Свойства треугольников - сложные задачи с решениями

Решение:
[tex]\angle A+\angle B=160^\circ[/tex]. Так как [tex]AC\gt BC[/tex], угол против [tex]AC[/tex] больше: [tex]\angle B\gt \angle A[/tex], откуда [tex]\angle A\lt 80^\circ[/tex]. Треугольник остроугольный, поэтому [tex]\angle B=160^\circ-\angle A\lt 90^\circ[/tex], т.е. [tex]\angle A\gt 70^\circ[/tex]:
[tex]70^\circ\lt \angle A\lt 80^\circ \Rightarrow \angle A\in\{71^\circ; 72^\circ; \dots; 79^\circ\}[/tex]
Возможных значений [tex]9[/tex].

Решение:
Пусть [tex]\angle ACB=\gamma[/tex]. Так как [tex]MA=MC[/tex], [tex]\angle MAC=\gamma[/tex], а внешний угол [tex]AMB[/tex] треугольника [tex]AMC[/tex] равен [tex]2\gamma[/tex]. Так как [tex]AM=AB[/tex], [tex]\angle ABM=\angle AMB=2\gamma[/tex]. Значит, оба угла при основании треугольника [tex]ABC[/tex] равны [tex]2\gamma[/tex]:
[tex]\gamma+2\gamma+2\gamma=180^\circ \Rightarrow \gamma=36^\circ[/tex]

Решение:
Пусть биссектрисы пересекаются в точке [tex]I[/tex]. В треугольнике [tex]BIC[/tex]:
[tex]\angle BIC=180^\circ-\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=180^\circ-\dfrac{180^\circ-\angle A}{2}=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}[/tex]
Этот угол всегда тупой, поэтому [tex]40^\circ[/tex] — это смежный угол, и [tex]\angle BIC=140^\circ[/tex]:
[tex]90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=140^\circ \Rightarrow \angle A=100^\circ[/tex]

Решение:
Пусть биссектрисы внешних углов пересекаются в точке [tex]J[/tex]. Каждая делит внешний угол пополам:
[tex]\angle JBC=\dfrac{180^\circ-\angle B}{2}; \angle JCB=\dfrac{180^\circ-\angle C}{2}[/tex]
[tex]\angle BJC=180^\circ-\angle JBC-\angle JCB=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=\dfrac{180^\circ-48^\circ}{2}=66^\circ[/tex]

Решение:
Пусть [tex]\angle A=65^\circ[/tex] и [tex]\angle B=87^\circ[/tex]; тогда [tex]\angle C=28^\circ[/tex]. Пусть [tex]CH[/tex] — высота, а [tex]CL[/tex] — биссектриса. Оба угла [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] острые, поэтому [tex]H[/tex] лежит на стороне [tex]AB[/tex]:
[tex]\angle ACH=90^\circ-65^\circ=25^\circ; \angle ACL=\dfrac{28^\circ}{2}=14^\circ[/tex]
[tex]\angle LCH=25^\circ-14^\circ=11^\circ[/tex]

Решение:
Каждая точка серединного перпендикуляра к [tex]BC[/tex] равноудалена от [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex], поэтому [tex]PB=PC[/tex]:
[tex]P_{ABP}=AB+BP+PA=AB+PC+PA=AB+AC=13 \Rightarrow AC=8[/tex]
[tex]P_{ABC}=AB+2AC=5+16=21[/tex]

Решение:
Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому [tex]MA=MC[/tex] и [tex]\angle MCA=\angle A[/tex]. Биссектриса даёт [tex]\angle LCA=45^\circ[/tex]. Следовательно:
[tex]|\angle A-45^\circ|=20^\circ[/tex]
Значит, [tex]\angle A=65^\circ[/tex] или [tex]\angle A=25^\circ[/tex]; оба случая возможны (они отличаются лишь перестановкой [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]).

Решение:
Пусть [tex]\angle ABC=\beta[/tex]. Медиана к гипотенузе даёт [tex]MC=MB[/tex], поэтому [tex]\angle MCB=\beta[/tex]. [tex]\angle MOB[/tex] — внешний угол треугольника [tex]OBC[/tex]:
[tex]\angle MOB=\angle OBC+\angle OCB=\dfrac{\beta}{2}+\beta=\dfrac{3\beta}{2}=60^\circ \Rightarrow \beta=40^\circ[/tex]
[tex]\angle BAC=90^\circ-40^\circ=50^\circ[/tex]

Решение:
Острые углы равны [tex]30^\circ[/tex] и [tex]60^\circ[/tex]. Пусть [tex]\angle C=90^\circ[/tex], [tex]\angle A=60^\circ[/tex], [tex]\angle B=30^\circ[/tex], а биссектриса [tex]AL[/tex] пересекает [tex]BC[/tex] в точке [tex]L[/tex]. Так как [tex]\angle LAB=30^\circ=\angle B[/tex], [tex]AL=BL[/tex]. В прямоугольном треугольнике [tex]ACL[/tex] [tex]\angle LAC=30^\circ[/tex], поэтому [tex]CL=\frac{AL}{2}=\frac{BL}{2}[/tex]:
[tex]BL-CL=CL=7 \Rightarrow BL=14; BC=21[/tex]

Решение:
Из прямоугольных треугольников [tex]AMC[/tex] и [tex]ADC[/tex]: [tex]\angle HAC=90^\circ-\angle C[/tex] и [tex]\angle HCA=90^\circ-\angle A[/tex]. В треугольнике [tex]AHC[/tex]:
[tex]\angle AHC=\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B=100^\circ \Rightarrow \angle B=80^\circ[/tex]
[tex]\angle A+\angle C=100^\circ; \angle A:\angle C=2:3 \Rightarrow \angle A=40^\circ; \angle C=60^\circ[/tex]

Решение:
В треугольнике [tex]ABL[/tex]: [tex]\angle ALB=180^\circ-\angle B-\frac{\angle A}{2}=105^\circ[/tex], поэтому:
[tex]\angle B+\dfrac{\angle A}{2}=75^\circ[/tex]
Мы не знаем, какие стороны равны, поэтому рассмотрим три случая. Если [tex]AC=BC[/tex], то [tex]\angle A=\angle B[/tex] и [tex]\frac{3\angle A}{2}=75^\circ[/tex]: [tex]\angle A=\angle B=50^\circ[/tex], [tex]\angle C=80^\circ[/tex].
Если [tex]AB=BC[/tex], то [tex]\angle A=\angle C[/tex] и [tex]\angle B=180^\circ-2\angle A[/tex]: [tex]180^\circ-2\angle A+\frac{\angle A}{2}=75^\circ[/tex], откуда [tex]\angle A=\angle C=70^\circ[/tex], [tex]\angle B=40^\circ[/tex].
Если [tex]AB=AC[/tex], биссектриса [tex]AL[/tex] является и высотой, и [tex]\angle ALB=90^\circ\ne 105^\circ[/tex]. Значит, [tex]\angle ACB=80^\circ[/tex] или [tex]\angle ACB=70^\circ[/tex].

Решение:
Пусть боковые стороны [tex]b[/tex], основание [tex]a[/tex], т.е. [tex]2b+a=30[/tex]. Медиана из вершины при основании к середине боковой стороны делит периметр на части [tex]b+\frac{b}{2}=\frac{3b}{2}[/tex] и [tex]\frac{b}{2}+a[/tex]. Эти части равны [tex]18[/tex] и [tex]12[/tex] в каком-то порядке:
[tex]\dfrac{3b}{2}=18 \Rightarrow b=12; a=6[/tex]
[tex]\dfrac{3b}{2}=12 \Rightarrow b=8; a=14[/tex]
Оба треугольника [tex]12; 12; 6[/tex] и [tex]8; 8; 14[/tex] существуют, поэтому основание равно [tex]6[/tex] или [tex]14[/tex].

Решение:
В треугольнике [tex]ABM[/tex] биссектриса из [tex]B[/tex] является и высотой (два отсекаемых ею прямоугольных треугольника равны), поэтому он равнобедренный: [tex]BA=BM=\frac{BC}{2}[/tex]. Пусть [tex]AB=x[/tex] и [tex]BC=2x[/tex].
[tex]AB=BC[/tex] дало бы [tex]x=2x[/tex], что невозможно. [tex]AC=AB=x[/tex] дало бы стороны [tex]x; x; 2x[/tex], нарушающие неравенство треугольника. Значит, [tex]AC=BC=2x[/tex]:
[tex]x+2x+2x=25 \Rightarrow x=5[/tex]
[tex]AB=5; BC=CA=10[/tex]

Решение:
Пусть [tex]P[/tex] — точка [tex]BC[/tex] на серединном перпендикуляре к [tex]AB[/tex]: [tex]PA=PB[/tex], поэтому [tex]\angle PAB=\angle B[/tex]. Так как [tex]P[/tex] внутри [tex]BC[/tex], луч [tex]AP[/tex] лежит внутри [tex]\angle A[/tex], значит, [tex]\angle B\lt \angle A[/tex], т.е. [tex]AC\lt BC[/tex].
Пусть [tex]Q[/tex] — точка [tex]AB[/tex] на серединном перпендикуляре к [tex]AC[/tex]: [tex]QA=QC[/tex], поэтому [tex]\angle QCA=\angle A[/tex]. Аналогично [tex]\angle A\lt \angle C[/tex], т.е. [tex]BC\lt AB[/tex].
[tex]AB\gt BC\gt AC[/tex]

Решение:
Пусть [tex]\angle C=x[/tex]; тогда [tex]\angle B=x-38^\circ[/tex] и [tex]\angle A=x-88^\circ[/tex]:
[tex]3x-126^\circ=180^\circ \Rightarrow x=102^\circ; \angle B=64^\circ; \angle A=14^\circ[/tex]
Наибольшая сторона — [tex]AB[/tex] (против наибольшего угла [tex]C[/tex]). Так как [tex]BC\cdot h_a=CA\cdot h_b=AB\cdot h_c[/tex] (удвоенная площадь), наибольшая высота проведена к наименьшей стороне [tex]BC[/tex], т.е. это высота [tex]AH[/tex] из [tex]A[/tex]. Угол [tex]C[/tex] тупой, поэтому [tex]H[/tex] лежит на продолжении [tex]BC[/tex] за точку [tex]C[/tex]. В прямоугольном треугольнике [tex]ABH[/tex]:
[tex]\angle BAH=90^\circ-\angle B=90^\circ-64^\circ=26^\circ[/tex]

Решение:
Сравним прямоугольные треугольники [tex]AQH[/tex] и [tex]BQC[/tex] (прямой угол при [tex]Q[/tex]). Их гипотенузы равны: [tex]AH=BC[/tex]. Кроме того, [tex]\angle QAH=\angle CAD=90^\circ-\angle C[/tex] и [tex]\angle QBC=90^\circ-\angle C[/tex]. Значит, треугольники равны и [tex]AQ=BQ[/tex].
Тогда прямоугольный треугольник [tex]ABQ[/tex] равнобедренный, и [tex]\angle BAC=\angle BAQ=45^\circ[/tex].

Решение:
Отметим на [tex]AC[/tex] точку [tex]E[/tex] с [tex]AE=AB[/tex]. Тогда [tex]EC=AC-AB=BD[/tex]. Треугольники [tex]ABD[/tex] и [tex]AED[/tex] равны (по двум сторонам и углу между ними), поэтому [tex]DE=DB=EC[/tex] и [tex]\angle AED=\angle B[/tex].
Треугольник [tex]DEC[/tex] равнобедренный, поэтому [tex]\angle EDC=\angle C[/tex], а его внешний угол при [tex]E[/tex] равен [tex]\angle AED=2\angle C[/tex]. Следовательно:
[tex]\angle B=2\angle C; \angle B+\angle C=120^\circ \Rightarrow \angle C=40^\circ[/tex]