Финансовая математика: проценты и кредиты - задачи с решениями

Решение:
Каждый год погашается одна и та же часть основного долга:
[tex]\frac{26000}{4}=6500[/tex]
Значит, в начале каждого из четырёх лет остаток долга равен соответственно [tex]26000[/tex], [tex]19500[/tex], [tex]13000[/tex] и [tex]6500[/tex] евро. Проценты за каждый год составляют [tex]3{,}6\%[/tex] от долга на начало этого года:
[tex]26000\cdot 0{,}036=936; \quad 19500\cdot 0{,}036=702; \quad 13000\cdot 0{,}036=468; \quad 6500\cdot 0{,}036=234[/tex]
Общая сумма процентов равна
[tex]936+702+468+234=2340[/tex]
Итак, всего выплачено [tex]2340[/tex] евро процентов.

Решение:
При сложных процентах [tex]6\%[/tex] годовых сумма каждый год увеличивается в [tex]1{,}06[/tex] раза. Первый доход лежит в банке [tex]2[/tex] года:
[tex]50000\cdot 1{,}06^2=50000\cdot 1{,}1236=56180[/tex]
Второй доход лежит в банке [tex]1[/tex] год:
[tex]50000\cdot 1{,}06=53000[/tex]
Третий доход вносится в конце третьего года, и проценты на него не начисляются. Всего:
[tex]56180+53000+150000=259180[/tex]
Итак, в конце третьего года в банке будет [tex]259180[/tex] евро. Для сравнения: если бы [tex]190000[/tex] евро вместо инвестирования положили в банк под [tex]6\%[/tex], через три года получилось бы лишь [tex]190000\cdot 1{,}06^3=226293{,}04[/tex] евро, т.е. инвестиция приносит больше [tex]6\%[/tex] годовых.

Решение:
Пусть [tex]q=1{,}028[/tex], а [tex]r[/tex] — ежегодный взнос. В конце каждого года долг умножается на [tex]q[/tex], после чего вносится [tex]r[/tex], поэтому после первого, второго и т.д. до четвёртого года долг равен соответственно
[tex]37000q-r; \quad 37000q^2-rq-r; \quad\ldots; \quad 37000q^4-r\left(q^3+q^2+q+1\right)[/tex]
После четвёртого года кредит погашен, поэтому последнее выражение равно [tex]0[/tex]. Так как [tex]q^3+q^2+q+1=\frac{q^4-1}{q-1}[/tex], получаем
[tex]r=\frac{37000\cdot q^4(q-1)}{q^4-1}=\frac{37000\cdot 1{,}028^4\cdot 0{,}028}{1{,}028^4-1}\approx 9906{,}44[/tex]
Итак, каждый взнос составляет примерно [tex]9906{,}44[/tex] евро.

Решение:
Сначала посчитаем взносы: с марта по декабрь [tex]2005[/tex] г. их [tex]10[/tex], за годы с [tex]2006[/tex] по [tex]2015[/tex] — [tex]10\cdot 12=120[/tex], а с января по апрель [tex]2016[/tex] г. — [tex]4[/tex]. Всего:
[tex]10+120+4=134[/tex]
Пусть [tex]q=1{,}004[/tex]. Каждый взнос делается в начале месяца, и на него начисляются проценты и за этот месяц. Поэтому взнос от [tex]1[/tex] апреля [tex]2016[/tex] г. превращается в [tex]500q[/tex], взнос от [tex]1[/tex] марта [tex]2016[/tex] г. — в [tex]500q^2[/tex] и т.д., вплоть до первого взноса, на который проценты начисляются [tex]134[/tex] месяца и который превращается в [tex]500q^{134}[/tex]. Сумма этой геометрической прогрессии равна
[tex]500\left(q+q^2+\ldots+q^{134}\right)=500q\cdot \frac{q^{134}-1}{q-1}=\frac{500\cdot 1{,}004}{0{,}004}\left(1{,}004^{134}-1\right)=125500\left(1{,}004^{134}-1\right)[/tex]
Итак, на вкладе находится [tex]125500\left(1{,}004^{134}-1\right)\approx 88769{,}94[/tex] евро.

Решение:
Каждый месяц сумма на счёте умножается на [tex]q[/tex]. Этап накопления: взносов [tex]40\cdot 12=480[/tex]. На взнос, сделанный в конце [tex]k[/tex]-го месяца, проценты начисляются [tex]480-k[/tex] месяцев, поэтому сразу после последнего взноса на счёте
[tex]S=100\left(q^{479}+q^{478}+\ldots+q+1\right)=\frac{100\left(q^{480}-1\right)}{q-1}[/tex]
Этап выплат: выплат [tex]15\cdot 12=180[/tex], каждая по [tex]P[/tex] евро. Через [tex]n[/tex] месяцев на счёте [tex]Sq^n-P\left(q^{n-1}+\ldots+q+1\right)[/tex], а через [tex]180[/tex] месяцев должно остаться [tex]0[/tex]:
[tex]Sq^{180}=P\left(q^{179}+\ldots+q+1\right)=P\cdot \frac{q^{180}-1}{q-1}[/tex]
Следовательно,
[tex]P=\frac{Sq^{180}(q-1)}{q^{180}-1}=\frac{100\cdot q^{180}\left(q^{480}-1\right)}{q^{180}-1}\approx 1206{,}77[/tex]
Итак, ежемесячная пенсия составляет примерно [tex]1206{,}77[/tex] евро (накопленная сумма [tex]S\approx 152602{,}02[/tex] евро).