Уравнения с модулем - сложные задачи с решениями

Решение:
Заметим, что [tex]|4-2x|=2|x-2|[/tex] и [tex]|6-3x|=3|x-2|[/tex]:
[tex]|x-2|-2|x-2|-3|x-2|=-8 \Rightarrow -4|x-2|=-8 \Rightarrow |x-2|=2[/tex]
[tex]x-2=2 \Rightarrow x=4[/tex]; [tex]x-2=-2 \Rightarrow x=0[/tex]

Решение:
Модули равны, если выражения под ними равны или противоположны:
[tex]2-3x=9+4x \Rightarrow -7x=7 \Rightarrow x=-1[/tex]
[tex]2-3x=-(9+4x) \Rightarrow 2-3x=-9-4x \Rightarrow x=-11[/tex]
[tex]-1+(-11)=-12[/tex]

Решение:
Выражения под модулями меняют знак при [tex]x=0[/tex] и [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Рассмотрим три промежутка:
[tex]x\lt 0:\ -x-(2x-1)=3 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}[/tex] (принадлежит промежутку)
[tex]0\le x\lt \frac{1}{2}:\ x-(2x-1)=3 \Rightarrow x=-2[/tex] (не принадлежит промежутку)
[tex]x\ge \frac{1}{2}:\ x+2x-1=3 \Rightarrow x=\frac{4}{3}[/tex] (принадлежит промежутку)

Решение:
При [tex]x\lt 3[/tex]: [tex]3-x>0[/tex] и [tex]x-5\lt 0[/tex], поэтому [tex]|3-x|=3-x[/tex] и [tex]|x-5|=5-x[/tex]:
[tex]3-x-x(5-x)=3 \Rightarrow x^2-6x=0 \Rightarrow x(x-6)=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] или [tex]x=6[/tex]; только [tex]x=0[/tex] удовлетворяет условию [tex]x\lt 3[/tex].

Решение:
[tex]a\lt 0 \Rightarrow a-1\lt 0 \Rightarrow |a-1|=1-a[/tex]
[tex]\big|a-2-(1-a)\big|=|2a-3|[/tex]
[tex]a\lt 0 \Rightarrow 2a-3\lt 0 \Rightarrow |2a-3|=3-2a[/tex]

Решение:
[tex]a\lt 0[/tex]: модуль не бывает отрицательным – решений нет.
[tex]a=0[/tex]: [tex]2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex] – одно решение.
[tex]a>0[/tex]: [tex]2x-1=a[/tex] или [tex]2x-1=-a[/tex], т.е. [tex]x=\frac{1+a}{2}[/tex] или [tex]x=\frac{1-a}{2}[/tex] – два решения.

Решение:
[tex]x_1=m+3[/tex], [tex]x_2=m-3[/tex]
[tex](m+3)(m-3)\lt 0[/tex]
Произведение двух чисел отрицательно, если они разных знаков; так как [tex]m+3>m-3[/tex], нужно [tex]m+3>0[/tex] и [tex]m-3\lt 0[/tex]:
[tex]-3\lt m\lt 3[/tex]

Решение:
Модуль не может быть отрицательным, поэтому решений нет тогда и только тогда, когда правая часть отрицательна:
[tex]m^2-4m+3=(m-1)(m-3)\lt 0[/tex]
Множители разных знаков; так как [tex]m-1>m-3[/tex]: [tex]m-1>0[/tex] и [tex]m-3\lt 0[/tex], т.е. [tex]1\lt m\lt 3[/tex].

Решение:
[tex](x-4)^2=(2x+1)^2 \Rightarrow x-4=2x+1[/tex] или [tex]x-4=-(2x+1)[/tex]
[tex]x=-5[/tex] или [tex]x=1[/tex]
[tex]|x-m|=3 \Rightarrow x=m-3[/tex] или [tex]x=m+3[/tex]
Корни должны совпадать: [tex]m-3=-5[/tex] и [tex]m+3=1[/tex], значит, [tex]m=-2[/tex].
[tex]m^2=4[/tex]

Решение:
Сумма двух модулей (неотрицательных чисел) равна [tex]0[/tex] только тогда, когда оба равны [tex]0[/tex]:
[tex]x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2[/tex] или [tex]x=4[/tex]
[tex]x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0 \Rightarrow x=1[/tex] или [tex]x=5[/tex]
Общих значений нет, поэтому уравнение не имеет решений.

Решение:
Так как [tex]x^2-4x=(x-2)^2-4[/tex] и [tex](x-2)^2=|x-2|^2[/tex], положим [tex]t=|x-2|\ge 0[/tex]:
[tex]t^2-4+t=8 \Rightarrow t^2+t-12=0 \Rightarrow (t+4)(t-3)=0[/tex]
[tex]t=-4[/tex] невозможно ([tex]t\ge 0[/tex]), значит, [tex]t=3[/tex]: [tex]|x-2|=3 \Rightarrow x=5[/tex] или [tex]x=-1[/tex].