27-48=15[/tex]

Решение:
Геометрическая прогрессия состоит из чисел [tex]2^{k}; k\ge -3[/tex] ([tex]k[/tex] – целое).
Арифметическая прогрессия имеет [tex]d=16[/tex] и члены [tex]16m-28=4(4m-7); m\ge 1[/tex].
Общий член – натуральное число, делящееся на [tex]4[/tex], поэтому он равен [tex]2^{k}[/tex] с [tex]k\ge 2[/tex], и [tex]4m-7=2^{k-2}[/tex]. Левая часть нечётна, поэтому [tex]2^{k-2}=1[/tex], [tex]k=2[/tex] и [tex]m=2[/tex]. Общий член равен [tex]4[/tex].

Решение:
Пусть эти количества равны [tex]A; B; V; G[/tex]. Тогда
[tex]2B=A+V; V^{2}=AG; A+G=10; B+V=7[/tex]
[tex]B=7-V\Rightarrow A=2B-V=14-3V; G=10-A=3V-4[/tex]
[tex]V^{2}=(14-3V)(3V-4)\iff 5V^{2}-27V+28=0\iff V=4[/tex] или [tex]V=\dfrac{7}{5}[/tex]
Количества – целые числа, поэтому [tex]V=4[/tex], [tex]A=2[/tex], [tex]B=3[/tex], [tex]G=8[/tex].

Решение:
Запишем [tex]a_{1}=a; a_{2}=aq; a_{3}=aq^{2}; a_{4}=aq^{3}[/tex]. Тогда
[tex]2a_{2}=(a_{1}+1)+(a_{3}-4)\Rightarrow a(q-1)^{2}=3[/tex]
[tex]2(a_{3}-4)=a_{2}+(a_{4}-14)\Rightarrow aq(q-1)^{2}=6[/tex]
Разделив: [tex]q=2; a=3[/tex]. Числа: [tex]3; 6; 12; 24[/tex] (арифметическая прогрессия: [tex]4; 6; 8; 10[/tex]).

Решение:
Пусть числа равны [tex]b; bq; bq^{2}[/tex], [tex]b\gt 0[/tex], [tex]q\gt 0[/tex]. Для арифметической прогрессии
[tex]S_{9}=\dfrac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 9=9a_{5}=9b=bq^{2}\Rightarrow q=3[/tex]
[tex]b(1+3+9)=39\Rightarrow b=3[/tex]
Числа: [tex]3; 9; 27[/tex]; тогда [tex]a_{5}=3; a_{8}=9\Rightarrow 3d=6; d=2[/tex], и
[tex]a_{1}=a_{5}-4d=-5[/tex]

Решение:
Пусть числа равны [tex]a; b; c[/tex], причём [tex]b^{2}=ac[/tex]. Вторая геометрическая прогрессия даёт
[tex](b-4)^{2}=ac=b^{2}\Rightarrow -8b+16=0\Rightarrow b=2; ac=4[/tex]
Числа [tex]a; -2; c-9[/tex] образуют арифметическую прогрессию, поэтому
[tex]-4=a+c-9\Rightarrow a+c=5[/tex]
Вместе с [tex]ac=4[/tex] получаем [tex]\{a; c\}=\{1; 4\}[/tex]: числа [tex]1; 2; 4[/tex] или [tex]4; 2; 1[/tex].

Решение:
[tex]a_{1}=2; b_{1}=1; 2+5d=3q; 2+14d=4q^{2}[/tex]
[tex]d=\dfrac{3q-2}{5}\Rightarrow 10+14(3q-2)=20q^{2}\iff 10q^{2}-21q+9=0[/tex]
Значит, [tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] или [tex]q=\dfrac{3}{5}[/tex]. Прогрессия возрастает и [tex]b_{1}\gt 0[/tex], поэтому [tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] и [tex]d=\dfrac{1}{2}[/tex].

Решение:
Пусть [tex]b_{1}=b[/tex], а [tex]q[/tex] – знаменатель. Из [tex]2a_{2}=a_{1}+a_{3}[/tex]:
[tex]2(bq+1)=b+bq^{2}-1\iff b(q-1)^{2}=3; b(1+q+q^{2})=21[/tex]
[tex]1+q+q^{2}=7(q-1)^{2}\iff 2q^{2}-5q+2=0\iff q=2[/tex] или [tex]q=\dfrac{1}{2}[/tex]
При [tex]q=\dfrac{1}{2}[/tex] геометрическая прогрессия убывает, поэтому [tex]q=2[/tex] и [tex]b=3[/tex]. Арифметическая прогрессия: [tex]3; 7; 11; \ldots[/tex], [tex]d=4[/tex]:
[tex]S_{n}=\dfrac{6+4(n-1)}{2}\cdot n=n(2n+1)=55\iff 2n^{2}+n-55=0\iff n=5[/tex]

Решение:
Пусть [tex]d[/tex] – разность, [tex]b_{1}=b[/tex], [tex]q[/tex] – знаменатель. Вычтем соседние уравнения:
[tex]d+b(q-1)=0; d+bq(q-1)=12; d+bq^{2}(q-1)=48[/tex]
Снова вычтем: [tex]b(q-1)^{2}=12; bq(q-1)^{2}=36[/tex]. Разделив:
[tex]q=3; b=3; d=-b(q-1)=-6; a_{1}=27-3=24[/tex]
Арифметическая прогрессия: [tex]24; 18; 12; 6[/tex], геометрическая: [tex]3; 9; 27; 81[/tex].

Решение:
Пусть числа равны [tex]x-a; x; x+a[/tex]. Тогда
[tex](x-2)^{2}=(x-a)(x+a)\iff a^{2}=4x-4[/tex]
[tex]x^{2}=(x-a)(x+a+9)\iff a^{2}+9a=9x[/tex]
[tex]x=\dfrac{a^{2}+4}{4}\Rightarrow 5a^{2}-36a+36=0\iff a=6[/tex] или [tex]a=\dfrac{6}{5}[/tex]
Искомые числа: [tex]4; 10; 16[/tex] или [tex]\dfrac{4}{25}; \dfrac{34}{25}; \dfrac{64}{25}[/tex].

Решение:
Пусть числа равны [tex]x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}; x_{5}[/tex]. Из геометрической прогрессии
[tex]x_{1}x_{2}x_{3}=x_{2}^{3}=8\Rightarrow x_{2}=2; x_{1}=\dfrac{4}{x_{3}}[/tex]
[tex]x_{4}=\dfrac{37}{2}-2=\dfrac{33}{2}; x_{5}=2x_{4}-x_{3}=33-x_{3}[/tex]
[tex]\dfrac{4}{x_{3}}+33-x_{3}=30\iff x_{3}^{2}-3x_{3}-4=0\iff x_{3}=4[/tex] или [tex]x_{3}=-1[/tex]
Ответ: [tex]1; 2; 4; \dfrac{33}{2}; 29[/tex] и [tex]-4; 2; -1; \dfrac{33}{2}; 34[/tex].

Решение:
Пусть цифры равны [tex]x; y; z[/tex]; они образуют геометрическую прогрессию, поэтому [tex]y^{2}=xz[/tex] и все цифры отличны от нуля.
Вычитание [tex]400[/tex] меняет только цифру сотен, поэтому новые цифры равны [tex]x-4; y; z[/tex], [tex]x\ge 5[/tex], и [tex]2y=x-4+z[/tex]. Тогда
[tex]z=2y-x+4\Rightarrow y^{2}=x(2y-x+4)\iff (x-y)^{2}=4x[/tex]
Значит, [tex]x[/tex] – точный квадрат и [tex]5\le x\le 9[/tex], т.е. [tex]x=9[/tex]; из [tex]|9-y|=6[/tex] получаем цифру [tex]y=3[/tex] и [tex]z=1[/tex]. Искомое число [tex]931[/tex] (а у числа [tex]531[/tex] цифры образуют арифметическую прогрессию).

Решение:
Пусть логарифмы равны [tex]u; u+d; u+2d; u+3d; d\gt 0[/tex]. Один из средних членов равен [tex]0[/tex], поэтому [tex]u=-d[/tex] или [tex]u=-2d[/tex]. В обоих случаях
[tex]u(u+3d)=-2d^{2}=-8\Rightarrow d=2[/tex]
Логарифмы равны [tex]-2; 0; 2; 4[/tex] или [tex]-4; -2; 0; 2[/tex], поэтому числа равны [tex]\dfrac{1}{4}; 1; 4; 16[/tex] или [tex]\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{4}; 1; 4[/tex].

Решение:
Шестой член равен [tex]a_{6}=S_{6}-S_{5}=72-45=27[/tex] (последовательность – арифметическая прогрессия [tex]a_{k}=6k-9[/tex]).
Сумма трёх чисел равна [tex]3\cdot 13=39[/tex], поэтому два других числа в сумме дают [tex]12[/tex]. Если бы [tex]27[/tex] было средним членом, два других числа имели бы произведение [tex]27^{2}=729[/tex] и сумму [tex]12[/tex], что невозможно для действительных чисел. Значит, [tex]27[/tex] – крайний член:
[tex]27(1+q+q^{2})=39\iff 9q^{2}+9q-4=0\iff q=\dfrac{1}{3}[/tex] или [tex]q=-\dfrac{4}{3}[/tex]
При [tex]q=-\dfrac{4}{3}[/tex] третье число равно [tex]48\gt 27[/tex], что невозможно. Значит, числа равны [tex]27; 9; 3[/tex], и наименьшее из них [tex]3[/tex].