Системы нелинейных уравнений - задачи с решениями

Решение:
Сложив два уравнения, получаем
[tex]x^2+2xy+y^2=15+10\iff (x+y)^2=25[/tex]
Система действительно имеет решения: её можно записать в виде [tex]x(x+y)=15,\ y(x+y)=10[/tex]; при [tex]x+y=5[/tex] получаем [tex](3; 2)[/tex], а при [tex]x+y=-5[/tex] получаем [tex](-3; -2)[/tex]. Для обоих решений [tex](x+y)^2=25[/tex].

Решение:
Пусть стороны прямоугольника равны [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] (в метрах), [tex]a\gt 0,\ b\gt 0[/tex]. Площади квадратов равны [tex]a^2[/tex], [tex]b^2[/tex], а их периметры — [tex]4a[/tex], [tex]4b[/tex], поэтому
[tex]a^2+b^2=116,\quad 4a+4b=56\Rightarrow a+b=14[/tex]
Так как [tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/tex], получаем
[tex]196=116+2ab\Rightarrow ab=40[/tex]
Такой прямоугольник существует: [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] — корни уравнения [tex]t^2-14t+40=0[/tex], т.е. [tex]4[/tex] и [tex]10[/tex]. Площадь прямоугольника равна [tex]ab=40[/tex] м².

Решение:
Первое уравнение выполняется тогда и только тогда, когда [tex]x=0[/tex] или [tex]x=2y[/tex]. При [tex]x=0[/tex] второе уравнение принимает вид
[tex]-y^2-3y=0\iff y(y+3)=0\Rightarrow y=0\text{ или }y=-3[/tex]
Получаем пары [tex](0; 0)[/tex] и [tex](0; -3)[/tex]. При [tex]x=2y[/tex] имеем
[tex]4y^2-y^2-3y=0\iff 3y(y-1)=0\Rightarrow y=0\text{ или }y=1[/tex]
Получаем пары [tex](0; 0)[/tex] и [tex](2; 1)[/tex]. Пара [tex](0; 0)[/tex] встречается в обоих случаях, поэтому учитывается только один раз. Решения системы: [tex](0; 0)[/tex], [tex](0; -3)[/tex] и [tex](2; 1)[/tex], т.е. система имеет [tex]3[/tex] решения.

Решение:
Умножим первое уравнение на [tex]3[/tex] и сложим со вторым; члены с [tex]y^2[/tex] и [tex]y[/tex] взаимно уничтожаются:
[tex]3x^2+3y^2-15x-3y+2x^2-3y^2+x+3y=3\iff 5x^2-14x-3=0[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{10}\Rightarrow x=3\text{ или }x=-\frac{1}{5}[/tex]
Система равносильна этому уравнению вместе с первым уравнением системы. При [tex]x=3[/tex] первое уравнение даёт
[tex]9+y^2-15-y=0\iff y^2-y-6=0\Rightarrow y=3\text{ или }y=-2[/tex]
При [tex]x=-\frac{1}{5}[/tex] получаем [tex]\frac{1}{25}+y^2+1-y=0[/tex], т.е. [tex]y^2-y+\frac{26}{25}=0[/tex]; дискриминант этого уравнения [tex]1-\frac{104}{25}\lt 0[/tex], поэтому действительных [tex]y[/tex] нет. Решения системы: [tex](3; 3)[/tex] и [tex](3; -2)[/tex].

Решение:
Разложим оба уравнения на множители. Так как [tex]x^2+x-12=(x-3)(x+4)[/tex] и [tex]xy-3y=y(x-3)[/tex], первое уравнение принимает вид
[tex]y(x-3)-(x-3)(x+4)=0\iff (x-3)(y-x-4)=0[/tex]
Во втором уравнении [tex]y^2+y-2=(y-1)(y+2)[/tex] и [tex]-xy+x=-x(y-1)[/tex], поэтому оно принимает вид
[tex](y-1)(y+2-x)=0[/tex]
Каждое уравнение распадается на два случая, что даёт четыре простые системы. При [tex]x=3,\ y=1[/tex] получаем [tex](3; 1)[/tex]; при [tex]x=3,\ y=x-2[/tex] снова получаем [tex](3; 1)[/tex].
При [tex]y=x+4,\ y=1[/tex] имеем [tex]x=-3[/tex] и получаем [tex](-3; 1)[/tex]; при [tex]y=x+4,\ y=x-2[/tex] получаем [tex]x+4=x-2[/tex], т.е. [tex]4=-2[/tex], что невозможно. Решения системы: [tex](3; 1)[/tex] и [tex](-3; 1)[/tex].

Решение:
ОДЗ: [tex]x\ne 0,\ y\ne 0[/tex]. Приведём первое уравнение к общему знаменателю и воспользуемся вторым уравнением:
[tex]\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{5}{xy}=\frac{5}{6}\Rightarrow xy=6[/tex]
Подставим [tex]y=\frac{6}{x}[/tex] во второе уравнение:
[tex]x^2-\frac{36}{x^2}=5\iff x^4-5x^2-36=0\iff (x^2-9)(x^2+4)=0[/tex]
Так как [tex]x^2+4\gt 0[/tex], получаем [tex]x^2=9[/tex], [tex]x=\pm 3[/tex], а [tex]y=\frac{6}{x}[/tex] имеет тот же знак, что и [tex]x[/tex]: пары [tex](3; 2)[/tex] и [tex](-3; -2)[/tex]. Обе пары входят в ОДЗ и удовлетворяют системе: [tex]\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}[/tex] и [tex]9-4=5[/tex].
Пары [tex](3; -2)[/tex] и [tex](-3; 2)[/tex] решениями не являются: для них [tex]xy=-6[/tex] и левая часть первого уравнения равна [tex]-\frac{5}{6}[/tex]. Решения системы: [tex](3; 2)[/tex] и [tex](-3; -2)[/tex].

Решение:
Пусть длины окружностей переднего и заднего колёс равны [tex]x[/tex] см и [tex]y[/tex] см, [tex]x\gt 0,\ y\gt 40[/tex]. Расстояние равно [tex]48[/tex] м, т.е. [tex]4800[/tex] см, поэтому колёса делают [tex]\frac{4800}{x}[/tex] и [tex]\frac{4800}{y}[/tex] оборотов. По условию получаем систему
[tex]\left\{\begin{array}{l} \frac{4800}{x}-\frac{4800}{y}=10 \\ \frac{4800}{x+40}=\frac{4800}{y-40} \end{array}\right.[/tex]
Из второго уравнения [tex]x+40=y-40[/tex], т.е. [tex]y=x+80[/tex]. Подставим в первое уравнение:
[tex]\frac{4800}{x}-\frac{4800}{x+80}=10\iff 4800\cdot 80=10x(x+80)\iff x^2+80x-38400=0[/tex]
[tex]x=-40\pm\sqrt{1600+38400}=-40\pm 200[/tex]
Корень [tex]x=-240[/tex] не подходит, так как [tex]x\gt 0[/tex], поэтому [tex]x=160[/tex] и [tex]y=240[/tex]. Проверка: [tex]\frac{4800}{160}-\frac{4800}{240}=30-20=10[/tex], а при изменённых длинах окружностей оба колеса делают по [tex]\frac{4800}{200}=24[/tex] оборота. Длина окружности переднего колеса равна [tex]160[/tex] см.