Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными

Калькулятор систем уравнений второй степени

Введите коэффициенты обоих уравнений вида ${ax^2+bxy}+{cy^2+dx+ey}={f.}$ Это могут быть целые числа, десятичные дроби (например, 0,5) или обыкновенные дроби (например, 1/3). Пустое поле означает 0. Калькулятор выбирает способ из этого урока (подстановку, сложение, замену переменных или разложение на множители), находит все действительные решения системы и показывает решение по шагам. Если ни один из этих способов не подходит, калькулятор находит решения численно.

Что такое система уравнений второй степени?

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется системой второй степени, если одно из её уравнений второй степени, а другое — первой или второй степени. Например, в системе

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

первое уравнение первой степени, а второе — второй степени (члены ${x^2,}$ ${xy}$ и ${y^2}$ имеют вторую степень). Любое уравнение второй степени с двумя неизвестными можно записать в виде

Решением системы называется упорядоченная пара чисел ${(x;\ y),}$ которая удовлетворяет обоим уравнениям. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Например, ${(4;\ -3)}$ — решение приведённой выше системы, так как ${4-(-3)=7}$ и ${4^2-4\cdot(-3)-(-3)^2}={16+12-9}={19.}$ Пара ${(8;\ 1)}$ удовлетворяет первому уравнению, но не удовлетворяет второму (${64-8-1=55\ne 19}$), поэтому решением не является.

Две системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения (в частности, если обе не имеют решений). Способы, описанные ниже, заменяют данную систему более простой системой, равносильной ей, или несколькими более простыми системами, решения которых затем объединяют.

На этой странице: Калькулятор · Способ подстановки · Способ сложения · Исключение неизвестного · Симметричные системы · Разложение на множители · Однородные уравнения · Текстовые задачи · Упражнения

Системы, в которых одно уравнение первой степени: способ подстановки

Из уравнения первой степени всегда можно выразить одно из неизвестных. После подстановки получается уравнение с одним неизвестным, чаще всего квадратное. Поэтому способом подстановки можно решить любую систему второй степени, в которой одно из уравнений первой степени.

1. Из уравнения первой степени выражаем одно неизвестное через другое. Удобно выбрать неизвестное с коэффициентом 1 или ${-1.}$
2. Подставляем полученное выражение в уравнение второй степени и получаем уравнение с одним неизвестным.
3. Решаем это уравнение (обычно это квадратное уравнение).
4. Для каждого корня находим другое неизвестное из выражения, полученного на шаге 1.
5. Записываем решения в виде пар ${(x;\ y).}$

На шаге 4 другое неизвестное находим из выражения, полученного из уравнения первой степени, а не из уравнения второй степени. Иначе можно получить пары, которые не являются решениями. Например, в примере 1 ниже при ${x=3}$ уравнение ${x^2+y^2=25}$ даёт ${y=4}$ и ${y=-4,}$ но ${(3;\ -4)}$ не является решением системы, так как ${3+(-4)\ne 7.}$

Пример 1

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Решение. Из первого уравнения ${y=7-x.}$ Подставляем во второе уравнение:

${x^2+(7-x)^2=25}$

$x^2+49-14x+x^2=25$

${2x^2-14x+24}={0\iff x^2-7x+12}={0}$

Корни: ${x_1=3}$ и ${x_2=4}$ (их сумма равна 7, а произведение равно 12). Из ${y=7-x}$ получаем ${y_1=7-3=4}$ и ${y_2=7-4=3.}$

Ответ: ${(3;\ 4)}$ и ${(4;\ 3).}$

Пример 2

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x-y=7\\x^2-xy-y^2=19\end{array}$$

Решение. Из первого уравнения ${x=7+y.}$ Подставляем во второе уравнение:

${(7+y)^2-(7+y)y-y^2}={19}$

${49+14y+y^2}-{7y-y^2-y^2}={19}$

${-y^2+7y+30}={0\iff y^2-7y-30}={0}$

${D}={(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)}={49+120}={169,}$ откуда ${y_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2},}$ т.е. ${y_1=-3}$ и ${y_2=10.}$ Из ${x=7+y}$ получаем ${x_1=4}$ и ${x_2=17.}$

Проверка для ${(17;\ 10)\text{:}}$ ${17-10=7}$ и ${17^2-17\cdot 10-10^2}={289-170-100}={19.}$

Ответ: ${(4;\ -3)}$ и ${(17;\ 10).}$

Пример 3. Одно решение или ни одного

а) Решите систему

$$\begin{array}{|l}3x+4y=25\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Решение. Из первого уравнения ${y=\frac{25-3x}{4}.}$ Подставляем во второе уравнение и умножаем на 16:

${x^2+\frac{(25-3x)^2}{16}}={25\iff 16x^2+625}-{150x+9x^2}={400}$

${25x^2-150x+225}={0\iff x^2-6x+9}={0\iff (x-3)^2}={0}$

Уравнение имеет только один корень ${x=3,}$ откуда ${y=\frac{25-9}{4}=4.}$ Ответ: ${(3;\ 4).}$ Система имеет одно решение.

б) Решите систему

$$\begin{array}{|l}x+y=10\\x^2+y^2=25\end{array}$$

Решение. Из первого уравнения ${y=10-x.}$ Подставляем во второе уравнение:

${x^2+(10-x)^2}={25\iff 2x^2-20x+75}={0}$

${D}={(-20)^2-4\cdot 2\cdot 75}={400-600}={-200}\lt{0,}$ поэтому квадратное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: система не имеет решений.

Системы, в которых оба уравнения второй степени: способ сложения

Когда оба уравнения второй степени, обычно ни одно из неизвестных не удаётся удобно выразить через другое. Тогда ищут способ получить более простое уравнение. Некоторые такие системы решаются способом сложения (алгебраического сложения) или сложением и подстановкой.

Числа подбирают так, чтобы после сложения исчезли члены второй степени. Получается уравнение первой степени, и дальше систему решают подстановкой. (Вычитание двух уравнений — это сложение, при котором второе уравнение умножено на ${-1.}$)

Пример 4

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2+2x=39\\x^2+y^2-y=27\end{array}$$

Решение. Здесь ни одно из неизвестных не удаётся удобно выразить через другое, потому что оба уравнения содержат ${x^2}$ и ${y^2.}$ Заметим, однако, что если вычесть второе уравнение из первого, то члены ${x^2}$ и ${y^2}$ исчезнут:

${(x^2+y^2+2x)}-{(x^2+y^2-y)}={39-27\iff 2x+y}={12}$

Получаем систему, равносильную данной:

$$\begin{array}{|l}2x+y=12\\x^2+y^2+2x=39\end{array}$$

Решаем её способом подстановки. Из первого уравнения ${y=12-2x,}$ а второе даёт

${x^2+(12-2x)^2+2x}={39\iff 5x^2-46x+105}={0}$

${D}={(-46)^2-4\cdot 5\cdot 105}={2116-2100}={16,}$ откуда ${x_{1,2}=\frac{46\pm 4}{10},}$ т.е. ${x_1=5}$ и ${x_2=\frac{21}{5}.}$ Тогда ${y_1=12-10=2}$ и ${y_2=12-\frac{42}{5}=\frac{18}{5}.}$

Ответ: ${(5;\ 2)}$ и ${\left(\frac{21}{5};\ \frac{18}{5}\right),}$ т.е. ${(4{,}2;\ 3{,}6).}$

Пример 5

Решите систему

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Решение. Члены второй степени первого уравнения — это члены второй степени второго уравнения, умноженные на 2: ${4x^2-2xy}={2(2x^2-xy).}$ Если умножить второе уравнение на ${-2}$ и сложить с первым, получится уравнение первой степени:

$$\begin{array}{|l}4x^2-2xy+x+y=15\\-4x^2+2xy-4x+2y=-18\end{array}$$

$-3x+3y=-3\iff x-y=1$

Система равносильна системе

$$\begin{array}{|l}x-y=1\\2x^2-xy+2x-y=9\end{array}$$

Из первого уравнения ${x=1+y.}$ Подставляем во второе уравнение:

${2(1+y)^2}-{y(1+y)+2(1+y)-y}={9\iff y^2+4y-5}={0}$

Корни: ${y_1=-5}$ и ${y_2=1}$ (их сумма равна ${-4,}$ а произведение равно ${-5}$). Тогда ${x_1=1+(-5)=-4}$ и ${x_2=1+1=2.}$

Ответ: ${(-4;\ -5)}$ и ${(2;\ 1).}$

Исключение одного неизвестного

Иногда подходящим сложением можно исключить все члены с одним из неизвестных, а не только члены второй степени. Получается уравнение, которое содержит только другое неизвестное. Решаем его и для каждого корня находим исключённое неизвестное из одного из уравнений системы. По теореме о сложении уравнений новое уравнение вместе с любым из данных уравнений образует систему, равносильную данной. Поэтому каждая пара, найденная таким образом, является решением.

Это не противоречит предупреждению в разделе о способе подстановки. Там уравнение первой степени связывает ${x}$ и ${y,}$ а здесь новое уравнение содержит только одно неизвестное. Поэтому для каждого его корня любое значение другого неизвестного, удовлетворяющее оставшемуся уравнению, даёт решение.

Пример 6

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\x^2-y^2=5\end{array}$$

Решение. Складываем оба уравнения: ${2x^2=18,}$ т.е. ${x^2=9}$ и ${x=\pm 3.}$ Вычитаем второе уравнение из первого: ${2y^2=8,}$ т.е. ${y^2=4}$ и ${y=\pm 2.}$ Система равносильна системе ${x^2=9,}$ ${y^2=4,}$ поэтому каждое из двух значений ${x}$ сочетается с каждым из двух значений ${y.}$

Ответ: ${(3;\ 2),}$ ${(3;\ -2),}$ ${(-3;\ 2)}$ и ${(-3;\ -2).}$

Пример 7

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x^2+2y^2-5x+4y=-2\\x^2-3y^2-6y=-2\end{array}$$

Решение. Члены с ${y}$ — это ${2y^2+4y}$ в первом уравнении и ${-3y^2-6y}$ во втором. Если умножить первое уравнение на 3, а второе — на 2 и сложить их, то все члены с ${y}$ исчезнут:

$$\begin{array}{|l}3x^2+6y^2-15x+12y=-6\\2x^2-6y^2-12y=-4\end{array}$$

${5x^2-15x}={-10\iff x^2-3x+2}={0}$

Корни: ${x_1=1}$ и ${x_2=2.}$ Подставляем каждый из них во второе уравнение (оно проще):

• при ${x=1\text{:}}$ ${1-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-1}={0,}$ откуда ${y=-1\pm\sqrt{2};}$
• при ${x=2\text{:}}$ ${4-3y^2-6y}={-2\iff y^2+2y-2}={0,}$ откуда ${y=-1\pm\sqrt{3}.}$

Ответ: система имеет четыре решения: ${(1;\ -1+\sqrt{2}),}$ ${(1;\ -1-\sqrt{2}),}$ ${(2;\ -1+\sqrt{3})}$ и ${(2;\ -1-\sqrt{3}).}$

Симметричные системы

Система называется симметричной, если оба её уравнения не меняются, когда меняют местами ${x}$ и ${y.}$ Например, уравнение ${x^2+xy+y^2=7}$ симметрично: поменяв неизвестные местами, получаем ${y^2+yx+x^2=7,}$ т.е. то же самое уравнение. Симметричные системы удобно решать с помощью замены

Если ${t_1}$ и ${t_2}$ — корни уравнения ${t^2-ut+v=0,}$ то система имеет решения ${(t_1;\ t_2)}$ и ${(t_2;\ t_1)}$ (при ${t_1=t_2}$ это одно решение ${(t_1;\ t_1)}$). Если это уравнение не имеет действительных корней, т.е. ${u^2-4v\lt 0,}$ то соответствующая пара ${u,}$ ${v}$ решений не даёт.

Пример 8

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x+y=5\\xy=6\end{array}$$

Решение. Здесь сразу ${u=5}$ и ${v=6.}$ Числа ${x}$ и ${y}$ — корни уравнения ${t^2-5t+6=0,}$ т.е. ${t_1=2}$ и ${t_2=3.}$ (Эту же систему можно решить и подстановкой: ${y=5-x}$ и ${x(5-x)=6.}$)

Ответ: ${(2;\ 3)}$ и ${(3;\ 2).}$

Пример 9

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x^2+y^2=13\\xy=6\end{array}$$

Решение. Введём новые переменные: ${x+y=u}$ и ${xy=v.}$ Так как ${x^2+y^2=u^2-2v,}$ система принимает вид

$$\begin{array}{|l}u^2-2v=13\\v=6\end{array}$$

Следовательно, ${u^2=25,}$ т.е. ${u=5}$ или ${u=-5.}$

• При ${u=5}$ и ${v=6\text{:}}$ ${t^2-5t+6=0,}$ ${t_1=2,}$ ${t_2=3.}$
• При ${u=-5}$ и ${v=6\text{:}}$ ${t^2+5t+6=0,}$ ${t_1=-3,}$ ${t_2=-2.}$

Ответ: ${(2;\ 3),}$ ${(3;\ 2),}$ ${(-2;\ -3)}$ и ${(-3;\ -2).}$

Пример 10

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=7\\x+xy+y=5\end{array}$$

Решение. Система симметрична. Так как ${x^2+xy+y^2}={(x^2+y^2)+xy}={u^2-2v+v}={u^2-v,}$ после замены ${x+y=u,}$ ${xy=v}$ получаем

$$\begin{array}{|l}u^2-v=7\\u+v=5\end{array}$$

Складываем оба уравнения: ${u^2+u=12,}$ т.е. ${u^2+u-12=0,}$ откуда ${u_1=3}$ и ${u_2=-4.}$ Тогда ${v_1=5-3=2}$ и ${v_2=5-(-4)=9.}$

• При ${u=3}$ и ${v=2\text{:}}$ ${t^2-3t+2=0,}$ ${t_1=1,}$ ${t_2=2.}$ Получаем ${(1;\ 2)}$ и ${(2;\ 1).}$
• При ${u=-4}$ и ${v=9\text{:}}$ уравнение ${t^2+4t+9=0}$ имеет дискриминант ${16-36=-20\lt 0,}$ поэтому решений не даёт.

Ответ: ${(1;\ 2)}$ и ${(2;\ 1).}$

Разложение на множители

Если одно из уравнений можно записать в виде ${A\cdot B=0,}$ где ${A}$ и ${B}$ — выражения первой степени, то оно выполняется тогда и только тогда, когда ${A=0}$ или ${B=0.}$ Тогда система распадается на две системы, в каждой из которых одно уравнение первой степени. Решаем каждую из них подстановкой и объединяем полученные решения.

Пример 11

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x^2-5xy+6y^2=0\\x^2+y^2=10\end{array}$$

Решение. Левая часть первого уравнения раскладывается на множители так же, как ${t^2-5t+6}={(t-2)(t-3)\text{:}}$ ${x^2-5xy+6y^2}={(x-2y)(x-3y)}$ (проверьте, раскрыв скобки). Следовательно, ${x=2y}$ или ${x=3y.}$

• При ${x=2y}$ второе уравнение даёт ${4y^2+y^2=10,}$ т.е. ${y^2=2}$ и ${y=\pm\sqrt{2}.}$ Получаем ${(2\sqrt{2};\ \sqrt{2})}$ и ${(-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2}).}$
• При ${x=3y}$ второе уравнение даёт ${9y^2+y^2=10,}$ т.е. ${y^2=1}$ и ${y=\pm 1.}$ Получаем ${(3;\ 1)}$ и ${(-3;\ -1).}$

Ответ: ${(2\sqrt{2};\ \sqrt{2}),}$ ${(-2\sqrt{2};\ -\sqrt{2}),}$ ${(3;\ 1)}$ и ${(-3;\ -1).}$

Однородные уравнения

Уравнение, в котором все члены второй степени, а правая часть равна 0, например ${x^2-5xy+6y^2=0,}$ называется однородным. Если сразу не видно, как разложить его на множители, то при ${y\ne 0}$ делим обе его части на ${y^2}$ и вводим новую переменную ${t=\frac{x}{y}.}$ Из ${x^2-5xy+6y^2=0}$ получаем ${t^2-5t+6=0,}$ откуда ${t=2}$ и ${t=3,}$ т.е. ${x=2y}$ или ${x=3y.}$ Случай ${y=0}$ проверяем отдельно, потому что делить на 0 нельзя. Здесь при ${y=0}$ уравнение даёт ${x^2=0,}$ т.е. точку ${(0;\ 0),}$ а она не удовлетворяет уравнению ${x^2+y^2=10.}$ (Если в уравнении нет члена с ${x^2,}$ например ${5xy+6y^2=0,}$ то при ${y=0}$ оно выполняется при любом ${x.}$ Тогда ${y}$ — общий множитель: ${y(5x+6y)=0.}$)

Если оба уравнения системы содержат только члены второй степени и свободные члены, умножаем их на подходящие числа и складываем так, чтобы свободные члены исчезли. Получается однородное уравнение.

Пример 12

Решите систему

$$\begin{array}{|l}x^2+xy=15\\xy+y^2=10\end{array}$$

Решение. Умножаем первое уравнение на 2, а второе — на ${-3,}$ и складываем их:

${2x^2+2xy-3xy-3y^2}={30-30\iff 2x^2-xy-3y^2}={0}$

По теореме о сложении уравнений система равносильна системе из полученного однородного уравнения и второго уравнения. Если ${y=0,}$ то однородное уравнение даёт ${2x^2=0,}$ т.е. ${x=0,}$ а ${(0;\ 0)}$ не удовлетворяет уравнению ${xy+y^2=10.}$ При ${y\ne 0}$ делим на ${y^2}$ и полагаем ${t=\frac{x}{y}\text{:}}$ ${2t^2-t-3=0,}$ откуда ${t_1=-1}$ и ${t_2=\frac{3}{2}.}$ Следовательно, ${x=-y}$ или ${x=\frac{3y}{2}.}$ То же самое даёт разложение ${2x^2-xy-3y^2}={(x+y)(2x-3y).}$

• При ${x=-y}$ второе уравнение даёт ${-y^2+y^2=10,}$ т.е. ${0=10,}$ что неверно.
• При ${x=\frac{3y}{2}}$ второе уравнение даёт ${\frac{3y^2}{2}+y^2=10,}$ т.е. ${y^2=4}$ и ${y=\pm 2.}$ При ${y=2}$ получаем ${x=3,}$ а при ${y=-2}$ получаем ${x=-3.}$

Ответ: ${(3;\ 2)}$ и ${(-3;\ -2).}$ Проверка: ${9+6=15}$ и ${6+4=10.}$

Другой способ. Если сложить оба уравнения, получим ${x^2+2xy+y^2=25,}$ т.е. ${(x+y)^2=25}$ и ${x+y=\pm 5.}$ Первое уравнение можно записать в виде ${x(x+y)=15.}$ При ${x+y=5}$ получаем ${5x=15,}$ ${x=3,}$ ${y=2,}$ а при ${x+y=-5}$ получаем ${x=-3,}$ ${y=-2.}$

Текстовые задачи

Задача 1. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Пусть стороны равны ${x}$ см и ${y}$ см. Тогда ${2(x+y)=34,}$ а по теореме Пифагора ${x^2+y^2=13^2\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x+y=17\\x^2+y^2=169\end{array}$$

Система симметрична: ${u=x+y=17}$ и ${u^2-2v=169,}$ т.е. ${289-2v=169}$ и ${v=xy=60.}$ Числа ${x}$ и ${y}$ — корни уравнения ${t^2-17t+60=0\text{:}}$ ${t_1=5}$ и ${t_2=12.}$ Ответ: стороны равны 5 см и 12 см. Проверка: ${5+12=17}$ и ${25+144=169.}$

Задача 2. Произведение цифр двузначного числа равно 24, а сумма квадратов его цифр равна 52. Каким может быть это число?

Решение. Пусть цифра десятков равна ${x,}$ а цифра единиц равна ${y.}$ Тогда ${xy=24}$ и ${x^2+y^2=52.}$ Следовательно, ${(x+y)^2}={x^2+y^2+2xy}={52+48}={100,}$ а так как цифры положительны (их произведение равно 24, поэтому ни одна из них не равна 0), то ${x+y=10.}$ Цифры — корни уравнения ${t^2-10t+24=0,}$ т.е. 4 и 6. Ответ: это число 46 или 64.

Задача 3. Разность двух чисел равна 3, а их произведение равно 40. Найдите эти числа.

Решение. Обозначим эти числа через ${x}$ и ${y\text{:}}$

$$\begin{array}{|l}x-y=3\\xy=40\end{array}$$

Из первого уравнения ${x=y+3.}$ Подставляем во второе: ${(y+3)y=40,}$ т.е. ${y^2+3y-40=0,}$ откуда ${y_1=-8}$ и ${y_2=5.}$ Тогда ${x_1=-5}$ и ${x_2=8.}$ Ответ: искомые числа 8 и 5 или ${-5}$ и ${-8.}$ Обе пары удовлетворяют условию: ${8-5=3,}$ ${8\cdot 5=40}$ и ${-5-(-8)=3,}$ ${(-5)\cdot(-8)=40.}$

Задача 4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а его площадь равна 24 см². Найдите катеты.

Решение. Пусть катеты равны ${x}$ см и ${y}$ см. Тогда ${x^2+y^2=100}$ и ${\frac{xy}{2}=24,}$ т.е. ${xy=48.}$ Следовательно, ${(x+y)^2}={100+96}={196}$ и ${x+y=14}$ (катеты положительны). Числа ${x}$ и ${y}$ — корни уравнения ${t^2-14t+48=0,}$ т.е. 6 и 8. Ответ: катеты равны 6 см и 8 см. Проверка: ${36+64=100}$ и ${\frac{6\cdot 8}{2}=24.}$

Задачи для самостоятельного решения

Попробуйте решить их сами, а затем откройте ответ. Своё решение можно проверить и с помощью калькулятора в начале страницы.

1. Решите систему $\begin{array}{|l}x+y=8\\xy=15\end{array}$

Числа ${x}$ и ${y}$ — корни уравнения ${t^2-8t+15=0,}$ т.е. 3 и 5. Ответ: ${(3;\ 5)}$ и ${(5;\ 3).}$

2. Решите систему $\begin{array}{|l}x-y=2\\x^2+y^2=20\end{array}$

${y=x-2,}$ ${x^2+(x-2)^2}={20\iff x^2-2x-8}={0,}$ ${x_1=-2,}$ ${x_2=4.}$ Ответ: ${(-2;\ -4)}$ и ${(4;\ 2).}$

3. Решите систему $\begin{array}{|l}2x+y=5\\x^2+y^2=10\end{array}$

${y=5-2x,}$ ${x^2+(5-2x)^2}={10\iff x^2-4x+3}={0,}$ ${x_1=1,}$ ${x_2=3.}$ Ответ: ${(1;\ 3)}$ и ${(3;\ -1).}$

4. Решите систему $\begin{array}{|l}x+2y=7\\xy=6\end{array}$

${x=7-2y,}$ ${(7-2y)y}={6\iff 2y^2-7y+6}={0,}$ ${y_1=\frac{3}{2},}$ ${y_2=2.}$ Ответ: ${\left(4;\ \frac{3}{2}\right)}$ и ${(3;\ 2).}$

5. Решите систему $\begin{array}{|l}x^2+y^2=41\\x^2-y^2=9\end{array}$

Складываем: ${2x^2=50,}$ ${x^2=25.}$ Вычитаем: ${2y^2=32,}$ ${y^2=16.}$ Ответ: ${(5;\ 4),}$ ${(5;\ -4),}$ ${(-5;\ 4)}$ и ${(-5;\ -4).}$

6. Решите систему $\begin{array}{|l}x+y=3\\x^2+y^2=1\end{array}$

${y=3-x,}$ ${x^2+(3-x)^2}={1\iff x^2-3x+4}={0,}$ ${D=9-16=-7\lt 0.}$ Ответ: система не имеет решений.

7. Решите систему $\begin{array}{|l}x^2+y^2-2x=15\\x^2+y^2+4y=25\end{array}$

Вычитаем второе уравнение из первого: ${-2x-4y=-10,}$ т.е. ${x=5-2y.}$ Подставляем во второе: ${(5-2y)^2+y^2+4y}={25\iff 5y^2-16y}={0,}$ ${y_1=0,}$ ${y_2=\frac{16}{5}.}$ Ответ: ${(5;\ 0)}$ и ${\left(-\frac{7}{5};\ \frac{16}{5}\right).}$

8. Решите систему $\begin{array}{|l}x^2+y^2=20\\x+y=6\end{array}$

${u=6,}$ ${u^2-2v=20,}$ ${v=8,}$ ${t^2-6t+8=0.}$ Ответ: ${(2;\ 4)}$ и ${(4;\ 2).}$

9. Решите систему $\begin{array}{|l}x^2+xy+y^2=13\\x+y=4\end{array}$

${x^2+xy+y^2=u^2-v,}$ поэтому ${16-v=13}$ и ${v=3,}$ ${t^2-4t+3=0.}$ Ответ: ${(1;\ 3)}$ и ${(3;\ 1).}$

10. Решите систему $\begin{array}{|l}x^2-3xy+2y^2=0\\x^2+y^2=20\end{array}$

${(x-y)(x-2y)=0.}$ При ${x=y\text{:}}$ ${2y^2=20,}$ ${y=\pm\sqrt{10}.}$ При ${x=2y\text{:}}$ ${5y^2=20,}$ ${y=\pm 2.}$ Ответ: ${(\sqrt{10};\ \sqrt{10}),}$ ${(-\sqrt{10};\ -\sqrt{10}),}$ ${(4;\ 2)}$ и ${(-4;\ -2).}$

11. Решите систему $\begin{array}{|l}xy=12\\x^2+y^2=25\end{array}$

$(x+y)^2=25+24=49,$ ${x+y=\pm 7.}$ При ${u=7\text{:}}$ ${t^2-7t+12=0;}$ при ${u=-7\text{:}}$ ${t^2+7t+12=0.}$ Ответ: ${(3;\ 4),}$ ${(4;\ 3),}$ ${(-3;\ -4)}$ и ${(-4;\ -3).}$

12. Сумма двух чисел равна 12, а сумма их квадратов равна 74. Найдите эти числа.

${x+y=12,}$ ${x^2+y^2=74,}$ поэтому ${xy=\frac{144-74}{2}=35}$ и ${t^2-12t+35=0.}$ Ответ: искомые числа 5 и 7.