Свойства треугольников - очень сложные задачи с решениями

Решение:
Пусть [tex]CA=CB[/tex], а угол при вершине равен [tex]\gamma[/tex]; углы при основании равны [tex]90^\circ-\frac{\gamma}{2}[/tex]. Пусть [tex]AH[/tex] — высота к прямой [tex]BC[/tex]. В прямоугольном треугольнике [tex]ABH[/tex] угол с основанием [tex]\angle BAH=90^\circ-\angle B=\frac{\gamma}{2}[/tex].
Если [tex]\gamma\lt 90^\circ[/tex], то [tex]H[/tex] лежит на стороне [tex]BC[/tex] и [tex]\angle CAH=90^\circ-\gamma[/tex]:
[tex]90^\circ-\gamma=\dfrac{\gamma}{2}-12^\circ \Rightarrow \gamma=68^\circ[/tex]
Если [tex]\gamma\gt 90^\circ[/tex], то [tex]H[/tex] лежит на продолжении [tex]BC[/tex] за точку [tex]C[/tex] и [tex]\angle CAH=\gamma-90^\circ[/tex]:
[tex]\gamma-90^\circ=\dfrac{\gamma}{2}-12^\circ \Rightarrow \gamma=156^\circ[/tex]
(При [tex]\gamma=90^\circ[/tex] высота совпадает с боковой стороной.) Значит, угол при вершине равен [tex]68^\circ[/tex] или [tex]156^\circ[/tex].

Решение:
Пусть [tex]\angle A=\alpha[/tex], [tex]\angle B=\beta[/tex], [tex]\angle C=\gamma[/tex]. По теореме о внешнем угле:
[tex]\angle AMC=\beta+\dfrac{\alpha}{2}; \angle BPC=\alpha+\dfrac{\beta}{2}[/tex]
Прямая образует со стороной углы [tex]75^\circ[/tex] и [tex]105^\circ[/tex], поэтому каждый из этих углов равен [tex]75^\circ[/tex] или [tex]105^\circ[/tex]. Оба равны [tex]75^\circ[/tex]: вычитая, получаем [tex]\alpha=\beta[/tex], откуда [tex]\alpha=\beta=50^\circ[/tex], [tex]\gamma=80^\circ[/tex]. Оба равны [tex]105^\circ[/tex]: [tex]\alpha=\beta=70^\circ[/tex], [tex]\gamma=40^\circ[/tex].
Если [tex]\beta+\frac{\alpha}{2}=75^\circ[/tex] и [tex]\alpha+\frac{\beta}{2}=105^\circ[/tex], то, складывая, получаем [tex]\alpha+\beta=120^\circ[/tex], а вычитая — [tex]\alpha-\beta=60^\circ[/tex], т.е. [tex]\alpha=90^\circ[/tex], [tex]\beta=30^\circ[/tex], [tex]\gamma=60^\circ[/tex]. Обратный случай даёт [tex]\alpha=30^\circ[/tex], [tex]\beta=90^\circ[/tex], [tex]\gamma=60^\circ[/tex].

Решение:
Пусть [tex]\angle CBD=x[/tex] и [tex]\angle BAC=2x[/tex]. Тогда:
[tex]\angle ADB=140^\circ-2x; \angle C=140^\circ-3x[/tex]
В треугольнике [tex]ABD[/tex] сторона [tex]BD[/tex] лежит против угла [tex]2x[/tex], а [tex]AB[/tex] — против [tex]140^\circ-2x[/tex]. В треугольнике [tex]BDC[/tex] сторона [tex]BD[/tex] лежит против [tex]140^\circ-3x[/tex], а [tex]DC[/tex] — против [tex]x[/tex]. Если [tex]x\gt 35^\circ[/tex], то [tex]2x\gt 140^\circ-2x[/tex], т.е. [tex]BD\gt AB[/tex], и [tex]140^\circ-3x\lt x[/tex], т.е. [tex]BD\lt DC=AB[/tex] — противоречие. Если [tex]x\lt 35^\circ[/tex], оба неравенства меняют знак — снова противоречие. Следовательно:
[tex]x=35^\circ[/tex]
Проверка: углы треугольника [tex]ABC[/tex] равны [tex]70^\circ[/tex], [tex]75^\circ[/tex] и [tex]35^\circ[/tex], а [tex]AB=BD=DC[/tex].

Решение:
Пусть [tex]CA=CB[/tex], углы при основании равны [tex]\alpha[/tex], угол при вершине [tex]\gamma=180^\circ-2\alpha[/tex]. Прямая через [tex]A[/tex] пересекает [tex]BC[/tex] в точке [tex]D[/tex]; пусть [tex]\angle BAD=x[/tex], [tex]0\lt x\lt \alpha[/tex]. Углы треугольника [tex]ABD[/tex]: [tex]x; \alpha; 180^\circ-\alpha-x[/tex], углы треугольника [tex]ADC[/tex]: [tex]\alpha-x; \gamma; \alpha+x[/tex].
Треугольник [tex]ABD[/tex] равнобедренный, если [tex]180^\circ-\alpha-x=\alpha[/tex], т.е. [tex]x=\gamma[/tex], или если [tex]x=180^\circ-\alpha-x[/tex], т.е. [tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex]. Треугольник [tex]ADC[/tex] равнобедренный, если [tex]\alpha-x=\gamma[/tex] или [tex]\alpha+x=\gamma[/tex].
[tex]x=\gamma[/tex] и [tex]\alpha-x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=2\gamma[/tex], откуда [tex]\gamma=36^\circ[/tex], [tex]\alpha=72^\circ[/tex]. [tex]x=\gamma[/tex] и [tex]\alpha+x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=0[/tex], невозможно.
[tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex] и [tex]\alpha-x=\gamma[/tex]: [tex]\frac{3\alpha}{2}-90^\circ=180^\circ-2\alpha[/tex], откуда [tex]\alpha=\frac{540^\circ}{7}[/tex], [tex]\gamma=\frac{180^\circ}{7}[/tex] (и [tex]x=\frac{360^\circ}{7}\lt \alpha[/tex]). [tex]x=90^\circ-\frac{\alpha}{2}[/tex] и [tex]\alpha+x=\gamma[/tex]: [tex]\alpha=36^\circ[/tex], но тогда [tex]x=72^\circ\gt \alpha[/tex], невозможно.

Решение:
Треугольник [tex]ADC[/tex] прямоугольный с углом [tex]45^\circ[/tex], поэтому [tex]AD=CD[/tex]. Так как [tex]D[/tex] лежит на биссектрисе [tex]\angle AMB[/tex], она равноудалена от [tex]MA[/tex] и [tex]MB[/tex]: если [tex]DP\perp AM[/tex] и [tex]DQ\perp BC[/tex], то [tex]DP=DQ[/tex].
Прямоугольные треугольники [tex]ADP[/tex] и [tex]CDQ[/tex] имеют равные гипотенузы ([tex]AD=CD[/tex]) и равные катеты ([tex]DP=DQ[/tex]), значит, они равны и [tex]\angle DAP=\angle DCQ[/tex]:
[tex]\angle BAM=\angle DCB=90^\circ-\angle B[/tex]
[tex]\angle AMB=180^\circ-\angle B-(90^\circ-\angle B)=90^\circ[/tex]
Значит, [tex]AM[/tex] — высота из вершины [tex]A[/tex].

Решение:
[tex]\angle BAD=60^\circ-45^\circ=15^\circ[/tex] (внешний угол треугольника [tex]ABD[/tex]). Опустим [tex]CK\perp AD[/tex]. В прямоугольном треугольнике [tex]DKC[/tex] [tex]\angle DCK=30^\circ[/tex], поэтому [tex]DK=\frac{DC}{2}=BD[/tex]. Так как [tex]AD\gt BD[/tex] (в треугольнике [tex]ABD[/tex] [tex]45^\circ\gt 15^\circ[/tex]), точка [tex]K[/tex] лежит на отрезке [tex]AD[/tex].
Треугольник [tex]BDK[/tex] равнобедренный с [tex]\angle BDK=120^\circ[/tex], поэтому [tex]\angle DBK=\angle DKB=30^\circ[/tex]. Тогда [tex]\angle KBC=30^\circ=\angle KCB[/tex], т.е. [tex]KB=KC[/tex]. Также [tex]\angle ABK=45^\circ-30^\circ=15^\circ=\angle BAK[/tex], т.е. [tex]KA=KB[/tex]. Значит, [tex]KA=KC[/tex], прямоугольный треугольник [tex]AKC[/tex] равнобедренный и [tex]\angle KCA=45^\circ[/tex]:
[tex]\angle ACB=30^\circ+45^\circ=75^\circ[/tex]

Решение:
[tex]D[/tex] лежит на биссектрисе угла [tex]B[/tex], поэтому равноудалена от прямых [tex]BA[/tex] и [tex]BC[/tex]. [tex]D[/tex] лежит на биссектрисе угла [tex]AKC[/tex], поэтому равноудалена от прямых [tex]KA[/tex] и [tex]KC[/tex], а прямая [tex]KC[/tex] — это прямая [tex]BC[/tex]. Значит, [tex]D[/tex] равноудалена от прямых [tex]AB[/tex] и [tex]AK[/tex], и прямая [tex]AD[/tex], т.е. [tex]AC[/tex], — биссектриса одного из углов между этими прямыми.
[tex]AC[/tex] лежит вне угла [tex]BAK[/tex], поэтому делит пополам угол между [tex]AK[/tex] и продолжением [tex]AB'[/tex] стороны [tex]BA[/tex] за точку [tex]A[/tex]: [tex]\angle KAC=\angle CAB'[/tex]:
[tex]\dfrac{\angle BAC}{2}=180^\circ-\angle BAC \Rightarrow \angle BAC=120^\circ[/tex]

Решение:
Углы при основании равны [tex]50^\circ[/tex]. Пусть [tex]H[/tex] — середина [tex]AB[/tex]; [tex]CH[/tex] — ось симметрии треугольника. Пусть прямая [tex]BM[/tex] пересекает [tex]CH[/tex] в точке [tex]N[/tex] ([tex]M[/tex] лежит между [tex]B[/tex] и [tex]N[/tex]). Так как [tex]NA=NB[/tex], [tex]\angle NAB=30^\circ[/tex], поэтому [tex]\angle NAM=20^\circ[/tex] и [tex]\angle NAC=50^\circ-30^\circ=20^\circ[/tex].
[tex]\angle ANB=120^\circ[/tex] и [tex]\angle ANH=60^\circ[/tex], поэтому [tex]\angle ANC=120^\circ=\angle ANM[/tex]. Треугольники [tex]ANC[/tex] и [tex]ANM[/tex] имеют общую сторону [tex]AN[/tex] и равные прилежащие углы, значит, они равны и [tex]AM=AC[/tex]. В равнобедренном треугольнике [tex]ACM[/tex] [tex]\angle CAM=50^\circ-10^\circ=40^\circ[/tex]:
[tex]\angle AMC=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ[/tex]

Решение:
Пусть [tex]\angle A=\alpha[/tex] и [tex]\angle B=\beta[/tex]. Так как [tex]\alpha\lt \beta[/tex], точки на [tex]AB[/tex] идут в порядке [tex]A[/tex], [tex]M[/tex], [tex]H[/tex], [tex]B[/tex]. Отложим на луче [tex]HB[/tex] за точкой [tex]B[/tex] точку [tex]D[/tex] с [tex]BD=BC[/tex]. Тогда [tex]HD=HB+BC=MH[/tex], поэтому [tex]CH[/tex] — серединный перпендикуляр к [tex]MD[/tex] и [tex]CD=CM[/tex].
Треугольник [tex]BCD[/tex] равнобедренный, и его внешний угол при [tex]B[/tex] равен [tex]\angle ABC=\beta[/tex], поэтому [tex]\angle BDC=\frac{\beta}{2}[/tex]. Так как [tex]CM=CD[/tex], [tex]\angle CMB=\angle CDM=\frac{\beta}{2}[/tex]. С другой стороны, [tex]MA=MC[/tex] (медиана к гипотенузе), поэтому внешний угол [tex]CMB[/tex] треугольника [tex]AMC[/tex] равен [tex]2\alpha[/tex]:
[tex]2\alpha=\dfrac{\beta}{2} \Rightarrow \beta=4\alpha; \alpha+4\alpha=90^\circ \Rightarrow \alpha=18^\circ[/tex]